学而思奥数4升5第11讲.逻辑推理.教师版

1、快乐是在寻找真理，而不在发现真理列夫托尔斯泰第十一讲 逻辑推理教学目标1. 掌握逻辑推理的解题思路与基本方法；2. 能够解决较复杂的逻辑推理问题。经典精讲逻辑推理问题是一类很少进行计算的数学问题，它主要运用严密的逻辑推理来解决问题。所谓逻辑推理，就是依据逻辑规律，从已知的结论为出发点，推出新的结论的过程。在解决这类问题时，必须依据事情的逻辑关系进行合情的推理，最后作出正确的判断。逻辑推理题的特点是条件繁杂交错，必须仔细分析，选择突破口，并且借助于图表，步步深入，这样才能使问题得到较快的解决。列表分析【例1】 甲、乙、丙每人有两个外号，人们有时以“数学博士”、“短跑健将”、“跳高冠军”、“小画家

2、”、“大作家”和“歌唱家”称呼他们。此外：数学博士夸跳高冠军跳得高；跳高冠军和大作家常与甲一起去看电影；短跑健将请小画家画贺年卡；数学博士和小画家很要好；乙向大作家借过书；丙下象棋常赢乙和小画家。你知道甲、乙、丙各有哪两个外号吗？【分析】 由知，甲不是跳高冠军和大作家；由知，乙不是大作家；由知，丙、乙都不是小画家。由此可得到下表：因为甲是小画家，所以由、知甲不是短跑健将和数学博士，推知甲是歌唱家。因为丙是大作家，所以由知丙不是跳高冠军，推知乙是跳高冠军。因为乙是跳高冠军，所以由知乙不是数学博士。将上面的结论依次填入上表，便得到下表：所以，甲是小画家和歌唱家，乙是短跑健将和跳高冠军，丙是数学博士

3、和大作家。需要注意的是：第一步应将题目条件给出的关系画在表上，然后再依次将分析推理出的关系画在表上；每行每列只能有一个“”，如果出现了一个“”，它所在的行和列的其余格中都应画“”。前铺 小王、小张和小李一位是工人，一位是农民，一位是教师，现在只知道：小李比教师年龄大；小王与农民不同岁；农民比小张年龄小。问：谁是工人？谁是农民？谁是教师？分析 由题目条件可以知道：小李不是教师，小王不是农民，小张不是农民。由此得到左下表。表格中打“”表示肯定，打“”表示否定。因为左上表中，任一行、任一列只能有一个“”，其余是“”，所以小李是农民，于是得到右上表。 因为农民小李比小张年龄小，又小李比教师年龄大，所以

4、小张比教师年龄大，即小张不是教师。因此得到左下表，从而得到右下表，即小张是工人，小李是农民，小王是教师。例题中采用列表法，使得各种关系更明确。为了讲解清楚，例题中画了几个表，实际解题时，不用画这么多表，只在一个表中先后画出各种关系即可。【例2】 （年湖北省“创新杯”初赛）六年级四个班进行数学竞赛，小明猜想比赛的结果是：班第一名，班第二名，班第三名，班第四名。小华猜想比赛的结果是：班第一名，班第二名，班第三名，班第四名。结果只有小华猜到的班为第二名是正确的。那么这次竞赛的名次是_班第一名，_班第二名，_班第三名，_班第四名。【分析】 依题意，班不为第一名也不为第三名，那么班为第四名。同样，班不为

5、第二名也不为第一名，那么班为第三名。班不为第三名也不为第四名，那么班为第一名。故第一名到第四名依次为班，班，班，班。巩固 甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加推铅球比赛，通过抽签决定出赛顺序。在未公布顺序前每人都对出赛顺序进行了猜测。甲猜：乙第三，丙第五。乙猜：戊第四，丁第五。丙猜：甲第一，戊第四。丁猜：丙第一，乙第二。戊猜：甲第三，丁第四。老师说每人的出赛顺序都至少被一人所猜中，则出赛顺序中，第一是_；第三是_。分析 题中每个人都猜了另外两个人的出场顺序，每个人的出场顺序也都被另外两个人猜过，其中戊被乙和丙猜的都是第四，由于每人的出赛顺序都至少被一人所猜中，所以戊是第四（否则戊的出赛顺序没有人猜中

6、），由于戊是第四，则丁不能第四，所以丁的出赛顺序被乙猜中，为第五，则丙不能是第五，丙只能是第一，甲不能是第一，故甲是第三，乙是第二，所以答案为：第一是丙，第三是甲。【例3】 甲、乙、丙三人，他们的籍贯分别是辽宁、广西、山东，他们的职业分别是教师、工人、演员。已知：甲不是辽宁人，乙不是广西人；辽宁人不是演员，广西人是教师；乙不是工人。求这三人各自的籍贯和职业。【分析】 由题意可画出下面三个表： 将表补全为表。由表知，工人是辽宁人，而乙不是工人，所以乙不是辽宁人，由此可将表补全为表。所以，甲是广西人，职业是教师；乙是山东人，职业是演员；丙是辽宁人，职业是工人。【例4】 甲、乙、丙、丁四个人的职业分

7、别是教师、医生、律师、警察。已知：教师不知道甲的职业；医生曾给乙治过病；律师是丙的法律顾问（经常见面）；丁不是律师；乙和丙从未见过面。那么甲、乙、丙的职业依次是：_。【分析】 律师、教师、警察。由可以知道丙不是律师，但是他见过律师，再由知乙不是律师，又由可知甲是律师。于是由和知丙不是教师，由和知丙不是医生，从而丙是警察。再由知乙是教师，丁是医生。列表如下（列表的好处在于直观明了，不会犯错误）：教师医生律师警察甲否，否是否乙是否，否，否丙否， 否，否，是丁否是否，否【例5】 张明、席辉和李刚在北京、上海和天津工作，他们的职业是工人、农民和教师，已知：张明不在北京工作，席辉不在上海工作；在北京工作

8、的不是教师；在上海工作的是工人；席辉不是农民。问：这三人各住哪里？各是什么职业？【分析】 这道题的关系要复杂一些，要求我们通过推理，弄清人物、工作地点、职业三者之间的关系。三者的关系需要两两构造三个表，即人物与地点，人物与职业，地点与职业三个表。 我们先将题目条件中所给出的关系用下面的表来表示，由条件得到表，由条件得到表，由条件、得到表。 因为各表中，每行每列只能有一个“”，所以表可填全为表。 因为席辉不在上海工作，在上海工作的是工人，所以席辉不是工人，他又不是农民，所以席辉是教师。再由表知，教师住在天津，即席辉住在天津。至此，表可填全为表。对照表和表，得到：张明住在上海，是工人；席辉住在天津

9、，是教师；李刚住在北京，是农民。假设推理用假设法解逻辑推理问题，就是根据题目的几种可能情况，逐一假设。如果推出矛盾，那么假设不成立；如果推不出矛盾，而是符合题意，那么假设成立。【例6】 （年太原福布斯迎奥运数学展示活动）名运动员参加一项比赛，赛前，甲说：“我肯定是最后一名。”乙说：“我不可能是第一名，也不可能是最后一名。”丙说：“我绝对不会得最后一名。”丁说：“我肯定得第一名。”赛后，发现他们人的预测中只有一人是错误的。请问谁的预测是错误的？【分析】 假设甲的预测是错的，那么其他三人的预测都是对的，那么甲不是最后一名，乙和丙也不是最后一名，丁是第一名，这样的话没有人是最后一名，矛盾。所以甲的预

10、测是对的，甲是最后一名，那么丙的预测也是对的。如果乙的预测是错的，那么乙是第一名，而丁的预测是对的，丁也是第一名，矛盾。所以乙的预测是对的，丁的预测是错的。前铺 甲、乙、丙、丁在比较他们的身高，甲说：“我最高。”乙说：“我不最矮。”丙说：“我没甲高，但还有人比我矮。”丁说：“我最矮。”实际测量的结果表明，只有一人说错了。请将他们按身高次序从高到矮排列出来。分析 丁不可能说错，否则就没有人最矮了。由此知乙没有说错。若甲也没有说错，则没有人说错，矛盾。所以只有甲一人说错。所以丁是最矮的，甲不是最高的，丙没甲高，但还有人比他矮，那么只能是甲第二高，丙第三高，乙最高。所以他们的身高次序为乙、甲、丙、丁

11、。【例7】 （年春武汉明心奥数挑战赛）名谋杀案的嫌疑人，在犯罪现场被警察询问，其中有一名是凶手。下面个人的供述中，只有句是对的：说：是杀人犯；说：我是无辜的；说：不是杀人犯；说：在说谎；说：说的是实话。在这个人中，_是凶手。【分析】 与判断相同，要么都对，要么都错。假设与都错，即凶手是，那么也错，就出现了句错的，与“有句是对的”矛盾。所以与都是对的。余下的人中还有人判断是对的，由于与互相矛盾，所以这两个人中必有一个是对的，一个是错的，由于只有句是对的，那么必定是错的，所以是凶手。前铺 一位法官在审理一起盗窃案中，对涉及到的四名嫌疑犯甲、乙、丙、丁进行了审问。四人分别供述如下： 甲说：“罪犯在乙

12、、丙、丁三人之中。” 乙说：“我没有作案，是丙偷的。” 丙说：“在甲和丁中间有一人是罪犯。” 丁说：“乙说的是事实。”经过充分的调查，证实这四人中有两人说了真话，另外两人说的是假话。同学们，请你做一名公正的法官，对此案进行裁决，确认谁是罪犯？分析 如果甲说的是假话，那么剩下三人中有一人说的也是假话，另外两人说的是真话。可是乙和丁两人的观点一致，所以在剩下的三人中只能是丙说了假话，乙和丁说的都是真话。即“丙是盗窃犯”。这样一来，甲说的也是对的，不是假话。这样，前后就产生了矛盾。所以甲说的不可能是假话，只能是真话。同理，剩下的三人中只能是丙说真话。乙和丁说的是假话，即丙不是罪犯，乙是罪犯。又由甲所

13、述为真话，即甲不是罪犯。再由丙所述为真话，即丁是罪犯。所以乙和丁是盗窃犯。【例8】 甲、乙、丙、丁在谈论他们及他们的同学何伟的居住地。甲说：“我和乙都住在北京，丙住在天津。”乙说：“我和丁都住在上海，丙住在天津。”丙说：“我和甲都不住在北京，何伟住在南京。”丁说：“甲和乙都住在北京，我住在广州。”假定他们每个人都说了两句真话，一句假话。问：不在场的何伟住在哪儿？【分析】 因为甲、乙都说“丙住在天津，”我们可以假设这句话是假话，那么甲、乙的前两句应当都是真话，推出乙既住在北京又住在上海，矛盾。所以假设不成立，即“丙住在天津”是真话。 因为甲的前两句话中有一句假话，而甲、丁两人的前两句话相同，所以

14、丁的第三句话“我住在广州”是真的。由此知乙的第二句话“丁住在上海”是假话，第一句“我住在上海”是真话；进而推知甲的第二句是假话，第一句“我住在北京”是真话；最后推知丙的第二句话是假话，第三句“何伟住在南京”是真话。所以，何伟住在南京。前铺 甲、乙、丙、丁四人同时参加全国小学数学夏令营。赛前甲、乙、丙分别做了预测。甲说：“丙第名，我第名。”乙说：“我第名，丁第名。”丙说：“丁第名，我第 名。”成绩揭晓后，发现他们每人只说对了一半，你能说出他们的名次吗？分析 我们以“他们每人只说对了一半”作为前提，进行逻辑推理。 假设甲说的第一句话“丙第名”是对的，第二句话“我第名”是错的。由此推知乙说的“我第名

15、”是错的，“丁第名”是对的；丙说的“丁第名”是错的，“丙第名”是对的。这与假设“丙第名是对的”矛盾，所以假设不成立。 再假设甲的第二句话“我第名”是对的，那么丙说的第二句“我第名”是错的，从而丙说的第一句话“丁第名”是对的；由此推出乙说的“丁第名”是错的，“我第名”是对的。至此可以排出名次顺序：乙第名、丁第名、甲第名、丙第名。【例9】 甲，乙，丙，丁四个同学中有两个同学在假日为街道做好事，班主任把这四人找来了解情况，四人分别回答如下。甲：“丙、丁两人中有人做了好事。”乙：“丙做了好事，我没做。”丙：“甲、丁中只有一人做了好事。”丁：“乙说的是事实。”最后通过仔细分析调查，发现四人中有两人说的是

16、事实，另两人说的与事实有出入。到底是谁做了好事？【分析】 我们用假设法来解决。题目说四人中有两人说的是事实，另两人说的与事实有出入。注意，此处的“与事实有出入”表示不完全与事实相符，比如，当乙、丙都做了好事，或乙、丙都没做好事，或乙做了好事而丙没做好事时，乙说的话都与事实有出入。 因为乙与丁说的是一样的，所以只有两种可能，要么乙与丁正确，甲与丙错；要么乙与丁错，甲与丙正确。假设乙与丁说的话正确。这时丙做了好事，甲说丙、丁两人中有人做了好事，甲说的话也正确，这与题目条件只有“两人说的是事实”相矛盾。所以假设错误。 假设甲与丙说的话正确。那么做好事的是甲与丙，或乙与丁，或丙与丁。若做好事的是甲与丙

17、，或丙与丁，则乙说的话也正确，与题意不符；若做好事的是乙与丁，则乙说的话与事实不符，符合题意。 综上所述，做好事的是乙与丁。【例10】 （年台湾第一届小学数学世界邀请赛）在期末考试前，学生、分别预测他们的成绩是、或，评分标准是比好，比好，比好。说：“我们的成绩都将不相同。若我的成绩得，则将得。”说：“若的成绩得，则将得。的成绩将比好。”说：“若的成绩不是得到，则将得。若我的成绩得到，则的成绩将不是。”说：“若的成绩得到，则我将得到。若的成绩不是得到，则我也将不会得到。”当期末考试的成绩公布，每位学生所得到的成绩都完全符合他们的预测。请问这四位学生的成绩分别是什么？【分析】 由于每位学生所得到的

18、成绩都完全符合他们的预测，所以说：“的成绩将比好”是正确的，这样将不可能得，不可能得。这样不可能得（否则得）。如果得，那么将得。由于的成绩不是得到，那么将得，这与得矛盾。所以不得。如果得，那么将得到。但这样的成绩将不可能比好，矛盾。所以不得。由于、均不得，那么只有得。如果得，那么的成绩将不是。这样的成绩将是，的成绩将是，矛盾。所以不得。由于不得、，所以得。由于的成绩比好，所以剩下的和只能是得，得。所以、的成绩分别是、。【例11】 某参观团根据下列规则，从、五个地方选定参观点。选取原则为：若去地，也必须去地；、两地至少去一地；、两地只去一地；、两地都去或都不去；若去地，、两地也必须去。该团最多能

19、去哪几个地方？请你说明理由。【分析】 最多只能去、两地。因为如果去地，、两地也必须去，而去地也必须去地，而、是两地都去或两地都不去，这样就与条件“、两地只去一地”相矛盾，所以不能去地，只能是去地，则也必须去地，因而不能去地也不能去地，故只能去、两地。综合分析【例12】 有六个大小相同的彩球，三个红，三个白，分别放入三个罐子里，一个罐里放两红球，一个罐里放两白球，另一罐放一红一白。然后将写有“两红”、“两白”、“红白”的三个标签贴在三个罐子上，由于粗心，三个标签全贴错了。试问此时最少要从罐子中取出几个球，才能确定三个罐分别装的是什么彩球？【分析】 因为所有罐子上的标签都和罐中实物不符，所以在贴有

20、“红白”标签的罐子中只能是两红或两白。那么只需在“红白”罐子中取出一个彩球，若是红色球，则可知罐中是两红，那么标有“两白”的罐子中就是“一红一白”，标有“两红”的罐子中就是“两白”；若是白色球，则可知罐中是“两白”，那么标有“两红”的罐子中就是“一红一白”，而标有“两白”的罐子中就是“两红”。【例13】 四对夫妇坐在一起闲谈。四个女人中，吃了个梨，吃了个，吃了个，吃了个；四个男人中，甲吃的梨和他妻子一样多，乙吃的是妻子的倍，丙吃的是妻子的倍，丁吃的是妻子的倍。四对夫妇共吃了个梨。问：丙的妻子是谁？【分析】 分别设，的丈夫吃梨的个数为，和，则有： 由题意知，分别等于，四个数之一，且互不相同。所以

21、，得到。所以与的奇偶性相同。由于，所以，只能为或。如果，那么，由得到，矛盾。所以，。因为丙吃的梨是妻子的倍，而，所以丙的妻子是。附加题目【附1】 从、六种产品中挑选出部分产品去参加博览会。根据挑选规则，参展产品满足下列要求：、两种产品中至少选一种；、两种产品不能同时入选；、三种产品中要选两种；、两种产品都入选或都不能入选；、两种产品中选一种；若种产品不入选，则种也不能入选。问：哪几种产品被选中参展？【分析】 用假设法。从条件开始，有三种情况：假设选不选，由知不能入选，再由知入选，再由推知、同时入选，与前面假设不选矛盾。假设不成立。假设选不选，由知选、，由知入选，再由知不入选，再由推知、都不入选

22、，与假设选矛盾。假设不成立。假设，都入选，由知不入选，由知也不入选，再由知入选，由知入选。符合题意。因此，、选中参展。【附2】 第四届东亚男足邀请赛共有四支足球队进行单循环赛，即每两队之间都要进行一场比赛，每场比赛胜者得分，负者得分，平局两队各得分。比赛完成之后各队得分是四个连续的自然数，请计算出输给第一名的球队的得分是_分。【分析】 由于每场比赛胜者得分，负者得分，平局两队各得分，所以每场比赛两队的得分之和为分或者分，四支球队进行单循环赛，共进行场比赛，所以比赛完成之后各队总得分至少为分，最多为分，又各队得分是四个连续的自然数，而，所以各队得分只可能为,或者,。 如果四队得分为,，那么总得分

23、为分，则每场比赛两队的得分之和都为分，即每一场比赛都不是平局，那么每一场比赛的两只队的得分都是的倍数（分或分），那么每支队的总得分也都是的倍数，而不可能出现有球队得分或分的情况，矛盾，所以四队得分不能为,，只能为,。 由于四队得分分别为,，所以第一名得分，只能是胜一队而平两队，则这场比赛中与第一名平局的两队各得分，输给第一名的队得分，由于这三支队共得分，所以三队彼此之间的场比赛共得分，而每场比赛共得分或分，所以只能为两场分，一场分，即这场比赛中有两场平局，只有一场分出了胜负。 如果分出胜负的这场比赛发生在平了第一名的两支队之间，则它们与输给第一名的那支队之间都是平局，则其中一支队在分出胜负的那

24、场比赛中得到分，在与输给第一名的那支队的比赛中又得到分，这样它总共得到分，矛盾，所以平了第一名的两支队之间的比赛也是平局，输给第一名的那支队与这两支队的比赛一胜一平，它的得分为：，即输给第一名的球队的得分是分。【附3】 五号楼住着四个女孩和两个男孩，他们的年龄各不相同，最大的岁，最小的岁，最大的女孩比最小的男孩大岁，最大的男孩比最小的女孩也大岁，求最大的男孩的岁数。【分析】 假设最小的男孩岁，那么最大的女孩有（岁），四个女孩年龄都不同，最小的女孩应是岁，那么最大的男孩为（岁），与题目说最大的孩子岁矛盾。所以假设不成立。再假设最小的女孩岁，那么最大的男孩为岁，最大的女孩岁，最小的男孩岁，符合题意

25、。所以最大男孩是岁。巩固精练1. 甲、乙、丙三个小学生都是少先队的干部，一个是大队长，一个是中队长，一个是小队长。一次数学测验，这三个人的成绩是：丙比大队长的成绩好。甲和中队长的成绩不相同。中队长比乙的成绩差。请你根据这三个人的成绩，判断一下，谁是大队长呢？【分析】 根据条件和，甲和中队长的成绩不相同，中队长比乙的成绩差，可以断定，甲不是中队长，乙也不是中队长，只有丙是中队长了。甲和乙两人谁是大队长呢？由和，丙比大队长的成绩好，中队长比乙的成绩差，可以推断出按成绩高低排列的话，乙的成绩比中队长（丙）的成绩好，丙的成绩比大队长的成绩好。这样，乙、丙就都不是大队长，那么，大队长肯定是甲。2. 某地

26、质学院的学生对一种矿石进行观察和鉴别。甲判断：不是铁，也不是铜。乙判断：不是铁，而是锡。丙判断：不是锡，而是铁。经化验证明：有一个人的判断完全正确，有一个人说对了一半，而另一个人完全说错了。你知道三人中谁是对的，谁是错的，谁是只对一半的吗？【分析】 丙全说对了，甲说对了一半，乙全说错了。先假设甲全对，推出矛盾后，再设乙全对，又推出矛盾，则说明丙全对，甲说对了一半，乙全说错了。3. 学校新来了一位老师，五个学生分别听到如下的情况：是一位姓王的中年女老师，教语文课；是一位姓丁的中年男老师，教数学课；是一位姓刘的青年男老师，教外语课；是一位姓李的青年男老师，教数学课；是一位姓王的老年男老师，教外语课。他们每人听到的四项情况中各有一项正确。问：真实情况如何？【分析】 真实情况是姓刘的老年女老师，教数学。假设是男老师，由、知，他既不是青年、中年，也不是老年，矛盾，所以是女老师。再由知，她不教语文，不是中年人。假设她教外语，由、知她必是中年人，矛盾，所以她教数学。由、知她是老年人，由知她姓刘。4. 有三个盒子，甲盒装了两个克的砝码，乙盒装了两个克的砝码，丙盒装了一个克、一个克的砝码。每只盒子外面所贴的标明砝码重量的标签都是错的。聪明的小明只从一个盒子里取出一个砝码，放到