常微分方程答案习题

1、文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持习题1.21.dy =2xy，并满足初始条件：x=0,y=1的特解。dx解:巴=2xdxy、 2两边积分有：In |y|=x +cx2cy=e +e =cex另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0原方程的通解为y= cex 2 ,x=0 y=1 时 c=16文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.y=In |c(x 1)|另外y=0,x=-1也是原方程的解x=0,y=1 时 c=e2特解为y= e x .22. y dx+(x+1)dy=0并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。&2dy1解：y dx=-(x+1)dy d

2、y=- dxy x 11两边积分:-=-|n|x+1|+ln|c|y特解：y=In | c(x 1)|2y3xy x y解:原方程为:dy = 1 dx y1 y2 .dy=-y x13 dxx2两边积分：x(1+x)(1+y2)=cx4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=01 y x 1解：原方程为：dy=- dxy x两边积分：ln| xy|+x-y=c另外x=0,y=0也是原方程的解。5. ( y+x) dy+(x-y)dx=0解：原方程为：dy = x ydx x y令=u贝y dy =u+x du代入有: xdx dxu 11-2 du=dxu21x2 2ln(u +1)x =c

3、-2arctgu22y即 ln(y +x )=c-2arctg 2 xdy r 26. x -y+、x y =0dx解：原方程为：裂+”；）2则令丄=uxdydu=u+ x 一dxdx1.1 u21du=sgnx dxxyarcsin =sg nx ln |x|+cx7. tgydx-ctgxdy=0解:原方程为:dy _ dxtgy ctgx两边积分：ln |si ny|=-l n| cosx|-l n|c|另外y=0也是原方程的解，而c=0 时，y=0.1 csiny=ccosx cosx所以原方程的通解为sin ycosx=c.dy + e dxy2 3x=0解：原方程为:2dy ey3

4、x=edx y3x-3ey2=c.9.x(l nx-l ny )dy-ydx=O解：原方程为：史=yin 丫dx x x人 y “ dydu令一=u ,贝U=u+ xx dx dxduu+ x =ulnudxln(ln u-1)=-l n|cx|y1+l n=cy.x“ dy x y10. =edxdx解：原方程为:y=cex11 dhx+y)解：令x+y=u,则dy = du 1dx dxdu 2 -1=udx12 du=dx1 uarctgu=x+c arctg(x+y)=x+c12.dy =1dx = (x y)2解：令 x+y=u,贝卩 = du -1 dx dxdu1-1=-dxu2

5、u-arctgu=x+cy-arctg(x+y)=c.13.屯=红丄dx x 2y 1解：原方程为：(x-2y+1 ) dy=(2x-y+1)dxxdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=02 2dxy-d(y -y)-dx +x=c2 2xy-y +y-x -x=cdyxy 514:=dx xy 2解：原方程为：(x-y-2 ) dy=(x-y+5)dxxdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=01 2 1 2dxy-d( y +2y)-d( x +5x)=02 22 2y +4y+x +10x-2xy=c.15: dy =(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy 1 dxd

6、y2解：原方程为：=(x+4y)+3dx令x+4y=u则凹=丄虫dx 4 dx 41 du 12-=u +34 dx 4+ 13du 2 =4 u dxu= tg(6x+c)-122tg(6x+c)=(x+4y+1).316:证明方程理=f(xy),经变换xy=u可化为变量分离方程，并由此求下列方程:y dx2 21) y(1+x y )dx=xdyx dy _ 2 x2 y2 y dx 2-x2y2证明：令 xy=u,贝y x dy +y= du dxdx则虬1屯-耳，有: dx x dx xx du=f(u)+1u dx1 1du= dxu( f(u) 1) x所以原方程可化为变量分离方程。dy1 du u1)令xy=u 则= -2 (1)dxx dx x2原方程可化为:dy y2=1+ (xy)dx x将1代入2式有：1竺弓=当血2)x dx x2 xu= Vu22 +cx17.求一曲线，使它的切线坐标轴间的部分初切点分成相等的部分。解：设(x +y )为所求曲线上任意一点，则切线方程为：y=y (x- x )+ y则与x轴，y轴交点分别为：x= x 0 -yy= y o - x o y贝 Ux=2 x o = x o -y所以xy=c18.求曲线上任意一点切线与该点的向径夹角为0的曲线方程，其中解：由题意得：y=x11dy=yxdxIn |y|