阅读与思考海伦和秦九韶(四)

1、假设有一个三角形，边长分别为a、b、c,三角形的面积s可由以下公式求得：s= vp(p-a)(p-b)(p-c)而公式里的p为半周长：p=(a+b+c)/2注1 ： metrica(度量论)手抄本中用s作为半周长，所以s= mp(p-a)(p-b)(p-c)和 s= vs(s-a)(s-b)(s-c)两种写法都是可以的，但多用p作为半周长。由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求 多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测 两点间的距离，就可以方便地导出答案。证明过程与海伦在他的著作metrica(度量论)中的原始证明不同，在此我们用

2、三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边 a、b、c的对角分别为a、b、c,则 余弦定理为cosc = (aa2+ba2-ca2)/2abs=1/2*ab*sinc=1/2*ab* v(1-cosa2 c)=1/2*ab* v1-(aa2+ba2-ca2)a2/4aa2*ba2=1/4* ”4aa2*ba2-(aa2+ba2-ca2)a2=1/4* ”(2ab+aa2+ba2-ca2)(2ab-aa2-ba2+ca2)=1/4* ”(a+b)a2-ca2ca2-(a-b)a2=1/4* v(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)设 p=(a+b+c)/2贝u p=(a+b+c

3、)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=v(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16=p(p-a)(p-b)(p-c)所以，三角形 abc 面积 s= vp(p-a)(p-b)(p-c)证明(2)我国宋代的数学家秦九韶也提出了 “三斜求积术”。它与海伦公式基本一样， 其实在九章算术中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土 地面积时，由于土地的面积并不是的三角形，要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积？直到南宋，

4、我国著名的数学家秦九韶提出了 “三 斜求积术”。秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜 平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自 乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个。相减后余数被4除，所得的数作为“实”，作1作为邛禺”，开平方后即得面积。所谓“实”、“隅”指的是，在方程px 2=qk,p为“隅”，q为“实”。以、 a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜，所以q=1/4aa2*ca2-(aa2+ca2-ba2)/2 12当 p=1 时， 2=q,上 v/4aa2*ca2-(aa2+ca2-ba2)/2 a2因式分

5、解得 a2=1/164aa2ca2-(aa2+ca2-ba2)a2=1/16(c+a) a2-b a2ba 2-(c-a)a 2=1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)=1/16(c+a+b)(a+b+c-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)=1/16 2p(2p-2a)(2p-2b)(2p-2c)=p(p-a)(p-b)(p-c)由此可得：s*vp(p-a)(p-b)(p-c)其中 p=1/2(a+b+c)这与海伦公式完全一致，所以这一公式也被称为“海伦-秦九韶公式”。s= v/4aa2*ca2-(aa2+ca2-ba2)/2 12.其中 cba.根据海伦

6、公式，我们可以将其继续推广至四边形的面积运算。如下题：已知四边形abcd为圆的内接四边形，且 ab=bc=4,cd=2,da=6,求四边形abcd的面积这里用海伦公式的推广s圆内接四边形=根号下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) (其中p为周长一半，a,b,c,d,为4边)代入解得s=8 v 3证明(3)在bc中za、/b、/c对应边a、b、co为其内切圆圆心，r为其内切圆半径，p为其半周长有 tana/2tanb/2+tanb/2tanc/2+tanc/2tana/2=1r(tana/2tanb/2+tanb/2tanc/2+tanc/2tana/2)=r,.t=(p-a)tana/2

7、=(p-b)tanb/2=(p-c)tanc/2 . r(tana/2tanb/2+tanb/2tanc/2+tanc/2tana/2)=(p-a)+(p-b)+(p-c)tana/2tanb/2tanc/2=ptana/2tanb/2tanc/2=r .pa2ra2tana/2tanb/2tanc/2=pra3. .sa2=pa2ra2=(pra3)/(tana/2tanb/2tanc/2)=p(p-a)(p-b)(p-c) .s= vp(p-a)(p-b)(p-c)证明(4)通过正弦定理:和余弦定理的结合证明(具体可以参考证明方法1)编辑本段推广关于三角形的面积 计算公式在解题中主要应用的有：设bc中，a、b、c分别为角a、b、c的对边，ha为a边上的高，r、r分别为9bc外接圆、内切圆的半径，p = (a+b+c)/2,则szabc=1/2 aha=1/2 ab xsinc=r p=