(一)运用简单的初中高中几何知识的巧妙证明

1、（一）运用简单的初中高中几何知识的巧妙证明蝴蝶定理经常在初中和高中的试卷中出现，于是涌现了很多利用中学简单几何方法完成蝴蝶定理的方法。1 带有辅助线的常见蝴蝶定理证明在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线，同时诞生了各种美妙的思想，蝴蝶定理在这些辅助线的帮助下，翩翩起舞！证法 如图，作 OU AD ，OV BC ，则垂足 U，V 分别为 AD 、BC 的中点，且由于EUOEMO90FVOFMO90得 M 、E、U、 O 共圆； M 、F、V 、 O 共圆。则 AUM= EOM ， MOFMVC又MADMCB ， U、V为 AD 、BC 的 中 点 ， 从 而M U AAUMMVC则EOMMOF

2、，于是 ME=MF 。证 法过 D 作 关 于 直 线 OM的 对 称 点D ， 如 图 所FMDEMD ，MD=MD联结 DM 交圆 O 于 C，则 C 与 C关于 OM 对称，即PC CQ。又111PCFP= （ QB+PC ）= （ QB+CC+CQ ）=BC=BDC222故 M 、F、B、D 四点共圆，即 MBFMDF而M B FE D MD由、知，DMEDMF ，故ME=MF 。M V，示 ， 则AEU M OCF QV证法如图，设直线 DA 与 BC 交于点 N 。对 NEF及截线 AMB ，NEF 及截线 CMD 分别应用梅涅劳斯定理，有图 2F ME AN B，FMEDNCCC

3、M EA N1MEDN1AB FCF由上述两式相乘，并注意到PEN AN D N C N BM得FM 2ANNDBFCFBF CFOME 2AEEDBNCNAE EDD- 1 - / 6BFQBD图 3PM +MFMQ - MFPM 2MF 2PM - MEMQ+MEPM 2ME 2化简上式后得 ME=MF 。 不使用辅助线的证明方法单纯的利用三角函数也可以完成蝴蝶定理的证明。证法（给出）如图，并令DAB=DCBADC=ABCDMP=CMQAMP=BMQANCPMMQaPEFQMEx，MFy由S AMES FCMS EDMS FMB1即DS FCMS EDMS FMBS AME，AMAEsin

4、FMCMsinED MDsinMFMBsinMCCF sinEMMDsinFB BMsinMAME1sin2a y aya2y2化简得M FC F F BQ F F PM E2A E E D P E E Qa x a xa 2 x 2即y2a2y 2MF 。x2a2x2 从而 x y,ME，证法令PMDQMC， QMBAMP，以点 M 为视点，对和 MAD 分别应用张角定理，有sinsinsinsinsinsinMFMCMB，MDMAME上述两式相减，得PE11sinMC MDsinMBMAsinMEMC MDMAMFMBD设 G、H 分别为 CD、AB 的中点，由 OMPQ ，有MO图 4M

5、BCA MOBC F QB- 2 - / 6图 5MBMA2MH2OM cos 902OMsinMDMC2MG2OM cos 902OMsin于是sin110 而180，知MFME，2ysin0，故 ME=MF 。A1（二）运用解读几何的知识完成蝴蝶定理的PEM2证明1在数学中用函数的方法解决几何问题也是非常重要DO的方法，所以解读几何上夜出现了许多漂亮的证明蝴蝶定2理的方法，以下列出几个例子以供参考。证法（单墫教授给出）如图，建立直角坐标系，3则圆的方程可设为图 6x2y a2R2直线 AB 的方程为 y k1x ，直4。线 CD 的方程为 yk2 x 。由于圆和两相交直线组成了二次曲线系，

6、其方程为x22R2y k1 x y k2 x0y a令 y0，知点 E 和点 F的横坐标满足二次方程222k1k2 xaR0 ，由于 x 的系数为 0 ，则两根 x1 和 x2 之和为0 ， 即 x1x2 ，故 ME=MF 。证法如图建立平面直角坐标系， 则圆的方程2可写为Px2y2r 2EAaD1直线 AB 、 CD 的方程可写为 yk1 x , yk2 x。又 设 A 、 、B 、 C 的 坐 标 为2OMCxi , yii,则1 , 2x1、, x43分别,是4二次方程，1F2k12 x2r 2, x a2rQx ak22 x22的2B一根。 AD 在 y 轴上的截距为图 73CFQ2B

7、- 3 - / 6y1y yx1k1x1k2 x4k1x1 x1k1k2 x1 x4P41x4x1x4x1Bx2x1。FCk1k2x2 x3V同理， BC 在 y 轴上的截距为注意到 x1、 x2 是x3x2。MOx方 程2x22 a x22是 方 程AEU1 k1ar 0的 两 根 ， x3、 x41k22x22axa2r 20的两根，所以QDx1x22ax3x4从而易得图 8x1x2a2r 2x3 x4，x1x2x3 x40即 MEMF。x1x2x3x4，证法如图，以 M 为极点， MO 为极轴建立极坐标系。因 C、 F、 B 三点共线，令BMx，CMx，则CF sinFB sinC B

8、sin22即FCB sinB cosC cosAD sinEA cosD cos作 OUCD 于 U ，作 OVAB 于 V 。注意到A BCD由 Rt OUM与 RtOVM 可得BADCcoscos将代入可得EF ，即 ME=MF 。- 4 - / 6二 蝴蝶定理的推广和猜想（一） 猜想在蝴蝶定理中 ,、 分别是、 和的交点 .如果 、分别是、 和延长线的交点 , 我们猜想 ,仍可能会有.推论 过圆的弦 的中点引任意两条弦 与 , 连结 、 并延长交 的延长线于 、 . 求证 : .证明 ; 设,;, ;, ;记 , , ,的面积分别为, , , .则由恒等式 知( ) ( ) () ( )

9、 ,即 . 又由割线定理知 ( )( ) ( )( ) .代入 式 , 得 ( ) ( ) .即 .由于 , , ,所以 .即 .（二）猜想在蝴蝶定理中 ,显然 是 的垂线 ( 是圆心 ) ,那么 , 我们可以猜想 , 如果在保持 的前提下将圆 的弦 移至圆外 , 仍可能会有 .推论已知直线 与 相离 .,为垂足 .过 作 任意两条割线 ,分别交 于 ,和 , .连结并延长分别交于 , .求证 : .证明：过 作 , 交直线 于 , 交 于 .连结交 于 .连结 , .由于 , 故有, 从而 ( 因为在 的垂直平分线上 ) .又由割线定理知 . 因此.又由 , 知.从 知 , 从而 , ,四点

10、共圆 . 所以 .又由于 ,知 .由 、 、 知 . 所以 .（三）猜想 既然蝴蝶定理对于双曲线是成立的 , 而双曲线是两条不相交的曲线 , 那么 , 我们可以猜想 , 如果把两条不相交5 / 6的曲线换成两条不相交的直线 ( 也即是两条平行线 ) , 仍可能会有 .推论设点 、 分别在两条平行线、上 , 过的中点任意作两条直线和 分别交、于、 和 、 ,连结 、 交 于 、 .求证 : .证明：由于平分 ,从而利用知平分,利用知平分 .在四边形 中, 由对角线相互平分知 是平行四边形 , 从而 . 又由于 平分 , 故利用 知 。 结论从本质上说，蝴蝶定理实际上是射影几何中一个定理的特殊情况， 它具有多种形式的推广：.，作为圆内弦是不必要的，可以移到圆外。. 圆可以