集合与常用逻辑用语函数考试题

1、集合与常用逻辑用语函数、导数考试题(时间100分钟，满分150分)姓名、选择题体题共12小题 ，每小题5分，共60分)1 x, x0,a. 1b. 2c. 3d. 4解析：选b 根据题意，由f(1) = f(1)可得a=1(1) = 2.2,若全集 u = xc r|x4,则集合 a= xer|x+1|w1的补集？ua为()a.xc r|0x2b.xc r|0x2c.x r|0x 2d. x r|0 x 2解析：选 c 因为 u = xc r|x2w4 = xc r|-2x 2 , a=xc r|x+ 1|1 =x r|2wxw0.借助数轴易得？ua = xc r|00, 解析：选a 要使函数

2、f(x)有意义，则需解得1wx0或0xw1,所|x+1|1 w0,以函数的定义域 a=x|1wx0,或0xw1.所以an b=1, 1,其子集的个数为 4.7.已知 a= log23+ log2/3, b= log29log21/3, c= log32,贝u a, b, c 的大小关系是()a . a=bcc. abbc解析：选 ba= log23+ log2i3= log23/3, b= log2 9log21/3= log23j3,a= b.又,函数y= logax(a1)为增函数, a= log23v3log22= 1, c= log32c.8,函数y=xg1的图象关于x轴对称的图象大致

3、是()解析：选b 函数y=x2 = /x,该函数的图象就是抛物线y2 = x在x轴及其以上的部分,故函数y=x21 =近一1是将上述图象向下平移一个单位得到的，再作其关于x轴对称的图象，即选项b中的图象.1 c9.若a2,则函数f(x) = ；x3-ax2+1在(0,2)内零点的个数为()3a. 3b. 2c. 1d. 0解析：选c 依题意得f (x) = x22ax,由a2可知，f (x)在xc (0,2)时恒为负，即f(x)在(0,2)内单调递减，又f(0) = 10, f(2)=8-4a+14x3均成立；若 10g 2x+logx2 a 2,则 x1;“若ab0且cb的逆否命题是真命题；

4、若命题 p： ? xc r, x2+ 1 1,命题 q： ?xcr, x2-x- 14x3推得x22x+3= （x1）2+20恒成立，故正确；根据基本不等式可知要使不等式10g2x+logx22成立需要x1 ,故正确；由/口 1ab0 得 0b abp是真命题，命题 q是真又c,则可知其逆否命题为真命题，故正确；命题 命题，所以pa（?q）为假命题，故不正确.二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）(1, +),则 a=13. （2013河北质检）函数y=log2（3xa）的定义域是解析：由3x a0得x3.因此，函数y=log（3xa）的定义域是（3, +o）,所以a量,即 a= 2

5、.答案：214. （2012郑州高三模拟）曲线y=cos x 0wxw3后 与坐标轴所围成的图形面积是.解析：结合图形知其面积为s= / 20cos xdx+ - / cos xdx = sin x 序sin x 有2c = 1 - (- 1 -1)= 3.答案：315. (2012山东高考)若函数f(x) = ax(a0, awl)在1,2上的最大值为 4,最小值为 m, 且函数g(x)= (1 4m)x在0 , + 00 )上是增函数，则 a =.1解析：函数g(x)在0 , +00)上为增函数，则14m0,即m1 ,则函数f(x)在1,2上的最小值为1=m,最大值为a2= 4,解得a=

6、2, 1=m,与m1矛盾；当0a1时，函 a2411 1 1数f(x)在1,2上的取小值为a2=m,取大值为a =4,解得a = 4, m=而0,= 2x- 1,f(x)= 0, x=0,f(x)=x2x1 + ln x 中，属于 m 的有.(写出x+ 2, x0,则x0,又f(0) = 0,，f(x)= 0, x= 0,是奇函数，不符合条件；对于，函数 f(x) =x+2, x0, .,函数 f(x)在(0, +8)上单调递增，又 f(1)= 1 1 1+0= xx10, 函数 f(x)在(1, e)上存在零点，符合条件.答案：三、解答题(本题共6小题，共70分)17.(本小题满分10分)已

7、知函数y=f(x)的图象关于原点对称，且 x0时，f(x)=x22x + 3,试求f(x)在r上的表达式，并画出它的图象，根据图象写出它的单调区间.解：仅)的图象关于原点对称，. f(-x)=-f(x),又当 x0 时,f(x) = x2-2x+3,当 x0.函数解析式为f(x)= 0, x=0,-x2-2x- 3, x0, .x2.，一、一，1.f(x)的定义域为5，+ 8 .1(2)f(x)=log3(2x1) = log3 2 x21=log3 x2 +log32,1 .，f(x)的图象是由y= log3x的图象向右平移2个单位，再向上平移10g32个单位得到的.故可以由y=1og3x的

8、图象平移得到.19.(本小题满分12分)已知函数f(x) = x(x2-ax-3).若f(x)在区间1 , + )上是增函数，求实数 a的取值范围；(2)若x= 1是f(x)的极值点，求f(x)在区间1,4上的最大值. 3解：(1) .f(x) = x(x2-ax-3), .f/ (x)=3x2-2ax-3.,f(x)在1 , +8)上是增函数，在1, + 8)上恒有 f(x)0,即3x22ax30在1, +8)上恒成立.得aw|x 1在1, +8)上恒成立. x x, 一 313.当 x 1 时,2 x- x 2(1 1)=0,. a 0.1(2)依题意得f 3=0，rj 2一即3+3a3=

9、 ，得 a=4，故 f(x) = x3 4x2 3x.,c-1令 f (x) = 3x?8x3= ,得 x1 = , x2= 3.3当x在1,4上变化时，f (x)与f(x)的变化情况如下表：x1(1,3)3(3,4)4f (x)一0十f(x)一 61812所以f(x)在区间1,4上的最大值是f(1)=- 6.20.(本小题满分12分)经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t(天)的函数，且销售量近似地满足f(t) = 2t + 200(1 wtw50, tcn).前30天价格为g1一= 2t+30(1 t 30, te n),后20 天价格为 g(t) = 45(31 t

10、 50,tc n).(1)写出该种商品的日销售额s与时间t的函数关系;(2)求日销售额s的最大值.解：(1)根据题意，得1-2t+ 200 2t+30 , s=21t30, tc n,45 - 2t + 200 , 31t50, tc nt2+40t+6 000, 1t30, tcn,90t+9 000, 31t50, tc n.(2)当 1 wtw 30, tcn 时，s= - (t-20)2+6 400,当t=20时，s的最大值为 6 400.当 31wtw50, tcn 时，s= - 90t+ 9 000 为减函数,当t=31时，s的最大值为 6 210.,-6 2106 400,当t=

11、20时，日销售额 s有最大值6 400.a x2 x 121.(本小题满分12分)已知函数f(x) =x(xc r)ea为正数.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若对任意x1, x2c 0,4均有|f(x1) f(x2)|0,.由 f (x)0,得 0vx3;由 f (x)0,得x3.故函数f(x)的单调递增区间为(0,3),单调递减区间为(一, 0), (3, + 叼.(2)由(1)易知函数f(x)在0,3上为增函数，在3,4上为减函数.函数f(x)在0,4上的最大值f(3)=葭又. f(0) = a0 f(0)f(4).f(x)在0,4上的最小值为f(0)= a.，要使函数f(x)对任

12、意x1x2c 0,4均有|f(xi)-f(x2)|1 成立，只需 |f(3)-f(0)|1 即可,即 1+a 0, - 0a0. 32(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在区间(2,0)内恰有两个零点，求 a的取值范围；当a=1时，设函数f(x)在区间t, t+3上的最大值为 m(t),最小值为m(t),记g(t) = m(t)-m(t),求函数g(t)在区间 3, 1上的最小值.解：(1)f (x) = x2+(1 a)xa= (x+ 1)(x- a).由 f (x)= 0,得 x1= 1, x2=a0.当x变化时，f (x), f(x)的变化情况如下表：x(oo , 1)-

13、1(-1, a)a(a, + )f (x)十0一0十f(x)极大值极小值故函数f(x)的单调递增区间是(一8, 1), (a, +oo)；单调递减区间是(一1, a).(2)由(1)知f(x)在区间(2, 1)内单调递增，在区间(一1, 0)内单调递减，从而函数f(x)f - 2 0, 解得0a43f 0 0,1所以a的取值范围是 0,3.1。. . (3)当a=1时，f(x) = ax3x1.由(1)知f(x)在3, -1上单倜递增，在1,1上单倜递 3减，在1,2上单调递增.当 tc3, 2时，t+3c 0,1, 1ct, t+3, f(x)在t, 1上单调递增，在1,t+3上单调递减.因

14、此，f(x)在t, t+3上的最大值 m(t)=f(1) = 1,而最小值m为f(t) 3与 f(t+3)中的较小者.由 f(t+3) f(t)=3(t+1)(t+2)知，当 tc 3, 2时，f(t)wf(t+3),5 故 m(t)=f(t),所以 g(t)=f(-1)-f(t).而 f(t)在3, 2上单倜递增，因此 f(t)f(-2)=-.3一,一一154所以g(t)在3, 2上的最小值为 g(-2) = -3- 3=3.当 te 2, 1时，t+3c 1,2,且一1,1 e t, t+3.下面比较 f(-1), f(1), f(t), f(t+3)的大小.由f(x)在 2, 1, 1,

15、2上单调递增，有f( 2尸 f(t) f(-1), f(1) f(t+ 3)0时，a的方向与a的方向相同;当 k0时，a的方向与a的方向相反;当 入 =0时，后=0.2 .运算律：设 n科是两个实数，则：3 x旧）=（入）a;（计由a =入a +科a;a+ b）=后+ h四、共线向量定理向量a（aw0）与b共线，当且仅当有唯一一个实数n使得b=海小题练习1.下列命题正确的是（）a.不平行的向量一定不相等b.平面内的单位向量有且仅有一个c. a与b是共线向量，b与c是平行向量，则a与c是方向相同的向量d.若a与b平行，则b与a方向相同或相反解析：选a 对于b ,单位向量不是仅有一个，故 b错；对

16、于c, a与c的方向也可能d错,综上可知选a.相反，故c错；对于d,若b=0,则b的方向是任意的，故2 .如右图所示，向量 ab等于()a . 4ei 2e2b. 2ei 4e2c. ei 3e2d. 3ei e2uuu解析：选c 由题图可得ab= ba =ei -3e2.uur 3b,则下列关系式中正确的是uuin uuira. ad = bc uuuruuirc. ad =- bc uuir uuu解析：选b ad = ab3 .(教材习题改编)设2, b为不共线向量，ab =a+2b,()uuuruuub. ad = 2 bcuuiruuurd. ad = 2bcuuiruuir+ bc

17、 + cd =a +2b+( 4a b)+( 5a 3 b) = 8a 2b =uuur2(-4a-b) = 2 bc .uuiruuu uuu4 .若菱形abcd的边长为2,则| ab cb + cd | =. uuir uuu uuuuuir uuur uuu uuir解析：| ab cb + cd |= | ab + bc + cd |= | ad |= 2.答案：25 .已知a与b是两个不共线向量，且向量 a+不与一(b 3a)共线，则 仁解得k=1 3,解析：由题意知a+ ；b=k-(b-3a),?= k, 所以1=3k,答案：3共线向量定理应用时的注意点(1)向量共线的充要条件中要

18、注意“aw0”，否则入可能不存在，也可能有无数个.(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系, 当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合.考点一.向量的有关概念占典题导入例1给出下列命题：两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；uuiruuir若a, b, c, d是不共线的四点，则 ab = dc是四边形abcd为平行四边形的充要条件；若a与b同向，且|a|b|,则ab;入w为实数，若右=上，则a与b共线.其中假命题的个数为()a. 1b. 2c. 3d. 4自主解答不正确.当起点不在

19、同一直线上时，虽然终点相同，但向量不共线.正确.uuu uuir uuir unr uuir uurab = dc , .|ab |=|dc |且 ab / dc .又.a, b, c, d是不共线的四点,四边形abcd是平行四边形.uuu uuiruuu反之，若四边形 abcd是平行四边形，则 ab触dc且ab与dc方向相同，因此 abuuur =dc .不正确.两向量不能比较大小.不正确.当 壮严0时，a与b可以为任意向量， 满足 用=心，但a与b不一定共线.答案c2由题悟法1 .平面向量的概念辨析题的解题方法准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键，特别是对相等向量、 零向量等概念的理

20、解要到位，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法.2 .几个重要结论(1)向量相等具有传递性，非零向量的平行具有传递性；(2)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量；(3)向量平行与起点的位置无关 .3以题试法1.设ao为单位向量，若 a为平面内的某个向量，则a=|a|ao；若a与ao平行，则a= |a|ao;若a与ao平行且|a|= 1,则a= ao.上述命题中，假命题的个数是()a. 0b. 1c. 2d. 3解析：选d 向量是既有大小又有方向的量，a与|a|ao的模相同，但方向不一定相同,故是假命题;若 a与a。平行，则a与ao的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时 a=-

21、|a|ao,故也是假命题.综上所述，假命题的个数是3.向量的线性运算1典题导入例2 (1)(2011四川高考)如图,正六边形abcdef中,uuubauuu+ cd +uuuref =(a.c.0 uuuraduuurb. be uuud. cf(2)在4abc中，已知d是ab边上一点,uuuraduuur=2 db ,uuu 1 uuucd=1ca3uuu+ ?cb ,则入等于(2 a3c.2d一3自主解答(1)如图,.在正六边形abcdef中,uuu uuurcd = af ,uuur bfuuuce ,uuuba +uuucduuuruuuef = ba +uuuraf +uuuruuu

22、ref = bfuultuuu+ ef = ceuuur eflc cfuuuuuuruuuruuuuunuuur(2) . cd = ca + adcd = cb + bd ,uuu uur uuuuuur+ ad +uuurbd .uuur 又. aduun= 2db ,uuuuur uuu. 2cd = ca + cb1 uun+ 3abuur uuu 1 uunuur2 uur 4 uuu33-uuu 1 uur. cd =-ca3+2cb,即仁323.答案(1)d(2)a2由题悟法在进行向量的线性运算时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法 则、三角形法则求解，并注意利

23、用平面几何的性质，如三角形中位线、相似三角形等知识.3以题试法2. (2012汉阳调研)若a, b, c, d是平面内任意四点，给出下列式子：uuiruuinuuir uuu uuur uuuruuir uuu ab +cd =bc+ da; ac + bd =bc+ ad;uuuruuiruuir uuirac bd = dc + ab .其中正确的有()a. 0个b. 1个c. 2个d. 3个uur uuir uuu uuuuuir uuuuuu解析：选c式的等价式是ab - bc= da - cd ,左边=ab + cb ,右边=dauuuruuur uuur uuir uuu uuur

24、 uuu uuir uuir+ dc,不一定相等；式的等价式是ac - bc= ad- bd , ac+ cb = ad+ dbuuiruuir uuur uuiruuir uuur uuur=ab成立；式的等价式是ac dc = ab +bd, ad = ad成立.考点三共线向量1典题导入例3设两个非零向量a与b不共线.uuuruuiruuu若 ab=a+ b, bc =2a+8b, cd =3(a-b).求证：a, b, d 三点共线;(2)试确定实数k,使ka+ b和a+kb共线.uuuuuir自主解答(i)证明：: ab =a+b, bc =2a+8b,uuucd =3(a- b),u

25、uu uuu uuu. bd = bc + cd =2a+8b+3(a-b)= 2a + 8b+3a-3buuur= 5(a+b)= 5 ab .uuu uuu .ab , bd 共线,又.它们有公共点 b, /.a, b, d三点共线.uuu(2) . ka+b 与 a+kb 共线,bc存在实数 入，使ka+ b= xa+kb),即 ka+b= 2a + 入b. (k-5a=(入 b 1)b.a, b是不共线的两个非零向量，入=入卜1=0,即 k21=0.*= 1.2由题悟法1 .当两向量共线时，只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，解决向量共线问题 要注意待定系数法和方程思想的运用.2

26、.证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与 联系.3以题试法3 .已知 a, b 不共线，oua=a, ouu =b, oc =c, od=d, ou =e,设 te r,如 果3a=c,2b=d, e= t(a+b),是否存在实数 t使c, d, e三点在一条直线上？若存在，求 出实数t的值，若不存在，请说明理由.解：由题设知，cuu = d- c= 2b3a, cuu =e-c= (t-3)a + tb, c, d, e 三点在一条 uuu uuu直线上的充要条件是存在实数k,使得ce =kcd ,即(t 3)a+tb=3ka+2kb,整理得(t-3+3k)

27、a=(2k- t)b.t3+ 3k=0, 因为a, b不共线，所以有t-2k=0,解之得t = 5. 6故存在实数t=5使c，d，e三点在一条直线上.-a-= 成立的充分条件是|a| |b|高考典例(2012四川高考)设a, b都是非零向量，下列四个条件中，使()b. a / bd. a/b 且|a|=|b|a . a= bc. a = 2b 于c,当a= 2b时，j|y=j2b= jb；对于d,当a/b,且|a|= |b|时，可能有a=- b,此时高产白尝试解题对于a,当a= b时,a”.|a| |b|对于b,注意当a/b时,a b面与面可能反向;|a| |2b| |b| |a| |b| a

28、 b综上所述，使 台=总成立的充分条件是 a=2b.|a| |b|答案c过关检测作业题1 .对于非零向量a, b, “a+b=0”是2/b的（）a .充分不必要条件b .必要不充分条件c.充要条件d.既不充分也不必要条件解析：选a 由a/ b? a=4，不能得出a+b=0.2,已知向量p=;a+；b；,其中a, b均为非零向量，则|p|的取值范围是（）1a| 1b|a. 0,虚b. 0,1c. （0,2d. 0,2解析：选d由已知向量p是两个单位向量的和， 当这两个单位向量同向时，|p|max=2,当这两个单位向量反向时，1p|min=0.3 .下列等式： 0a = a;一（-a） = a; a+（a） = 0; a+0=a; ab=a+ （-b）.正确的个数是（）a. 2b. 3c. 4d. 5解析：选c a+（a） = 0,故错.4 . （2012 福州模拟）若 a+b+c=