导数及其应用测试题(有详细答案)

1、导数及其应用、选择题1. f(X。) 0是函数f x在点Xo处取极值的：A .充分不必要条件B .必要不充分条件C.充要条件既不充分又不必要条件g(x)，则函数g(x)cos x的部分图象可以为)上切线的倾斜角为n的点是(422、设曲线y x 1在点(x,f(x)处的切线的斜率为3.在曲线y = xA. (0,0)B . (2,4) C.4.若曲线y= x2+ ax+ b在点(0 , b)处的切线方程是x y +1= 0,则(A. a= 1, b= 1B . a= 1, b= 1C . a= 1, b= 1 Da= 1, b= 1325.函数 f (x) = x + ax + 3x 9，已知

2、f (x)在 x =3时取得极值，则a等于(6.已知三次函数1I QQQf (x) = rx (4 m- 1)x+ (15m 2 m- 7)x+ 2 在 x ( m,m )是增函数，则m 的取值3范围是()A.m4 B . 4n 2 C . 2m4D.以上皆不正确7.直线yx是曲线y a In x的一条切线，则实数 a的值为A.1 B . e C . In 2 D . 18.若函数f(x)12x在区间(k1,k1)上不是单调函数,则实数 k的取值范围(A . kC.2B .3k1 或 1 k 3.不存在这样的实数 k9. 10 .函数 f x的定义域为 a, b ,导函数f x在a,b则函数f

3、 x在a,b内有极小值点A. 1个D0 ,对于任意实数10.已知二次函数 f (x)2ax bx c的导数为f (x),f(0)x都有f (x)0 ,则匚的最小值为A . 3f(0)二、填空题sin x11. 函数y 的导数为x12、 已知函数f(x) x3 ax2 bx a2在x=i处有极值为10,则f(2)等于.13函数y x 2cosx在区间0,上的最大值是214已知函数f(x) x3 ax在R上有两个极值点，则实数a的取值范围是 15. 已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，f(1)0 , xf(X)2 f (x)0( x0),则不等式xx2 f (x)0的解集是三、解答题16. 设

4、函数f (x) = sin x cosx + x + 1,0x2n，求函数f( x)的单调区间与极值.17.已知函数f(x) x3 3x.(i)求f (2)的值；(n)求函数f (x)的单调区间18.设函数 f (x) x3 6x 5, x R.(1)求f(x)的单调区间和极值；2)若关于x的方程f (x) a有3个不同实根，求实数 a的取值范围3)已知当 x (1, )时, f (x) k(x 1)恒成立，求实数 k 的取值范围19. 已知 x 1是函数 f (x) mx3 3(m 1)x2 nx 1的一个极值点，其中 m,n R,m 0(1 )求m与n的关系式；(2)求f(x)的单调区间；

5、(3)当x 1,1，函数y f(x)的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围。220.已知函数 f(x) Inx ax bx.(I )当a 1时，若函数f(x)在其定义域内是增函数，求b的取值范围；(II )若f (x)的图象与x轴交于A(Xi,O), B(X2,0)(XiX2)两点，且 AB的中点 为C(xo,O)，求证:f (xo) O.2x21.已知函数f(x) , g(x) 2a In x(e为自然对数的底数)e(1)求F(x) f(x) g(x)的单调区间，若F(x)有最值，请求出最值;(2)是否存在正常数a，使f (x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处

6、有共同的切线?若存在，求出a的值，以及公共点坐标和公切线方程；若不存在，请说明理由。(3) f(x) k(x 1)即(x 1)(x2x 5) k(x 1)导数及其应用参考答案、选择题:题号12345678910答案BADADDDBAC二、填空题：11. yxcosx sin x2； 12. 1813.3 ;14. a|a 0 ；15.( 1,0)(1,)x6三、解答题16.解析f( x) = cosx+ sin x + 1 = 2sin( x + 寸)+ 1 (0 x2 n) n/2令 f (x) = 0，即 sin( x+ ) = 2,3解之得x=n或x = 2 n.f(x)以及f (x)变

7、化情况如下表：x(0 ,n)n3(n, -n)32n3(2 n, 2 n)f (X)+0一0+f(x)递增n + 2递减3n2递增32 n )-3 f (x)的单调增区间为(0 ,n )和(2冗，2n )单调减区间为(n,33nf 极大(x) = f ( n ) = n+ 2 , f 极小(x) = f(2 n ) = 一17.解：(I) f (x) 3x23，所以 f (2)9.2(H) f (x) 3x 3,解f (x)0,得所以(解f(X)0,得,1), (1,1x1.)为函数f (x)的单调增区间,(1,1)为函数f (x)的单调减区间18.解:(1) f (x)3(x22),令f (

8、x)0,得旨.2,x22 当 x或x、2时,f (x)0；当 2 x迈时,f (x)0 , f (x)的单调递增区间是(，.2)和2,)，单调递减区间是(.2. 2)3分 当x . 2, f (x)有极大值5 4-. 2 ；当x . 2, f (x)有极小值5 4、. 2. 4分(2)由(1)可知yf (x)图象的大致形状及走向(图略)当5 42 a 5 4. 2时,直线y a与y f (x)的图象有3个不同交点，6分 即当5 4、.2 a 5 4.2时方程f(x) 有三解. 7分 X 1,kx2X5在(1,)上恒成立 9分令 g(x)x2 X5，由二次函数的性质，g(x)在(1,)上是增函数

9、，-g(x)g(1)3, /所求k的取值范围是k 312分19.解：(1) f (x) 3mx2 6(m 1)x n.因为x 1是函数f (x)的一个极值点所以f(1) 0 即 3m 6(m 1) n 0,所以 n 3m 62(2)由(1)知，f(x) 3mx2 6(m 1)x 3m 6 3m(x 1)x (1)(3)由已知得f(x)3m，即 mx22(m1)x2220,x 1,1设 g(x)2X(m1)xXmm2 2 0m m解之得g(1) 01 24g(1) 0103X(,1勻m1 m2(1 -,1) m1(1,)f (X)-0+0-f (X)单调递减极小值单调递增极大值单调递减2当m 0

10、时，有11 ，当x为化时，f(x)与f (x)的变化如下表：m,1 -)单调递减，在(1 -,1)单调递增，在(1,)上单调 mm故由上表知，当m 0时，f(x)在(递减.m2 2220 又 m 0，所以 x (m 1)x0，即mm12一2(1 )x，其函数图象开口向上，由题意知式恒成立，所以mm44m又m 0所以m 0即m的取值范围为(一，0)33ln 互a(x1%2)(花X2) b(X1 X2)X2In 互(治 X2)a(X1 X2) b， X220. ( 1 )由题意：f (X) 2 ln x xbx，f(x)在(0,1)上递增，f (x) 2xXb 0对x (0,)恒成立,即b1X对X

11、X(0,)恒成立，1只需 b (2x)min，Xx 0，丄 2x 2 2，当且仅当Xx -.2时取“=”，2b 22，b的取值范围为(,2 2)(2)由已知得，f(xjf (X2)ln x1 ax；In x2ax；bx1 bx20ln x10ln x2aX； bX1，两式相减，得:ax2 bx2x2ax b及 2x0 X1 X2，得:1f (X0)2ax0 bX0Xi-a(x1 X2) b X2X1x2X1lnXx2 X2Xi12(为 X2)x2X1x2心X2亠怨。X1 X2In竺，令t X2X2(0,1)，21.(t)(t)解:当(1)0,又 Xit 1)，(t)X2,f (X0)2X F

12、(x) f (x) g (x) ea 0寸,F (x)0恒成立2a(t 1)2t(t 1)22(x3exea)(x(t)在(0,1)上为减函数,0)0，- ),没有最值 3分F(x)在(0,)上是增函数，F(x)F只有一个单调递增区间(当 a 0时，F(x) 2(X 忑(x晶b 0),ex若 0 x 、ea，则 F (x) 0,F(x)在(0, . ea)上单调递减;若x ea，则F (x) 0, F(x)在C.ea,)上单调递增，当x ea时，F (x)有极小值，也是最小值，即 F(x)min F(、ea) a 2a I n、ea a In a 6 分所以当a 0时，F(x)的单调递减区间为

13、(0,、ea)单调递增区间为(ea,)，最小值为 aln a，无最大值 7分8分来源：学科_(2)方法一，若f (x)与g(x)的图象有且只有一个公共点,网由( 1)的结论可知F(X)mina ln a 0得a 1 10分此时，F(x) f(x) g(x)2X2l nx 0F (x)minF(.e) 0e则方程f(x) g(x) 0有且只有一解，所以函数F (x)有且只有一个零点f C. e) g(-.e) 1, f (x)与g(x)的图象的唯一公共点坐标为Ce,1)2g (e) f (x)与g(x)的图象在点(,e1)处有共同的切线,其方程为y 12 _ 2=(x , e)，即 y X 1.e. e13分综上所述，存在程为2y ：ex1.14分a 1，使f (x)与g(x)的图象有且只有一个公共点C e,1)，且在该点处的公切线方方法二：设根据题意得f(x0) g(x0)即 f(X。)f(X。)2e2x0e2a ln x0