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文档简介

1、锐角三角函数与圆综合训练题例题一 2013加州)如图, d为。0上一点,点 c在直径ba的延长线上,/ cdaw cbd(1)求证:cd=ca?cb(2)求证:cd是。0的切线;(3)过点b作。0的切线交 cd的延长线于点 e,若bc=12, tan/cda上,求be的长.分析:(1)通过相似三角形( ad6adb(c的对应边成比例来证得结论;(2)如图,连接 od欲证明cd是。0的切线,只需证明 cdl0a即可;(3)通过相似三角形 eb6aodc的对应边成比例列出关于be的方程,通过解方程来求线段be的长即可.解答: (1)证明:cdaw cbd /c=/ c,. .ad6 adbc空理,

2、即 cd=ca?cbdc bc(2)证明:如图,连接 od.ab是。0的直径,/adb=90 ,.z 1+7 3=90 . .oa=o d.z2=z3, .z 1+7 2=90 .又/cda=cbd 即/4=/1,.z 4+7 2=90 ,即/ cdo=90 , odl oa又oa是。0的半径, .cd是。0的切线;(3)解:如图,连接 oe. eb cdt匀为。0的切线,ed=eb oel dr / abd廿 dbe=90 , / oeb+ dbe=90 , ./abdw oeb/ cda= oeb而 tan / cda上, 3 .tan / oeb=95=z,be 3 .rtacdo rt

3、acbe- cd皿维2cb be be 3.cd=8在 rtcbe中,设 be=x, (x+8) 2=x2+12:解得x=5.即be的长为5.例题二 如图,ad是abc的角平分线,以点 c为圆心,cd为半径作圆交bc的延长线于点e,交 ad于点 f,交 ae于点 m 且/ b=z cae ef: fd=4: 3.(1)求证:点f是ad的中点;(2)求 cos/aed的值;(3)如果bd=10,求半径 cd的长.(1)由ad是4abc的角平分线,/ b=z cae易证得/ adem dae即可得ed=ea又由ed是直径,根据直径所对的圆周角是直角,可得efar由三线合一的知识,即可判定点f是ad

4、的中点;(2)首先连接dm设ef=4k, df=3k ,然后由勾股定理求得 ed的长,继而求得 dm 与me的长,由余弦的定义,即可求得答案;(3)易证得aaea4bea然后由相似三角形的对应边成比例,可得方程:(5k)2=-k? (10+5k),解此方程即可求得答案.2解 (1)证明:.ad是4abc的角平分线,答: ,/1=/2, /adew1+/b, /daew2+/3,且/b=/3, / adew daeed=ea,ed为。0直径,/ dfe=90 , .eh aq 点f是ad的中点;(2)解:连接dm设 ef=4k, df=3k ,贝u ed=/i居京不5k, 1ad?efae?dm

5、22 .dm延巫巫空3k,ae 5k 5me=/ - d产告,./acn me 7 . cos / aed=;de 25(3)解:.一/ b=z 3, /aec 为公共角, .ae6 abea .ae be=ce ae .ae2=ce?be( 5k) 2韭k? (10+5k),2,. k 0, k=2, .cd至 k=5.2例题三2014烟台如图,ab是9。的直径.延长ae至尸便ep及8d垂直于弦,垂足为点氏点d在fc士.设/pch=o2poc=四求证 jam * tan4=4.(本题满分8分)证明:连接自c.上分贝叱4 = :号* 2分:ab是。的直径.zacb = 90aun -1-= 第

6、.3分vbd1hc,atan0-/ bdf ac. *:.pbd=za.vzf-zf.二pbx/p4cbd_pbahem =. 1!i! i + *4 - 4ac pafvpb=ob=oa, pb = 1p丈 _ 3,*s bd bc bd 1 l加多阮,恁=*亍例题四 如图,o。是 abc的外接圆,ab为直径,od bc交。于点d,交ac于点e,连接ad, bdd cd(1)求证:ad=cd(2)若 ab=1q cos/abcn,求 tan/dbc的值.圆周角定理;勾股定理;圆心角、弧、弦的关系;解直角三角形. (1)由ab为直径,od bg易得 odlag然后由垂径定理证得,ad=cd,继

7、而证得结论;(2)由ab=1q cos/abc.,可求得oe的长,继而求得 de, ae的长,则可求得5tan/dae然后由圆周角定理,证得/ dbcw dae则可求得答案.(1)证明: ab为。0的直径,/acb=90 ,. od/ bg/aeow acb=90 ,. odl a c d*(b.,|二1 i.ad=cd(2)解:ab=10,oa=od=ab=5,2. od/ bg aoew abc在 rtaeo中,oe=oa?cosaoe=oa?cosabc=5 :oszd=-it jdc , :心一嬴二小加吃晴胀8, 曜囱“e融。醛rm皿,叫蜀以, ?zdac=zbic-;4k她,。*ci

8、 .z- jac ai,s 30一:一,1。城=12,51二仙科狼l12乐6餐, 好:槌榜的解帐,熊三能蒯林战,箭触无根陀跳的瞒睚丽用,主熟髀钱脏驻裸就睛竦3、【解析】圆与直线的位置关系;相似和三角函数【答案】(1)证明:连结oc. odl bc 所以/ eoc/ eob 在 eog口 aeob43oc =ob reoc -eoboe =oe. .eo雀 eob(sas/ obe/oce90be与。o相切(2)解:过点d作dhl ab. odhb obd. od ob=oh oddh bd一2又. sin z ab(=-3.od=6.oh=4, oh5, dh=275又adhh afb.ah

9、ab=dh pb13:18=2 j5:fb. fb365 f=13【点评】(1)利用全等三角形求出角度为90。,即得到相切的结论。(2)利用三角形相似和三角函数求出三角形各线段的长。4分析】(1)由bf是圆o的切线,ab是圆o的直径,根据切线的性质,可得到bflar然后利用平行线的判定得出 cd/ bf(2)由ab是圆o的直径,得到/ adb=90o ,由圆周角定理得出/ badw bcd再根据三角 4ad函数 cos / bad= cos / bcd=5 ab即可求出ad的长【解析】(1)证明:: bf是圆o的切线,ab是圆o的直径.bh ab.cdlab .cd/ bf(2)解::ab是圆

10、o的直径/ adb=90o圆o的半径5.ab=10 / badw bcd4 adcos / bad=cos / bcd=-=5 ab4 ad = cosbad ab 10 =85.ad=85【解析】 (1)要证 pa是。0的切线,只要连接ob,再证zp ao=z p bo= 90即可.(2) od op分别是rt oad rtopa的边,而这两个三角形相似且这两边不是对应2边,所以可证得 oa = od- op再将 ef= 20a代入即可得出ef, od, op之间的等量关系.(3)利用tan zf= 1 ,得出ad, od之间的关系,据此设未知数后,根据ad= bq od2= 1bc= 3,

11、 ao= oc= of= fd- of,将 ab, ac也表达成含未知数的代数式,再在rtaabc2中运用勾股定理构建方程求解.【答案】解:(1)证明:如下图,连接 orpb是。o 的切线,/ pbo= 90 .,. oa= or bal pot d, ad= bd, / poa= / pob又po= pq pa pbq,/pao= z pbo= 90 .直线 pa为。的切线.fp(2) ef2=4od- op证明:. / pao= /pda= 90 ,/oadf /aod= 90 , / op z aop= 90 ./ oad= / opa oas opa . . od = oa ,即 oa

12、=od- op oa op又 ef=20a ef2 = 40d- op(3) :。七 oc aabr bc=6, 0d= 1bc=3.2设 ad= x, . tan/f=1, . fd= 2x, 0a= 0f= 2x-3.在rtaod中,由勾股定理 ,得(2x 3)2=x2+32.解之得,xi=4, x2 = 0 (不合题意,舍去).ad= 4, oa= 2x-3=5.ac是。o的直径,/ abc= 90 .而 ac= 2oa= 10, bc= 6, .cos/ acb= 9 = 9 . 105 . oa= od- op .3(pe+5) = 25.6、解析:利用切线的性质和等边对等角可以证明

13、/egkw ekg然后根据等角对等边,即可证明第(1)小题;对于第(2)小题,可以先由等积式得到比例式,然后得到三 角形相似,根据角的关系可以判断两条直线的位置关系;对于第(3)小题,可以先利用方程的思想求出相关线段的长,然后利用三角函数求fg的长。答案:(1)如下图,连接og. eg 是。o 的切线ogl ge,/ ogk廿 egk= 90 / cd ab,z oag+ akh 90 og=oa / ogkw oag. / egkw akh=z ekg . ke=ge(2) ac/ ef理由如下:2_kg =kd- ge ge=ke.kg kekd - kg . kgs kge ./ kgd

14、= / e/ kgd= / ce= / cac/ ef(3)二.在(2)的条件下,ac/ ef ./ caf= / f, / e=/ csine=5sinc= ,sinf= ,tane=tanc=55连接bg过g作gnl ab于n,交o o于q则弧bq瓠bg ./ bgn= / bag设 ah=3k 则 ch=4kch2 16k2 16k ”_bh+ah 25kbh=og=ah 3k 326,eg 是切线,cdl abogf 90 / fog廿 f=z e+z f / fogh e25k 3 5k ng=ogsin fog= =6 5 225k45k . bn=ob-on=og-ogcosfo

15、g=_ 1-=:65622 5k. 10bg=. ng +bn =67、【解析】(1)连接 ob证 obl bc,即证/ obe吆ebc=90 。通过 oa=ob ce=cb / aed=z beg可将/obe/ ebc 分别转化为/a、/aed,结合cd! oa 可证/obe+/ebc=90 ;(2)连接of,由cd垂直平分 oa得af=of=oa再结合圆心角与圆周角关系易求/abf的度数;,(3)作 cgl be于 g,得/ a=z ecg cg是 be垂直平分线,由 cd=10 be=10, sina=,13可求eg ce cg de长度,通过 ada cgest求ad,从而计算半径 o

16、a【答案】(1)证明:连接 ob oa=ob / a=z obe ce=cb,/ cebw ebg /aed =/ebc,/ aed = / ebg 又 cdl oa . . / a+/aed4 oba吆 ebc=90 ,bcd o是的切线;17(2) . cd垂直平分 oa of=af 又 oa=of,oa=of=af z 0=60 , . . / abf=30 ;5(3)作 cglbe于 g,贝u/ a=z ecg ce=cb bd=1q . eg=bg=5 sinecg=sina=,13addead 2.ce=13, cg=12.又 cd=15,de=2 adea cge.二,即=,cgeg125244848ad=, oa= ,即。的半径是o555细硼的瞬雕i髀箱的瓶觇迎用雕抽镰三楠撕钮,吾然减i halhh i h-i mliliil i4通瞒履iff?蛭嗣如oe懒抛。钟踹毗印箱s而为商也叫成就哪即颓郁山睁悯眼理弑翔

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