2012年重点高中自主招生数学模拟试题(含答案)[1]

1、 6 2012年重点中学自主招生数学模拟试题一 答题时注意： 1、试卷满分150分;考试时间：120分钟. 2、试卷共三大题，计 16道题。考试结束后，将本卷及演算的草稿纸一并上交。 一、选择题(共5小题，每题6分，共30分.以下每小题均给出了代号为 A,B,C,D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后 的括号内.不填、多填或错填均不得分) 2 1、如果关于x的方程x 2 ax a 3 0至少有一个正根，则实数a的取值范围是( B、3 a 2 C、.3 a 2 -.3 a 2 2、如图，已知：点 交CE于点G、H 于 F分别是正方形 ，若正方形ABCD ) AB

2、CD的边AB、BC的中点，BD、DF分别 的面积是240，则四边形BFHG的面积等 A、26 C、24 B、28 D、30 3、设x、y、z是两两不等的实数，且满足下列等式: %x3(y x)3 6x3(zx)3 6y x 则代数式 4、如图, 3xyz的值是 C、 四边形BDCE内接于以 3 ,BCE 5 ) BC 10, cos BCD A、89 B、7 3 C、4+3 . 3 BC为直径的O 30，则线段 D、条件不足，无法计算 A，已知: DE的长 D、3+4 一 3 5、某学校共有3125名学生，一次活动中全体学生被排成 一个n排的等腰梯形阵， 多一人的规律排列，则当 是 ( 且这

3、n排学生数按每排都比前一排 n取到最大值时，排在这等腰梯形阵最外面的一周的学生总人数 ) A、296 B、221 C、225 D、641 二、填空题：（共5小题，每题6分，共30分） 6、已知：实常数 a、b、c、d同时满足下列两个等式： asinbcos c 0 ； a cosbsin d 0 （其中 为任意锐角），则a、b、c、d之间的关系式是： 7、函数y x 1 2x 2 3x 3 4x 4的最小值是 8、已知一个三角形的周长和面积分别是 摩擦地滚动一周后回到原来的位置（如图） 滚过的部分的面积是 84、210，一个单位圆在它的内部沿着三边匀速无 ，则这个三角形的内部以及边界没有被单位

4、圆 9、已知：x 厂3厂，则J2可用含x的 ACD的面积之比是3 ： 1 ： 4，点 E在边AD上，CE交BD于G，设-BGk。 GD EA 求3 7k220的值； 若点H分线段BE成聖 2的两段，且 HE 式表示 ABD三边长的平方和。 AH2 2 2 BH DH 2 p，试用含p的代数 14、（本题满分 16 分） 观察下列各个等式： 12 1,12 22 5,12 你能从中推导出计算 12 22 32 42 请你用中推导出的公式来解决下列问题： 已知：如图， 抛物线 yx2 22 32 14,12 22 32 42 30, 2 n2 的公式吗？请写出你的推导过程； 2x 3与x、y轴的正

5、半轴分别交于点 A、B，将线段OA n 等分，分点从左到右依次为 A1、 A2、 A3、 A4、 A5 、 A6、 An 1，分别过这 n 1 个点 作 x 轴的垂线依次交抛物线于点 B1、 B2、 B3、 B4、B5、 B6、 、Bn i，设 OBAi、 A1B1A2 、 A2B2A3 A3B3A4 An 1Bn 1A 的 面 积 依 次 为 S1、 S2、 S3、 S4、 、 Sn 。 当 n 2010时，求 S1 S2 S3 S4 S5 LS2010 的值； 试探究：当n取到无穷无尽时，题中所有三角形的面积和将是什么值？为什么? 15、（本题满分16分） ABC ； 有如图所示的五种塑料

6、薄板（厚度不计）：两直角边分别为 3、4的直角三角形 腰长为4、顶角为36的等腰三角形JKL ； 腰长为5、顶角为120的等腰三角形OMN ； 两对角线和一边长都是 4且另三边长相等的凸四边形 PQRS ； 长为4且宽（小于长）与长的比是黄金分割比的黄金矩形WXYZ。 “不可操 它们都不能折叠，现在将它们一一穿过一个内、外径分别为2.4、2.7的铁圆环。 我们规定：如果塑料板能穿过铁环内圈，则称为此板“可操作”；否则，便称为 作”。 证明：第种塑料板“可操作”； 求：从这五种塑料板中任意取两种至少有一种“不可操作”的概率。 JMPS Q 16、（本题满分16分） 定义：和三角形一边和另两边的延

7、长线同时相切的圆叫做三角形这边上的旁切圆。 如图所示， 点D 。 已知I是厶ABC的BC边上的旁切圆，E、F分别是切点，AD IC于 2012年重点中学自主招生数学模拟试题一 参考答案与评分标准 一、选择题（共5小题，每题6分，共30分.以下每小题均给出了代号为 A,B,C,D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后 的括号内不填、多填或错填均不得分） 2 2 1、 如果关于x的方程x ax a 3 0至少有一个正根，贝U实数a的取值范围是（C ） A、 2 a 2B、 3 a 2C、3 a 2 D、3 a 2 2、 如图，已知：点 E、F分别是正方形 ABCD的

8、边AB、BC的中点，BD、DF分别交CE于点G、H ,若正方形ABCD的面积是240 ,则四边形BFHG的面积等 E B A F H 于(B ) A、 26B、 28 C、24D、30 3、设X、y、Z是两两不等的实数，且满足下列等式： 6,x3(y x)36. x3(z x)36 y x 6 x z，则代数式 x3 y3 z3 3xyz 的值是 (A ) 4、如图，四边形 BDCE内接于以 BC为直径的O A，已知 BC 10,cos BCD 3 5 , BCE 30，则线段DE的长 疋 -( D ) A、89 B、 7、3 C、 4+3 . 3 D、3+4 i 3 B C、3D、条件不足，

9、无法计算 多一人的规律排列，则当 是 ( 5、某学校共有3125名学生，一次活动中全体学生被排成 一个n排的等腰梯形阵，且这 n排学生数按每排都比前一排 n取到最大值时，排在这等腰梯形阵最外面的一周的学生总人数 B ) A、296 二、填空题： B、221C、225D、641 (共5小题，母题6分，共30分。不设中间分) 6、 已知：实常数 a、b、c、d同时满足下列两个等式： asinbcos c 0 ； a cos bsind 0 (其中 为任意锐角)，则a、b、c、d之间的关系式是： 2 . 2 2 . 2 a b c d _。 7、 函数y x 1 2x 2 3x 3 4x 4的最小值

10、是8。 8、 已知一个三角形的周长和面积分别是84、210, 一个单位圆在它的内部沿着三边匀速无 摩擦地滚动一周后回到原来的位置(如图)，则这个三角形的内部以及边界没有被单位圆 滚过的部分的面积是 84 9、已知:x 则2可用含x的 有理系数三次多项式来表示为：.2 = 1311 x x o 6 6 10、设p、q、r为素数，则方程p3p2 q2 r2的所有可能的解p、q、r组成的三元 数组（p, q, r ）是（3,3,3）o 三、解答题（共6题，共90分。学生若有其它解法，也按标准给分） 11、（本题满分12分） 赵岩，徐婷婷，韩磊不但是同班同学，而且是非常要好的朋友，三个人的学习成绩不相

11、伯 仲，且在整个年级中都遥遥领先，高中毕业后三个人都如愿的考入自己心慕以久的大学， 后来三个人应母校邀请给全校学生作一次报告。报告后三个人还出了一道数学题：有一种 密码把英文按字母分解，英文中的a，b, c,L L，z26个字母（不论大小写）依次用 1,2,3,L ,26这26个自然数表示，并给出如下一个变换公式： X 1（其中x是不超过26的正奇数） y21；已知对于任意的实数 x，记号x表示 亍13（其中x是不超过26的正偶数） 8 1 不超过x的最大整数。将英文字母转化成密码，如8 13 17，即h变成q , 2 11 再如11 1 6，即k变成f。他们给出下列一组密码：etwcvcjw

12、 ej ncjw 2 wcabqcv ,把它翻译出来就是一句很好的临别赠言。现在就请你把它翻译出来，并简单地 写出翻译过程。 略解：由题意，密码etwcvcjw对应的英语单词是interest, ej对应的英语单词是is, ncjw对 应的英语单词是 best, wcabqcv对应的英语单词是 teacher.（9分） 所以，翻译出来的一句英语是In terest is best teacher,意思是兴趣是最好的老师”。 （3分） 12、（本题满分15分） 如果有理数 m可以表示成2x2 6xy 5y2 （其中x、y是任意有理数）的形式，我们就 称m为“世博数”。 个“世博数” a、b之积也

13、是“世博数”吗？为什么？ 证明：两个“世博数”a、b（ b 0）之商也是“世博数”。 20 略解： m 2x2 6xy 5y2 = (x 2y)2 (x y)2，其中 x、y是有理数, 世博数” m p2 q2 （其中 p、q是任意有理数） ,只须p x 2y,q x 即可。 (3 分) 对于任意的两个两个“世博数” a、b，不妨设a k2,b r2 s2 ,其中 j、 k、r、s为任意给定的有理数, (3 分) 则 ab (j2 2 2 2 k )(r s ) (jr ks)2 (js kr)2是 “世博数” (3 分) 2 - 2 ajk 2 2 brs (j2 k2)(r2 (r2 s2

14、)2(3分) (jrks)2 (js kr)2 22、2 (r s ) =d r s js kr_）2也是“世博数” s (r2 (3 分) 13、（本题满分 如图，在四边形 E在边AD上， 15分） ABCD 中，已知 ABC、 BG CE交BD于G，设 - GD BCD、 DE EA ACD的面积之比是 3 : 占 八、 求3 7k220的值; 若点H分线段BE成堂 2的两段，且 HE 式表示 ABD三边长的平方和。 AH 2 BH 2 DH 2 p2，试用含 p的代数 略解：不妨设厶 ABC、 BCD、 ACD的面积分别为3、1、4, BG DE GD EA ABD的面积是6,A BDE

15、的面积是 6k 14k6k CDG的面积是亠 , CDE的面积为 竺 , DEG的面积是6k 2 k 1k 1(k 1)2 (3分)由此可得： 丄 + 坐=竺，即4k2 3k 10, k 1(3分) k 1 (k 1)2 k 1 - 3 7k220 =3(1 分) BH 由知：E、G分别为AD、BD的中点，又点 H分线段BE成空 2的两段， HE 点H是厶ABD的重心。（2分） 而当延长BE到K ,使得BE EK ,连结AK、DK后便得到平行四边形 ABDK , 再利用“平行四边形的四边平方和等于两对角线的平方和”就可得： 2 2 2 2 2(AB BD ) AD 4BE ,类似地有 2(BD

16、2 AD2) AB2 4DM 2 2( AB2 AD2) BD24 AG2 n等分，分点从左到右依次为 A. A2、 A5、 A6、 An 1,分别过这n 1个点作 其中点 M 为边 AB 的中点。 3(AB2 BD2 AD2) 4(BE2 DM 2 AG2)。 (3 分) AH 2 2 - BEDM 2AG,BH 2 BE, DH DM , AH 3 BD2 AD2 2 2 2 2 BHDHp , 2 3 p o (3 分) 3 AG2 9 ；P 3 2. AB2 14、（本题满分16分） 观察下列各个等式：12 1,12 22 5,12 22 3214,1222 324 230,o 你能从

17、中推导出计算 12 22 32 42 n2的公式吗？请写出你的推导过程； 请你用中推导出的公式来解决下列问题： 已知：如图，抛物线yx2 2x 3与x、y轴的正半轴分别交于点 A、B，将线段OA x轴的垂线依次交抛物线于点 B1、B?、B3、B4、B5、Be、 、Bn 1，设 OBA1、 A1B1A2、A2B2A3、A3B3A4、An1Bn 1A 的面积依次为 S1、S2、S3、S4、 、Sno 当 n 2010 时，求 S S2 S3 S4 S5 LS2010 的值； 试探究：当n取到无穷无尽时，题中所有三角形的面积和将是什么值？为什么? 略解：n3 （n 1）3 3n2 3n 1，二当式中

18、的n从1、2、3、依次取到n时，就 可得下列 n个等式： （2分） 13 03 3 3 1,2313 3 22 3 2 1,33 233 323 3 1, 3 (n 1)3 3n2 3n 1，将这 .人冷J、厶J f匚一 n n个寺式的左右两边分别相加得： 3 n 3 (122232 n2) 3 (123 n) n(2 分) 即1 2 2 23242 3 2 n n = 3(12 3 n) n n(n 1)(2n1)。(3 分) 36 先求得A、B两点的坐标分别为（3,0）、（0,3），二点A|、A2、A3A4、A5、A6、An 1 的横坐标分别为 3 6 9 、 3( n 1） ，点 B、B

19、2、B3、B4、B5、B 6、B n 1 的纵坐 n n n n 3 标分别为（一）2 3 2()3、 6 2 () 2 两对角线和一边长都是 4且另三边长相等的凸四边形 PQRS ； 长为4且宽（小于长）与长的比是黄金分割比的黄金矩形WXYZ。 它们都不能折叠，现在将它们一一穿过一个内、外直径分别为2.4、2.7的铁圆环。 我们规定：如果塑料板能穿过铁环内圈，则称为此板“可操作”；否则，便称为 “不可操 作”。 证明：第种塑料板“可操作”； 求：从这五种塑料板中任意取两种至少有一种“不可操作”的概率。 略解：由题意可知四边形 PQRS必然是等腰梯形, （2分）不妨设 QS PR QR 4,

20、PQ PS RS = x，分别过点 cRI RS I、F，则由 QRF RSI得到 ，即 RF QR S、Q作QR、RS的垂线，垂足为 4 x -2-X，解得 x 2 5 2。 X 4 2 SIRS2 IR2. x2 （4 X）2 2 .102 5 v 2.4, 第种塑料板 如上图所示， （5分） ABC斜边BC上的高AH、等腰三角形JKL的腰JL上 的高KE、等腰三角形 OMN底边上的高 “可操作”。 分别作直角三角形 MG，易求得：AH =2.4, MG =2.5. （2 分） 又由可得等腰梯形 PQRS的锐角底角是 72 , JKL 心 PQR , KE=SI . （4分） “不可操作”。 的概率P 。（ 3分） 10 而黄金矩形 WXYZ的宽等于4上工 2 52 2.4, 2 第三种塑料板“可操作”；而第两种塑料板 从这五种塑料板中任意取两种至少有一种“不可操作” 16、（本题满分16分） 定义：和三角形一边和另两边的延长线同时相切的