平面向量四心问题(最全).

1、近年来，对于三角形的四心”问题的考察时有发生，尤其是和平面向量相结合来考察很普遍，难度上偏向中等，只要对于这方面的知识准备充分，就能应付自如下面就平面向量和三角形的“四心”问题的类型题做一阐述：一、重心问题團1 CA 外心E 内心C 重心D 垂心解析：如图1，以AB AC为邻边构造平行四边形 ABCD E为对角线的交点，根据向量平行四边形法则 山一二匚 ，因为二一二,所以，上式可化为 AP=AAE , : E在直线AP上，因为AE为的中线，所以选C.点评：本题在解题的过程中将平面向量的有关运算与平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质等相关知识巧妙结合二、垂心问题三角形“垂心”是三角形三条高

2、的交点，所以“垂心”就在高线上屮*$申斗例2 P是厶ABC所在平面上一点，若FT 丄工1，贝U P是厶ABC的（ ）A.外心B .内心C .重D .垂心解析：由二.1 m 丁:;-.P乩（可-更）二0,即两可二0.则门.爲邛汗工m汀所以 p为二 的垂心.故选D.点评：本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三 角形垂心定义等相关知识.将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两 向量所在直线垂直”等相关知识巧妙结合 .三、内心问题三角形“内心”是三角形三条内角平分线的交点，所以“内心”就在内角平分线线上例3 已知P是厶ABC所在平面内的一动点，且点 P满足

3、则动点P 一定过 ABC的A重心B、垂心C、外D、内心AB2所示，因为AB是向量AS的单位向量设解析：如图分别为OP-OAAP，则原式可化为二与工 方向上的单位向量&;由菱形的基本性质知AP平分:-，那么在 -1- 中，AP平分:-，则知选 B.点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”，首先ABAB是什么？想想一个非零向量除以它的模不就是单位向量？此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁 移到一起，这道题就迎刃而解了四、外心问题三角形“外心”是三角形三条边的垂直平分线的交点，所以“外心”就在垂直平分线线

4、上内心例4已知0是厶ABC内的一点，若A.重心解析:，贝U 0是厶ABC的.B.垂心C.外心=0A0 OBOC2 =OC:.OA冃丽冃无|,由向量模的定义知 _到丄的三顶点距离相等.故-是二的外心，选C.设；.三（0,:，则向量（-ABAC点评：本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关知识巧妙结合三角形的“四心”与平面向量向量本身是一个几何概念， 具有代数形式和几何形式两种表示方法，易于数形结合,且向量问题在进行数形结合时具有新形式、新特点，因此可称为高中数学的一个交汇点。角形的“四心”（外心、内心、重心、垂心）是与三角形有关的一些特殊点，各自有一些特 殊的性质。在高考中，往往将“

5、向量作为载体”对三角形的“四心”进行考查。这就需要我 们在熟悉向量的代数运算的基础上读懂向量的几何意义。与三角形的“四心”有关的一些常见的重要的向量关系式有：AB ac 设丸丘（0,十处，则向量 丸q |十| J必平分/ BAC该向量必通过 ABC的内心;IAB IACIAB ac- ,=-）必平分/ BAC的邻补角ABAC+AB cosB设八三0,则向量()必垂直于边BC,该向量必通过 ABCAC cosC ABC中AB - AC 一定过BC的中点,通过 ABC的重心点0是厶ABC的外心.2 2OA -OB.2=OC点0是厶ABC的重心OA OB 0C = 0点0是厶ABC的垂心OA OB

6、二 OB 0C 二 OC OA点0是厶ABC的内心*a OA b OB c OC = 0 (其中 a、b、c 为aabc三边) ABC的外心O、重心G、垂心H共线，即OG / OH 设OABC所在平面内任意一点,GABC的重心，IABC的内心, 1 - - 则有 OG (OA OB OC) 3aOA bOB cOCa b c并且重心Xa+X+XcG( T-YA+Yb+Yc)内心IaA+ bX b+ cX ca+b+cayA+ by b+ cy ca+b+c的垂心例1 : (2003年全国高考题) O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动 ab ac点P满足OP = OA()，:二0

7、,，则动点P的轨迹一定通过厶ABC的 ()|AB AC(A)外心(B)内心AB事实上如图设AE-fB,A AC都是单位向量|ab|AC易知四边形AETF是菱形故选答案B(C)重心(D)垂心例2 : ( 2005年北京市东城区高三模拟题)OABC所在平面内一点，如果OA OB =OB OC = OC OA，则 O必为 ABC的()(A)外心(B)内心(C)重心(D)垂心事实 上 OA OB = OB OC 二(OA - OC) OB = 0= CA OB = 0= OB 丄 CA 故选答案D例3:已知0为三角形ABC所在平面内一点，且满足0A? + bc2+ CA(A)外心(B)内心2 2彳 o

8、c .|ab ，则点0是三角形ABC的( )(C)重心(D)垂心事实上由条件可推出 OA OB = OB OC = OC OA故选答案D例4 :设0是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点,动点P满足OP =0A ，(ABAC+AB cosB)，扎w (0,垃)，则动点P的轨迹一定通AC cosC过厶ABCW()(A)外心(B)内心(C)重心(D)垂心事实上(ABAB cos BACAC cosC-)BC =人BC + BC)=0故选答案D例 5、 已知向量OR,OF2,OR满足条O 1PO2 P3OP|OP冃OP2 |=|OP3|=1，求证： PPqPj是正三角形.分析 对于本题中的条

9、件|OP |=|OF2冃OP 1=1，容易想到，点O是厶PP2P3的外心，而另一个条件OR+OF2+OF3=O表明，点O是厶RP2P3的重心.故本题可描述为，若存在一个点既是三角形的重心也是外心，则该三角形一定是正三角形.在1951年高考中有一道考题，原题是：若一三角形的重心与外接圆圆心重合，则此三角形为何种三角形？与本题实质是相同的.显然，本题中的条件|OP |=|OP |=|OF31=1 可改为 IOP 冃OP 戶IOF3 |.高考原题例6、O是平面上定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点 P满A BOP二 OA ( J|AB|A C)一 Or 则.P的轨迹一定通过厶ABC的().|

10、AC|A .外心B .内心C.重心D .垂心分析已知等式即ap-gab.c），设 AE=空-，AF=AC，显然|AB| | AC |AB|AC|AE, AF都是单位向量,以二者为邻边构造平行四边形,则结果为菱形，故AP为 ABC的平分线，选B .例7、 ABC的外接圆的圆心为0，两条边上的高的交点为H， 0H 二 m(0A OB 0C)，则实数 m =.分析：本题除了利用特殊三角形求解外，纯粹利用向量知识推导则比较复杂， 更加重要的一点是缺乏几何直观.解法如下，由已知，有向量等式AHC = O，将其中的向量分解，向已知等式形式靠拢，有(OH -OA)_(OC-OB) =0，将已知i代 入 ，有

11、 m(OA OB OC)-OA(OC-OB)=O， 即22m(OC -OB ) (m-1)OABC =0,由 O 是外心，得(m-1)OABC=O，由于 ABC是任意三角形，则OA_BC不恒为0，故只有m=1恒成立.或者，过点O作OM _ BC与M，则M是BC的中点，有OM =(OB OC);2H是垂心，贝U AH _ BC ，故AH与OM共线，设AH =kOM ，则1OH =OA AH =OA -(OB OC)，又 OH 二 m(OA OB OC)，故可得2| |I(m - OA m (- OB ) m - 一 (OC 二)，有 m0l=m-=O，得 m=1 .2 22根据已知式子OH =m

12、(OA OB OC)中的OA OB OC部分，很容易想到三角形的重心坐标公式，设三角形的重心为G，O是平面内 任一点，均有OG = OA OB C，由题意，题目显然叙3述的是一个一般的结论，先作图使问题直观化，如图1, 由图上观察，很容易猜想到HG =2GO，至少有两个产生 猜想的诱因，其一是，BF,OT均与三角形的边AC垂直, 则BF/OT ;其二，点G是三角形的中线 BT的三等分点.此时，会先猜想厶BHGTOG,但现在缺少一个关键的条件，即BH =2OT，这样由两个三角形的两边长对应成比例，同时，夹角对应相等可得 相似当然，在考试时，只需大胆使用，也可利用平面几何知识进行证明.本题结论是关

13、于三角形的欧拉定理，即设 O G H分别是 ABC勺外心、重 心和垂心，则O G H三点共线，且OG： G* 1 : 2,利用向量表示就是OH =30G .例8、点0是三角形ABC所在平面内的一点，满足OA_OB = OB_OC =OC_OA，则点O是. ABC的（）.A.三个内角的角平分线的交点B.三条边的垂直平分线的交占八、D .三条高的交点C.三条中线的交点移项后不难得出，OBCA = OCAB =OACB =0，点 0 是 ABC 的垂心,3推广应用题例9 在厶ABC内求一点P，使AP2 BP2 CP2最小.分析 如图2,构造向量解决.取 CA二a,CB二b为基向量，设CP=x，有于是

14、，2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2AP BP CP =(xa) (x-b) x = 3x (a b) a b (a b).33当 xb)时，AP2 BP2 CP2最小，此时，即 OP p(OA OB OC)，则点PABC的重心.例 10 已知O为 ABC所在平面内一点，满足|OA|2 |BC|2=|OB|2 |CA|2=|OC|2 |AB，贝U OABC的心.2 2分析 将|BC|2 = (OC-OB)2 =OC OB -2OC-OB，|CAf ,| AB |2 也类似展开代入，已知等式与例4的条件一样也可移项后，分解因式合并化简，O为垂心.例 11已知 O 为 ABC 的OAsin

15、 BOC OBsin AOC OC sin AOB = 0 .分析 构造坐标系证明.如图3,以 A为坐标原点，B在x轴的正半轴，C在x轴的上Sa AO1x2y0 ，直线BC的方程是2-y 2 x 3,由于点A与点O必在直BC侧，且 -x2 y3： 0 ,因此有Xoy3-X3yoX2 y 022 彳得1Sa bocX2y3 -xy3 -X2y）.2直线AC的方程是y3x -x3y =0，由于点（1,0）与点O必在直线AC的同侧,y3 1-X3 0/ 10，因此有 X0 y3 _ X3y00，得 Sa AOC (x0 y3 - X3 y0 ).2于是，谷易 验证，OA Saboc OB Sa AOC OCAOB = 0，又且1Sa bop |OB|OCsi ,iB O C11Sa boa|OB|OA|si n AOB，Sa aoc|OA|OC |si n AOC，又 |（A|B|（C|=22则所证成立.总结：知识综述（一）三角形各心的概念介绍1重心三角形的三条中线的交点；2、垂心三角形的三条垂线的交点；3、内心一一三角形的三个内角角平分线的交点（三角形内切圆的圆心）；4、外心一一三角形的三条垂直平分线的交点（三角形外接圆的圆心）根据概念，可知各心的特征条件.比如：重心将中线长度分成2: 1 ;垂线与对应边的向量积为0;角平分线上的任意点到角两边的距离相等