高考导数专题复习

1、高考数学专题复习一一导数目录一、有关切线的相关问题二、导数单调性、极值、最值的直接应用三、交点与根的分布1 、判断零点个数2 、已知零点个数求解参数范围四、不等式证明1 、作差证明不等式2 、变形构造函数证明不等式3 、替换构造不等式证明不等式五、不等式恒成立求参数范围1 、恒成立之最值的直接应用2 、恒成立之分离常数3、恒成立之讨论参数范围六、函数与导数性质的综合运用第 1 页 共 21 页导数运用中常见结论(1)曲线y f (x)在x xo处的切线的斜率等于f (xo),且切线方程为y f (xo)(x xo)f(x。)。(2)若可导函数y f(x)在x x0处取得极值，则f (xo) 0

2、。反之，不成立。对于可导函数f(x),不等式f (x) 0( 0)的解集决定函数 f(x)的递增(减)区间。(4)函数f (x)在区间i上递增(减)的充要条件是：x i f (x) 0 ( 0)恒成立(f (x)不恒为0).函数f (x)(非常量函数)在区间 i上不单调等价于f(x)在区间i上有极值，则可等价转化 为方程f (x) 0在区间i上有实根且为非二重根。(若f (x)为二次函数且i=r,则有 0)。(6) f (x)在区间i上无极值等价于f (x)在区间在上是单调函数，进而得到f (x) 0或f (x) 0在i上恒成立若 x i, f(x)0 恒成立，则 f(x)min 0；若 x

3、i, f (x)0 恒成立，则 f(x)max 0(8)若x i ,使得 f(&)0,则 f(x)max 0；若x i ,使得 f(&)0,则f (x)min 0.(9)设f (x)与g(x)的定义域的交集为 d,若 x d f(x) g(x) 恒成立，则有f(x)g(x)min 0.(10)若对xiil、x2 i2, f (xi)g(x2)恒成立，则 f (x)min g(x)max .若对xiil, x2i2,使得f(xi)g(x2)，则 f(x)min g(x)min .若对xiii, x2i2,使得f(xi)9(x2),则 f (x)max g(x)max .(11)已知f (x)在区

4、间ii上的值域为a, g(x)在区间i2上值域为b,若对xi11, x212,使得 f (xi) = g(x2)成立，则 a b。(12)若三次函数f(x)有三个零点，则方程 f (x) 0有两个不等实根 x1 x2 ,且极大值大于0,第5页共21页极小值小于0.(13)证题中常用的不等式 lnx x 1 (x 0)x x+1 win(x+1 x (x 1)1nxx 1(x1)112 (x 0)2 2x27) sinxx (0x tt) lnxx0)、有关切线的相关问题31例题、【2015局考新课标1,理21已知函数f (x) = x ax -，g(x) ln x . 4(i)当a为何值时，x

5、轴为曲线y f(x)的切线;3【答案】(i) a4跟踪练习:f(x)在点(1,f(1)aln x b1、12011高考新课标1,理21已知函数f(x) -,曲线yx 1 x处的切线方程为x 2y 3 0。(i)求a、b的值;解：(i) f(x)zx 1 .(ln x)x _b2(x 1) x由于直线x 2y 30的斜率为1 ，一 一-,且过点(1,1),故2f(1) 1,f(1)1即2，b 1, a b 22、(2013课标全国i ,理21)设函数f(x) = x2 + ax+ b , g(x)= ex(cx+d).若曲线 y=f(x)y= 4x+ 2.和曲线y = g(x)都过点p(0,2)

6、,且在点p处有相同的切线求a, b, c, d的值;解：(1)由已知得 f(0)=2, g(0)=2, f(0)=4, g(0) = 4.而 f(x) = 2x+a, g(x) = ex(cx + d + c),故 b=2, d = 2, a = 4 , d+c=4.从而 a = 4, b=2, c=2, d = 2.一xbex13、(2014课标全国i ,理21)设函数f (x0 ae ln x ,曲线y f (x)在点(1, fx处的切线为y e(x 1) 2.(1)求2巾；【解析】：(i )函数f (x)的定义域为 0, f (x) aex ln x ex ex 1 ex 1x x x由

7、题意可得f2, f (1) e ，故a 1,b 2、导数单调性、极值、最值的直接应用 (一)单调性1、根据导数极值点的相对大小进行讨论例题：【2015高考江苏，19已知函数 f(x) x3 ax2 b(a,b r).(1)试讨论f (x)的单调性;【答案】(1)当a 0时，f x在上单调递增；当a 0时，f x在2a2a -一,0,上单调递增，在 ,0上单调递减;当a 0时，f x在 ，0 ,2a333八 2a上单调递增，在0, 上单调递减.3:解析】/二亡-5令r国=。，解得巧=o,工一 3.当次=0时，因为(上金0),所以函薮可在(一工厂盯上单调递呜当八。时，he； 一工厂三；”0工)时，

8、工匕一工。即 r(x) 0 ,r为、f % 、所以施救/ui在一二一二，血+邙上单调递乱 在一 j=0；上单调抽嬴 i4 j j2a2a当 a 0时，x ,0 u ， 时，f x 0, x 0,时，f x 0, 33所以函数f x在,0 ，2a上单调递增，在0,2a上单调递减.3练习：1、已知函数f(x)ln x axs 1 (a r). x答案：f (x).2令 h(x) ax当当1时，讨论2f(x)的单调性;ln xaxa(xa 0 时,h(x)(1,),h(x)a 0时，由f12 时 x1x2 ,1a 一时,2(1,1 a(11, a1 al1(x 0), f (x)xx0)1(x 0)

9、,当 x (0,1),h(x)0, f (x) 0,函数f(x)单调递增.0, f(x)(x) 0 ,即 ax2 x 1 a 0,解得 x1h(x)0恒成立，此时f (x) 0 ,函数2ax x a 12(x 0) x0,函数f (x)单调递减;1,x2 a 1.f (x)单调递减;0,x (0,1)时 h(x) 0, f (x) 0,函数 f(x)单调递减;1)时，h(x) 0, f (x) 0,函数f(x)单调递增;)时，h(x) 0, f (x) 0,函数f(x)单调递减.1a 0时一1 0,当 x (0,1), h(x) a0, f (x) 0,函数f (x)单调递减;x (1,),h

10、(x) 0, f (x) 0,函数f (x)单调递增.综上所述：当a 0时，函数f (x)在(0,1)单调递减，(1,)单调递增;1，、八，、c当a 时x1 x2 ,h(x) 0恒成立，此时f (x) 0 ,函数2f(x)在(0,)单调递减;11 1当0 a 时，函数f(x)在(0,1)递减，(1,一 1)递增，(一2a1,)递减.2、已知a为实数，函数f(x) (1 ax)ex,函数g(x)11 ax,令函数 f (x) f (x) g(x).a 0时，求函数f(x)的单调区间.解：函数f(x) laxex,定义域为1 ax9分第7页共21页当 a 0 时，f (x)2, 2a (x2 2a

11、x 2a 1(1 ax)2a 12- a2a 12- a(1 ax)2一r 一1 一，当 2a 1 0 ,即 a 时，f (x) 0.21 . 一,. 1111分.当a 时，函数f(x)的单调减区间为(，)，(-2aa当工a 0时，解x2 经得x “2a晨 马.2aaa12a-,a a.令f(x) 0,得 x (1,1、,一),x 一 , x1 ) , x (x2，),aa令 f (x)0,(x1,x2) .13分.当2f(x)的单调减区间为1 2a 1(1,) ，a a当2a 10,即af(x)单调增区间为(避u,乌二).15分1 ,一，1时，由(2)知，函数2f(x)的单调减区间为(,2)

12、及第17页共21页(2,)2、根据判别式进行讨论例题：【2015高考四川，理21 已知函数f (x)2(x a)ln x x2 2ax 2a2 a,其中a 0.(1)设g(x)是f (x)的导函数，评论 g(x)的单调性;【答案】(1)当0 a 1时，g(x)在区间(0,1 1 ),(1 1 4a,)上单调递增, 422,、114a 11 4a 、，1 ,在区间(,)上单调递减；当a 时，g(x)在区间(0,)上单调递224【解析】(1)由已知，函数f(x)的定义域为(0,),g(x)1 212(x 12)2(a -)a f (x) 2x 2a 21n x 2(1 -), x2 2a所以 g

13、(x) 2 - x x)上单调递增,当 0 a 1时，g(x)在区间(0,1a1 ” 422在区间(11 4a 114a)上单调递减;，1.，、一、小当a 时，g(x)在区间(0, 4)上单调递增.练习：已知函数f(x) lnx(1)求函数f (x)的单调区间;解：函数f (x)的定义域为(0,).f (x)2/ a x x a1-2x x(i)(ii)(x)0,记1时,41 1一时，4由 f (x)0得x1f(x)单调减区间为11 4a,x21 4a2若则 x1x2xx2,由 f (x)0,得x2x x1 .一_ , ,1所以，f(x)的单调减区间为(0,-1 4a) 21，(-1 4a%y

14、2,),单调增区间为11 4a 1. 1 4a7分若0,由(1)知f(x)单调增区间为(0,1),单调减区间为(1,);若a 0,则为0 x2 ,由 f (x) 0 ,得 x x1；由 f (x) 0 ,得 0 x x1 . 11 4a1 . 1 4af(x)的单倜减区间为(,)，单调增区间为(0，)9分1综上所述：当a0时，11-4a(0,-).2f (x)单调减区间为(1 j； 4a ,)，单调增区间为10.分12.已知函数 f(x) a(x -) 21nx(a r). x求函数f(x)的单调区间；2 9v a解：函数的定义域为 0, f (x) a(1 3) 2 ax一ax x x(1)

15、当-a 0 时，h(x) ax2 2x a 0 在(0,)上恒成立,则f (x) 0在(0,)上恒成立，此时f (x)在(0,)上单调递减. 4分2(2)当 a 0时， 4 4a2,(i)若 0 a 1,11a211 a2由 f (x) 0 ,即 h(x) 0 ,得 x 或 x ; 5分aa11 a21.1 a2八由 f (x) 0 ,即 h(x) 0,得x . 6分aa所以函数f(x)的单调递增区间为小 1 口 a2、工 /1 a2(0,)和(,aa),%、11 a2 11 a2.单调递减区间为(,).十分aa(ii)若a 1, h(x) 0在(0,)上恒成立，则f (x) 0在(0,)上恒

16、成立，此时f(x)在(0,)上单调递增.3、含绝对值的函数单调性讨论例题：已知函数f (x) x x a in x.(1)若a=1 ,求函数f (x)在区间1,e的最大值；(2)求函数f (x)的单调区间;(3)若f(x)。恒成立，求a的取值范围解：(1)若 a=l,则 f(x) x x 1 lnx.r,21 2x x 1当 x 1,e时，f(x) x x in x, f (x) 2x 1 一 0,x x2 所以 f(x)在1,e上单调增，f (x)max f (e) e e 1.2 分(2)由于 f(x) x x a in x, x (0,).(i)当 a 0 时，则 f(x) x2 ax

17、in x, f(x)2x a - x2x2 ax 1x“- a v a2 8,人令f (x) 0 ,得 0 (负根舍去)，4且当 x (0,x0)时，f (x) 0；当 x (x0,)时,f (x) 0,a 、a2 8a , a2 8所以f(x)在(0, )上单调减，在(44(ii)当 a 0时,当x a时,、八1f (x) 2x a x2x2 ax 1xa a 8 a a 8令 f (x) 0 ,得 x1 ( x a舍)，44.j，、 一 一a,即 a 1,则 f (x) 0 ,所以 f (x)在(a,)上单调增;# a 、a2 8若 a,即 0 a 1,则当 x (0,x1)时，f (x)

18、 0；当 x (x1，)时,4一，、，-a ： a2 8、，a . a2 8、，f (x) 0,所以f(x)在区间(0,)上是单调减，在 (,)上单调44增.6分八 j,、-1 2x2 ax 1当 0 x a时，f (x) 2x a 22令 f (x) 0,得 2x ax 1 0,记 a 8,a2 8 0,即 0 a 272 ,则 f(x)若 a2 8 0,即 a 272,口 a . a2 8则由 f(x) 0 得 & , x40,故f (x)在(0, a)上单调减;x4 a ，当 x (0,刈)时，f (x) 0;当 x(刈？4)时，f (x) 0 ;当 x (x4,)时,4a 3 a2 8

19、a . a2 8 a 、a2 8f (x) 0,所以f (x)在区间(0,)上是单调减，在(,)444a .a2 8、上单调增；在(,)上单调减.8分4综上所述，当a 1时，f(x)单调递减区间是a(0,-a2 8),f(x)单调递增区间)；当1 a 2拒时，f(x)单调递减区间是(0,a), f(x)单调的递增区间是(a,)；2万时，f(x)单调递减区间是(0,a . a2 8)和(,a)a “a2 8 a ”a2 8 一f(x)单调的递增区间是(,)和俎 ).10分44(3)函数f(x)的定义域为x (0,).由 f (x) 0 ,得 x a g.*x(i )当x (0,1)时，|x a

20、0 , 小 0 ,不等式*恒成立，所以a r ;x(ii)当 x 1 时，1 a 0,叱 0 ,所以 a 1 ;12 分x(iii)当x 1时，不等式*恒成立等价于a x 叱恒成立或a x叵/恒成立. xx2ln xx 1 in x令 h(x) x ，则 h (x) 2.xx因为x 1,所以h (x) 0 ,从而h(x) 1 .因为a x ln-x恒成立等价于a (h(x)min ,所以a 0恒成立所以在（ig，+ 8）上单网连增，从而广门）的单洲地区间为-8,十8九 9分（1 ）当。时,当xn/j或h一区时,/工1口工因为 f（工）=，一 一&v& *所以当*一日或时/（）。从而fu）的单调

21、增区间为_8，_石）及（布，+8,u分当一v7m(一而.-必.is分峰上所述-珏。(。时,曲依/j)的单阂增区间为- 8,4xh当时，语数八小的单黄岩区同为(一8. -兀)标.+oc).(一手，八月的单调款区间力5glit（艮而*. .4、分奇数还是偶数进行讨论例题：【2015高考天津，理20已知函数f(x) nx xn,x r,其中n n*,n 2.(i)讨论f (x)的单调性；【答案】(i)当n为奇数时，f(x)在(，1), (1,)上单调递减，在(1,1)内单调递增；当n为偶数时，f (x)在(，1)上单调递增，f (x)在(1,)上单调递减.(ii)见解析；(iii) 见解析.【解析】

22、匚由=m一,可得，其中量仁一7且花三3下面分两种情况讨论；当也为奇被时.令广=口,解霉x = l或上=1,当x变化时，广 j(q的变化情况如下君/f(v)(-11)十/所以 八巧在(-工1), q-工)上单调强威 在(-l1)内单调濯唔(2)当n为偶数时，当f (x) 0,即x 1时，函数f(x)单调递增；当f (x) 0,即x 1时，函数f(x)单调递减.所以，f (x)在(，1)上单调递增，f (x)在(1,)上单调递减.5、已知单调区间求参数范围例题：(14年全国大纲卷文)函数 f(x)=a x3+3 x2+3 x(a w0).(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若函数f(x)在区间(

23、1,2)是增函数，求 a的取值范围.22解：(1) f (x) 3ax 6x 3, f (x) 3ax 6x 3 0 的判别式 =36 (1-a)(i)若a1,则f (x) 0,且f (x) 0当且仅当a=1 , x=-1 ,故此时f (x)在r上是增函数.,一， ,一 一11 a 11 a(ii)由于a却，故当a1时，f (x) 0有两个根：x1 , x2若 0a0 , x0 时，f (x)0 ,所以当a0时,（x）在区间（1,2）是增函数.若a 0 7（工）0在（-l一句上恒成立所以，函数/ （6在ih i上单调扇噌无极值,2(2)当 a 0 时， a 8a 1 a a 9a 8 八8 ,

24、-当0 a 一时，0 , g x 09所以，f x 0,函数f x在 1,上单调递增无极值;当a 8时， 09设方程2ax2 ax 1 a0的两根为xi, x2 (xix2),因为 x2所以，xi,11由g 1 1 0 可得：1 x1-,4所以，当x1,x1 时，g x0, f x 0 ,函数f x单调递增;当 x x1,x2 时，g x0, f x 0 ,函数f x单调递减;当 xx2,时，g x 0, f x0 ,函数f x单调递增;因此函数f x有两个极值点.(3)当 a 0 时， 0由g 11 0可得：x11,当 x1,x2 时，g x 0, f当 x x2,时，g x 0, fx 0

25、 ,函数f x单调递增；x 0 ,函数f x单调递减;因此函数f x有一个极值点.综上：当a 0时，函数f x在 1,上有唯一极值点;当0 a 8时，函数f x在 1,上无极值点；98 . 一. 当a 一时，函数f x在 1,上有两个极值点；9例题：【2015高考安徽，理21设函数f(x) x2 ax b.(i)讨论函数f (sin x)在(一 ,一)内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值;2(i) f(sinx) sin x asinxb sin x(sin x a) b,f (sin x) (2sin x a) cosx, x 因为 一 x 一，所以 cos x 0, 2 2sin x

26、 2.22当a 2,b r时，函数f (sin x)单调递增，无极值.当2当a 2,b r时，函数f (sin x)单调递减，无极值.a 2,在(万，)内存在唯一的 小,使得2sin%x0时，函数f(sinx)单调递减；x0 x时，函数2f (sin x)单调递增.f (sin x)在xo处有极小值f(sinxo)r aa2f () b24(二)已知极值点个数求参数范围例题：【14年山东卷(理)】设函数f x2k(一 xlnx)(k 为常数，e 2.71828l是自然对数的底数)(i)当k 0时，求函数f x的单调区间;(ii)若函数f x在0,2内存在两个极值点，求k的取值范围。e x 2xe 2 1、 斛：(1) f (x) 4 k(-)xx x(x 2)(ex kx)(x 0) x当 k 0时，kx 0, ex kx 0令 f