§221圆的标准方程

1、 22.1圆的标准方程 一、教学目标 （一）知识教学点 使学生掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出 圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题， 并会推导圆的标准方程. （二）能力训练点 通过圆的标准方程的推导，培养学生利用求曲线的方程的一般步骤解决一些实际问题 的能力. （三）学科渗透点 圆基于初中的知识，同时又是初中的知识的加深，使学生懂得知识的连续性；通过圆 的标准方程，可解决一些如圆拱桥的实际问题，说明理论既来源于实践，又服务于实践，可 以适时进行辩证唯物主义思想教育. 二、教材分析 1重点：（1）圆的标准方程的推导步

2、骤；（2）根据具体条件正确写出圆的标准方程. （解决办法：（1）通过设问，消除难点，并详细讲解；（2）多多练习、讲解.） 2难点：运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题. （解决办法：使学生掌握分析这类问题的方法是先弄清题意，再建立适当的直角坐标系, 使圆的标准方程形式简单，最后解决实际问题.） 三、活动设计 问答、讲授、设问、演板、重点讲解、归纳小结、阅读. 四、教学过程 （一）复习提问 前面，大家学习了圆的概念，哪一位同学来回答？ 问题1 :具有什么性质的点的轨迹称为圆？ 平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆（教师在黑板上画一个圆）. 问题2 :图2-9中哪个点是定点？哪个点是动点？

3、动点具有什么性质？圆心和半径都反 映了圆的什么特点？ 圆心C是定点，圆周上的点 M是动点，它们到圆心距离等于定长|MC|=r，圆心和半径 分别确定了圆的位置和大小. 问题3:求曲线的方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？ 求曲线方程的一般步骤为： (1) 建立适当的直角坐标系，用(x , y)表示曲线上任意点 M的坐标，简称建系设点；图 2-9 写出适合条件P的点M的集合P=M|P(M)|,简称写点集； (3) 用坐标表示条件 P(M)，列出方程f(x , y)=0，简称列方程； (4) 化方程f(x , y)=0为最简形式，简称化简方程； (5) 证明化简后的方程就是所求曲线的方程，

4、简称证明. 其中步骤(3)(4)必不可少. 问題归当同0时.jF(x)=占f(x) = a2是同解方程吗7 当盘0时跑)=a2 二- a) (Jf优)+ 乱)=U - a = 0 7f(x) = a(故当AO时，Jf(x)=乩与F(x) = J是同解方程* 下面我们用求曲线方程的一般步骤来建立圆的标准方程. (二) 建立圆的标准方程 1建系设点 由学生在黑板上画出直角坐标系，并问有无不同建立坐标系的方法教师指出：这两 种建立坐标系的方法都对，原点在圆心这是特殊情况，现在仅就一般情况推导.因为C是定 点，可设C(a , b)、半径r，且设圆上任一点M坐标为(x , y) 2 写点集 根据定义，圆

5、就是集合P=M|MC|=r 3. 列方程 由两点间的距离公式得： 4. 化简方程 将上式两边平方得： (x-a)2+(y-b)2=r2 (1) 方程(1)就是圆心是C(a, b)、半径是r的圆的方程我们把它叫做圆的标准方程. 这时，请大家思考下面一个问题. 问题5:圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？ 这是二元二次方程，展开后没有xy项，括号内变数x, y的系数都是1点(a , b)、r 分别表示圆心的坐标和圆的半径当圆心在原点即C(0 , 0)时，方程为x2+y2=r2 教师指出：圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要a, b, r三个量确定了且r0

6、，圆的方程就给定了. 这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立 的条件注意，确定 a、b、r，可以根据条件，利用待定系数法来解决. (三) 圆的标准方程的应用 例1写出下列各圆的方程：(请四位同学演板) (1) 圆心在原点，半径是 3; (2)圆心在点C(久4),半径是伍 经过点P(5 , 1)，圆心在点 C(8 , -3); 圆心在点 C(1 , 3)，并且和直线 3x-4y-7=0相切. 教师纠错，分别给出正确答案：(1)x2+y2=9 ; (2)(x-3)2+(y-4)2=5; 仗一叩+(尸纣二25;仗-厅+(?今二薯 指出：要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程. 例2说出下

7、列圆的圆心和半径：(学生回答) (1) (x-3)2+(y-2)2=5； (2) (x+4)2+(y+3)2=7; (3) (x+2)2+ y2=4 教师指出：已知圆的标准方程，要能够熟练地求出它的圆心和半径. (2)试判断 例3(1)已知两点P1(4 , 9)和P2(6 , 3)，求以P1P2为直径的圆的方程; 点M(6, 9)、N(3 , 3)、Q(5, 3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？ 解： 分析一： 从确定圆的条件考虑，需要求圆心和半径，可用待定系数解决. 解法一：(学生口答) 设圆心C(a, b)、半径r，则由C为P1P2的中点得： 2 2 又由两点间的距离公式得：-| I J-

8、- - I - 一 .1 一 所求圆的方程为：(x-5)2+(y-6)2=10 分析二：从图形上动点 P性质考虑，用求曲线方程的一般方法解决. 解法二：(给出板书)直径上的四周角是直角， 对于圆上任一点 P(x , y)，有 PP1 丄 PP2.： , . * : , I. 化简得：x2+y2-10 x-12y+51=0 . 即(x-5)2+(y-6)2=10 为所求圆的方程. 解(2):(学生阅读课本) 分别计算点到圆心的距离： |CM|=才+卩一矿=皿 |CN戶+ 0比=V13 710； |CQ|=7(5-5)2=3 r; (3) 点在圆内Pv r . 3. 以 A(x1 , y1)、B(

9、x2 , y2)为直径端点的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0(证 明留作作业) 例4 图2-10是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图.该圆拱跨度AB=20m拱高0P=4m在 建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱 A2P2的长度(精确到0.01m). 此例由学生阅读课本，教师巡视并做如下提示： (1) 先要建立适当直角坐标系，使圆的标准方程形式简单，便于计算； (2) 用待定系数法求圆的标准方程； (3) 要注意P2的横坐标x=-2 V 0，纵坐标y 0,所以A2P2的长度只有一解. (四) 本课小结 1圆的方程的推导步骤； 2. 圆的方程的特点：点(a , b)、r分

10、别表示圆心坐标和圆的半径； 3. 求圆的方程的两种方法：(1)待定系数法；(2)轨迹法. 五、布置作业 1求下列条件所决定的圆的方程： (1) 圆心为C(3 , -5)，并且与直线 x-7y+2=0相切； (2) 过点A(3 , 2)，圆心在直线 y=2x上，且与直线 y=2x+5相切. 2. 已知：一个圆的直径端点是A(x1 , y1)、B(x2 , y2). 证明：圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0. 3. 一个等腰三角形底边上的高等于5,底边两端点的坐标是(-4 , 0)和(4 , 0)，求它的 外接圆的方程. 4赵州桥的跨度是 37.4m，圆拱高约为7.2m,求这座圆拱桥的拱圆的方程. 作业答案: 1. (1)(x-3)2+(y+5)2= 32 (2)(銮-2)a+(y-4)a ”或依一护 + (y 导=了 2. 因为直径的端点为A(x1 , y1)、B(x2 , y2)，则圆心和半径分别为 所以圆的方程为 yi仗 i -盹)+01 -升尸 =4 化简得：x2-(x1+x2)x+x1x2+y2-(y1+y2)y+y1y2=0 即(