大学概率论与数理统计公式全集

1、大学概率论与数理统计公式全集一、随机事件和概率1、随机事件及其概率运算律名称表达式交换律a + b=b+aab=ba结合律(a+b) +c =a +(b+c) =a+b +c(ab)c =a(bc) = abc分配律a(bc) =abaca+(bc) =(a + b)(a + c)德摩根律a+b=abab=a+b2、概率的定义及其计算公式名称公式表达式求逆公式p(a) =1 - p( a)加法公式p(a + b) =p(a) +p(b) -p(ab)条件概率公式p(ba)=且也 p(a)乘法公式p(ab) =p(a)p(b a)p(ab) =p(b)p(ab)全概率公式np(b)= p(a)p

2、(ba)it贝叶斯公式（逆概率公式）p(aj)p(baj) p(aj|b)- 0a工 p(aj)p(ba) it伯努利概型公式_ k kn _kpn(k)=cn p (1-p) ,k=0,1n两件事件相互独立相应公式p(ab) =p(a)p(b) ；p(b|a)=p(b) ； p(ba) = p(b a) ；p(ba)+p(ba) =1 ；p(b a)+p(b a) =1、随机变量及其分布1、分布函数性质p(x b) =f(b) p(a :二 x mb) =f(b) -f(a)2、离散型随机变量分布名称分布律0- 1 分布 b(1,p)p(x =k) = pk(1_p), k =0,1二项分布

3、b(n,p)p(x =k) =cfpk(i _ p)n, k =0,1，n泊松分布p(九)-kp(x =k) =e-, k =0,1,2, k!几何分布g(p)p(x =k)=(1p)k,p, k = 0,1,2,超几何分布 h(n,m,n)p k p n_kp(x =k)- m 尸，k =l,l + 1,，min(n,m ) cn3、连续型随机变量分布名称密度函数分布函数均匀分布u (a,b)，1,a x b b -a0,其他jf(x)=，0, xa-xa ,ax b指数分布e(九)f(x)=a*, x 0、q 其他f(x) =0,x01 - e-/x,x 之 0正态分布n(r,。2)(x小

4、21-2f (x) = te2仃_00 mx 收v2n仃1f(x) - v2hct(t-访2x2-e 20 dt标准正态分布n(0,1)2 x m1一二(x) = fe 2- x (u,y)du5、二维随机变量的条件分布fyx(y x)=f (x,y)fx(x),-二：y - fxy(xy)二f (x, y)fy(y),-二：二 x四、随机变量的数字特征1、数学期望离散型随机变量:-bee(x) xk pkk 4连续型随机变量:h3ce(x)= i xf (x) dx2、数学期望的性质e(c) =c,c 为常数ee(x) =e(x)e(cx)=ce(x)e(x _y) =e(x) ,e(y)e

5、(ax _b) =ae(x) _be(cixi cnxn)=cie(xi) cne(xn)若xy相互独立则:e(xy) =e(x)e(y)e(xy) cov(x,x) =d(x)cov(x,y) =cov(y,x) cov(x1 x2,y) =cov(x1,y) cov(x2,y)cov(ax c,by d) =abcov(x,y) _e2(x)e2(y)3、方差：d(x) =e(x2)-e2(x)4、方差的性质d(c) =0dd(x)=0d(ax _b)=a2d(x)d(x):二 e(x -c)2d(x _y) =d(x) d(y) _2cov(x,y)若 xy相互独立则：d(x 土y)=d

6、(x)+d(y)5、协方差：cov(x,y)=e(x,y)e(x)e(y) 若 xy相互独立则：cov(x,y)=06、相关系数：px-71g若xy相互独立则：pxy=0即xy不相关7、协方差和相关系数的性质8、常见数学分布的期望和方差分布数学期望方差0-1 分布 b(1,p)pp(1 -p)二行分布b(n,p)npnp(1 -p)泊松分布po)九九几何分布g(p)1p1-p2p超几何分布h(n,m,n)m n一 nmmn -mn (1)nnn -1均匀分布u (a,b)a +b2(b -/12止态分布n(r,o2)n2 a指数分布e。1 九1 2五、大数定律和中心极限定理1、切比雪夫不等式若

7、 e(x) =ld(x)=。2，对于任意 工0 有 px e(x)md 或 px _e(x)1-dx)/ n. n2、大数定律：若xixn相互独立且nt8时，1f xid-z e(xi) n i4n yh 廿三口91-r9 rrtrr 1p1 _n(1)右 xi xn 相互独x,e(xi)=ni, d(xi)=仃2且oi2wm 贝 u： -zxi-ze(xi),(ntg)n yn yn _(2)右xixn相互独立同分布，且e(xi)=k则当nt笛时：与xiptn n p3、中心极限定理(1)独立同分布的中心极限定理：均值为 方差为仃20的独立同分布时，当n充分大时有:n、xk -nj k 1n

8、 - a n(0,1)(2)拉普拉斯定理：随机变量(n =1,2) b(n, p)则对任意x有:n -nplim px一. ： ： ,. np(1 _p)t2x 1-_xe 2 dt =： d(x)二nn.二 x k - n(3)近似计算：p(a z xk b) =p(ab-)之6(b) 6(ani)k 1. n口vn；.no, nc, nc六、数理统计1、总体和样本总体x的分布函数f(x)样本(x1,x2xn)的联合分布为f(xi,x2xn)喇f(xk)2、统计量nnn 样本平均值：x=1 xi (2)样本方差：s2= 1 3x)2= 1工(x。nx )n i4npn-1 i4n n(3)样

9、本标准差：s=，(xi-x)2 (4)样本k阶原点距：ak xik,k=1,2 -, n -1 i 4n i4n样本k阶中心距：bk =mk =1 (xi 1)k,k=2,3 n y(6)次序统计量：设样本(x1,x2xn)的观察值3丹xn),将卬x2xn按照由小到大的次 序重新排列，得到x:-. 2 二f分布：设随机变量u2(n1),v，2(n2),且u与v独立，则随机变量sni髭所服从的分布称为自由度(n1,n2)的f分布，记为ff(n1,n2)性质：设 xf(m,n),则工f(n, m)x七、参数估计1、参数估计(1)定义：用余xi，x2，xn)估计总体参数8,称&xi,x2，xn)为8的估计量,相应的&xi,x2，xn)为总体8的估计值。(2)当总体是正态分布时，未知参数的矩估计值=未知参数的最大似然估计值2、点估计中的矩估计法：(总体矩=样本矩)n离目攵型样本均值：x=e(x)=lfxi连续型样本均值：x=e(x)= xf(x,b)dx n i 4n离散型参数：e(x2)v x2n i43、点估计中的最大似然估计最大似然估计法：xi,x2，xn取自x的样本，设x f(x,e)或p(x =xi) =p)则可得至ij概率、nnn密度：f (xi,x2，xnf) =口 f (xi,