高一数学应用举例及本章综合人教实验A版知识精讲

1、高一数学应用举例及本章综合人教实验a 版【本讲教育信息 】一 . 教学内容：应用举例及本章综合二 . 重点、难点：1. 把实际问题抽象成为数学问题2. 相关的最值问题【典型例题】 例1 abc 中，sin bsin csin a(cos bcosc ) ，（ 1）求 a ；（2）若 s4 ，求证 abc周长不小于 4 (21) 。解：（ 1）由已知 bca( a 2c2b 2a2b2c 2)2ac2ab 2(bc)a2c2b2a 2b2c2cb2(b c)bc a2 (cb)(c 2b 2 )(bc)2bca 2(cb)20a2(b2c 2 ) rt abca90（ 2） s1 bc4 bc8

2、2labcb 2c2bc(bc) 216(bc)bc(bc) 2(bc) 24bc3242l16 424(2 1) 例2 在 o中 mn 为直径， mn=2 ，a 在 mn 延长线上 na=1 ，b为 o上一点，以 ab 为边向 o外作正 abc ，求 s四oacb 的最大值。解： 设 aob 为， 0 ,180 ab 2oa2ob 22oa ob cos用心爱心专心54 c o ss oab1oa obsinsin2s abc3ab25 33 cos4453sin3 coss四4532 s i n ()4355326时， s四 max4 例3 abc 中，求证 a2b2c243s 。证： a

3、 2b2c 243sa 2b2a 2b22ab cosc2 3ab sin c2(a 2b2 )4ab( 1 cosc3 sin c )222(a 2b2 )4ab4ab4ab sin( c)62(ab)24ab1sin(c)0 a2b 2c2643s 例4 在 abc 中，已知角 b=45 ， d是 bc边上一点， ad=5 ， ac=7 ，dc=3 ，求 ab 。ac 2dc 2ad 272325211解： 在 adc 中， cosc2acdc27314又 0 c180sin c5314在 abc 中， acabsin bsin c absin c ac5 32756sin b142 例5

4、如图，在四边形 abcd 中，已知 ad cd ， ad=10 ， ab=14 ， bda=60 ，bcd = 135，求 bc的长。用心爱心专心解： 在 abd 中，设 bdx ，则 ba 2bd 2ad 22bd ad cos bda即 14 2x21022 10x cos60整理得 x 210x960解之： x116， x26（舍去）由正弦定理bcbdsin cdbsinbcd bc16sin 308 2sin135 例6 如图，在山脚测得山顶仰角cab=45 ，沿倾斜角为 30的斜坡走 1000米至 s点，又测得山顶仰角为 dsb=75 ，求山高。解： sab=45 30 =15 sb

5、a= abc sbd=45 15 =30 asb=180 30 15 =135在 abc 中，as sin 13510002 / 21000 2 （米）ab1/ 2sin 30 bc absin 45 1000 221000 （米）2所以山高为 1000米。 例7 如图，一架直升飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内，已知飞机的高度为海拔10千米，速度为 180千米 /小时，飞行员先看到山顶的俯角为 30，经过 2分钟后又看到山顶的俯角为 75，求山顶的海拔高度。解： 在 abp 中， bap=30 ， apb=75 30 =45 ab 1802660用心爱心专心根据正弦定理，abbp，6bp2a

6、pbsinbap， bp 3sinsin 45sin 30bp sin 75 3 2sin(4533330 )2所以，山顶 p的海拔高度为 h103 33173 3 （千米）22 例8 某巡逻艇在 a 处发现北偏东45相距 9海里的 c处有一艘走私船，正沿南偏东75的方向以 10海里 /小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以 14海里 /小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才能追赶上该走私船？解： 在 abc 中， acb=45 +75 =120， ac=9设需要 t小时才能追赶上该走私船，则ab=14t ， bc=10t根据余弦定理，ab 2ac 2bc 22a

7、c bc cos acb(14t )292(10t )22910t cos12032t 230t270解得 t3233所以 ab14， bc10211522根据正弦定理abbc，2115sin acbsinsin bacbac sin 120sinbac530.618614bac38.2145bac83.21所以，此巡逻艇应该沿北偏东83.21方向去追，需要3 小时才能追赶上该走私船。2 例9 如图，在某点 b处测得建筑物 ae 的顶端 a 的仰角为，沿 be方向前进 30米至点 c处测得顶端 a 的仰角为 2，再继续前进10 3 米至 d点，测得顶端 a 的仰角为 4，求的大小和建筑物 ae

8、 的高。解： 在 abc 中，由 bac= acd abc= 2 = 可得 ac=bc=30在 adc 中， dac= ade acd=2用心爱心专心 adc=180 4， ac=30 ， addc10 3根据正弦定理，cdacdacsinadcsin1033030sin 2sin(1804)2 sin 2cos 2解得 cos2330，即=15 ，所以 22在 rt aed 中， ad103 ， ade=4=60 aeadsin ade103 sin 60 15所以15，建筑物 ae 的高为 15米 例10 如图，在河对岸可以看到两个目标物 m ，n，但不能到达。在河岸边选取相距 40米的p

9、， q两点，测得 mpn=75 ， npq=45 ， mqp=30 ， mqn=45 ，试求两个目标物 m ， n之间的距离。解： 在 pqn 中， pq=40， pqn=30 +45 =75 npq=45 ， pnq=180 75 45=60 根据正弦定理，pqnqpnqsin npqsin40nqsin 60sin 45nq40406sin 45sin 603在 pqm 中， mqp=30 ， mpq=75 +45 =120 pmq=180 30 120 =30根据正弦定理，pqmqsinpmqsinmpq40mqmq40sin12040 3sin 30sin 120sin 30在 mnq

10、 中，根据余弦定理，mn 2mq 2nq 22mqnqcosmqnmn 2( 40 6 )2(403) 22 40 640 3cos 458000333 两个目标物 m ， n 之间的距离 mn4015米3【模拟试题】（答题时间： 60分钟）1. 如图，为了测量障碍物两侧a、 b间的距离，给定下列四组数据，测量时应当选用数据用心爱心专心（）a., a,bb.,ac.a, b,d., b2. 边长为 5、 7、8的三角形的最大角与最小角之和的（）a. 90 b. 120 c. 135d. 50 3. 两灯塔 a ，b 与海洋观察站 c的距离都为 10km ，灯塔 a 在c北偏东 15，b 在c南

11、偏东 45 ，则 a ，b 之间的距离为（）a. 5 3kmb. 10 3kmc. 15 3kmd. 20 3km4. 海上有 a ，b 两个小岛相距 10海里，从 a 岛望 c岛和 b 岛成 60的视角，从 b岛望 c岛和 a岛成 75的视角，则 b、 c间的距离是（）a. 103 海里b.106 海里c. 5 2 海里d. 5 6 海里35.在 abc 中，已知 a 4b4c 42c2 (a2b2 ) ，则 c= （）a. 30 b. 45 c. 45或 135d. 30或 1506. abc 中，若 b=30 ， ab 23， ac3 ，则 bc=。7. 如图，为了测定河的宽度， 在一岸

12、边选定两点 a 、b ，望对岸标记物 c，测得 cab 30 ， cba=75 ， ab=120m ，则河的宽度为。8. 某市在“旧城改造”中计划内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a 元，则购买这种草皮至少要（）a. 450a元b. 225a元c. 150a元d. 300a元9. 一个三角形两边为 3、5，其夹角余弦值是方程 5x 27x 6 0 的根， 则此三角形面积为（）a. 6b. 12c. 15d. 3010.在 abc 中，若 2 cosbsin asin c ，则 abc 的形状一定是（）a. 等腰直角三角形b. 直角三角形c. 等腰三角形d. 等

13、边三角形3 ，这个三角形的面积为11.三角形的两边之差为2，夹角的余弦值为14，那么这两边分5别为（）a. 3 ， 5b. 4 ， 6c. 6， 8d. 5 ，712.已知 a 、b、 c是 abc 的三个内角，则在下列各结论中，不正确的为（）用心爱心专心a. sinb. sinc. sind. sin2222asin 2bsin 2c2 sin b sin c cos(bc )bsin 2asin 2c2 sin asin c cos( ac )csin 2asin 2b2sin asin b cosc( ab)sin 2 asin2 b 2sin bsin c cos( a b)13.在

14、abc 中， ab=4 ， b， abc 的面积为3 ，则 ac=。314.如图，在 abc 中， bc=10 ， b=60 ， c=45 ，则点 a 到边 bc的距离是。15. 一货轮航行到 m 处，测得灯塔 s在货轮的北偏东 15，相距 20海里处，随后货轮按北偏西 30的方向航行，半小时后，又测得灯塔在货轮的北偏东45，求货轮的速度。16. 如图， 在某点 b处测得建筑物 ad 的顶端 a 的仰角为 15， 沿 bd 方向前进 30 10 3 米至点 c处测得顶端 a 的仰角为 60，求建筑物 ad 的高。17.sin asin b已知 abc 的三个内角 a 、 b、 c，满足 sin

15、 ccos bcos a6cm 2 ，求 abc（ 1）判断 abc 的形状；（ 2）设三边 a,b,c 成等差数列且 s abc三边的长。18.已知圆内接四边形abcd 的边长 ab=2 ，bc=6 ， cd=da=4 ，求四边形 abcd 的面积。19. 在 abc 中，求分别满足下列条件的三角形形状：b60 ， b 2ac ；b 2 tan aa 2 tan b ；用心爱心专心sin csin asin b ； (a 2 b 2 ) sin( a b) (a 2 b2 ) sin( a b) 。cos acos b用心爱心专心【试题答案】1. c2. b3. b4. d5. b6. 37

16、. 60m8.c9.a10. c11. d12. d13.1314. 15 5 315. 解：如图所示， smn=15 +30 =45 snm=180 45 30 =105 nsm=180 45 105 =30 由正弦定理mn20sin 30sin1051mn 10( 62)， 10( 62)20( 62)2所以，货轮的速度为20(62) 海里 / 小时16. 解：在 abc 中，bc3010 3， abc=15 cab=60 15 =45根据正弦定理bcacsincabsinabc30103acsin 45sin15ac30103sin(4530 )103sin 45在 adc 中， ada

17、csinacd10 3 sin 60 15 （米）17. 解：（ 1） cos acos bsin asin bsin c b2c 2a2c2bc化简整理得 ( ab)(c2a 2b2a b2acc2a 2b2 )0 a 2b2c 2 abc 为直角三角形（ 2）由已知得 a 2b 2c2a c 2b1 ab 6解得 a3cm， b4cm， c5cm218. 解：如图，连续 bd ，则四边形面积ss abds cbd1 ab ad sin a1 bccd sin c22 ac180 sin asin c s1 ( ab adbccd ) sin a16 sin a2bd 222422 2 4

18、cos a 20 16 cos a在 abd 中，由余弦定理得在 cdb 中， bd 25248 cosc 2016cos a 52 48cosc又 cosccos acos a12 a=120 得 s16 sin a83用心爱心专心a2c 2b2a 2c2b 2119. 解： 由余弦定理 cos602ac22aca2c 2ac ac ( a c) 20 ac，由 ac 及 b60 可知 abc 为等边三角形 由 b2tan aa2b 2 sin aa 2 sin bsin b cos ab2sin 2btan bcos bsin a cos ba2sin 2acos a sin a cosasin b cosb sin 2 a sin 2b a=b 或