第03讲三角形中的变换

1、精品资源第 03 讲三角形中的变换（一）知识归纳：在三角形中有下述重要的公式与定理：设 abc 中，角 a 、 b、 c 的对边为 a、 b、 c，【内角和定理】a+b+c= 【正弦定理】abc2r （ r 为外接圆半径）sin asin bsin c【余弦定理】a2b2c22bc cos a或 cos ab2c2a 22bc【面积公式】1ab sin cabcr s（其中 r 为内切圆半径，s1 (a b)s4r2c ）2（二）学习要点：1边角互换：三角形中的变换问题，除了需要运用三角式变换的所有方法、技巧外，还经常需要考虑对条件或结论中的“边”与“角”进行互换，即运用“正弦定理、余理定理或

2、面积公式”将边换成角，或将角换成边.2结合图形：有些问题还应考虑结合图形并运用“正弦定理、余弦定理或面积公式”建立关系式 .【例 1】在 abc 中，求证：证法一 （考虑“角换边” ）ac cos bsin b .bc cos asin a左边 = 2r sin a2r sin c cos bsin( bc)sin c cos b2r sin b2r sin c cos asin(ca)sin c cos a(sin b cosccos b sin c )sin c cos bsin b coscsin b右边；=cosc sin a)sin c cos acosc sin asin a(si

3、n c cos a证法二 （考虑“角换边” ）a c c 2a 2b 2a2b 2c2bsin b左边 =2ca2a右边 .b c b2c 2a 2b2a 2c2asin a2bc2b评析 证法一将等式转化为三角式，并进行三角式变换；而证法二是将等式转化为代数式，并进行代数式变换；在解决问题题应估计这两种方法的难易程度，准确作出决策.欢迎下载精品资源【例 2】解答下列述问题：（） abc 中，若 tan bcos(c b)，试确定 abc 的形状 .sin(csin ab)sin bcos(cb)sin bcosc cos b sin c sin b解析 sin(cb)sin(cb)cos b

4、2 sin c cos bcos b2sin b sin ccosc cos bsin c sin bcos(bc ) 00 b c, bc, abc 为直角三角形 .23（）在 abc 中，已知（ a+b+c ） (a+b c)=3ab， sin asin b，试判断三角形的形状 . 4解析 由（ a+b+c ） (a+bc)=3 ab(a b) 2c 23aba 2b 2c2ab,a 2b2c21 cosc2ab0 c0， a2c， 5c 3a=0 不合， c5 , b12 . 设 c=5k， b=12k ，a=13k ，a13 a13 r:r= a : 1 (b c a) 13 : 4.

5、22评析 例 4是较综合一些的问题，也是带有考试特点的问题.训练题一、选择题1在 abc 中，已知 tan atan b1, 则 abc 是（）a 锐角三角形b钝角三角形c非直角三角形d最小内角大于 45的三角形2 abc 中， sin2a=sin2b是三角形为等腰三角形的（）a 充分但不必要条件b必要但不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件3 abc 中，若 sin a3 ,sin b1 , 则 abc 一定是（）512a 锐角三角形b 钝角三角形c直角三角形d等腰三角形4在 abc 中，若 a(2 cos2 a1tan2b1)b2 , 则 abc 哦（）212btan2a 等腰三角形b

6、直角三角形c等腰直角三角形d等腰或直角三角形5 abc 的内角满足： tana sina0 ，则角 a 的取值范围是（）a (0, )b ( , )c ( , 3 )d ( 3 , )4422446在 abc 中， a:b:c=3:3:5 ，则2 sin asin b（）sin c123d不是常数a b c535二、填空题7在 abc 中，若 (1tan a)(1tan b)2, 则 c 等于.欢迎下载精品资源8在 abc 中，角 a 、 b、 c 的对边分别为a， b，c，且 c=7， cos ba4 ，则cos ab3a=， b=.9若 a 为 abc 的内角，则sina+cosa 取值范

7、围是.10对 abc ，有下面结论： 满足 sina=sinb 的 abc 一定是等腰三角形； 满足 sina=cosb的 abc 一定是直角三角形；满足上述结论正确的命题的序号是三、解答题：abc 的 abc 一定是直角三角形.则sin asin b.11在 abc 中，若 a2 sin 2bb2 sin 2 a 2ab cos a cos b ，判断 abc 的形状 .12 abc 中， c 22 ， ab， tana+tanb=5,tanatanb=6，求 a、 b 及三角形的面积。13在 abc 中， a2c 2b2ca, 又 log 4 sin alog 4 sin c1 ，且 ab

8、c 的面积s= 3 cm2，求三解形三边a、 b、 c 的长及三内角a 、 b、 c 的度数 .14已知 abc 的三个内角 a 、b、c 成等差数列， 且112 , 求 cos accos acosccos b2的值 .15在锐角 abc 中，已知 a b c，且 b=60 ，又 (1 cos 2 a)(1 cos 2 b)31 ,2求证： a2b2c.欢迎下载精品资源训练题答案一、 1.a2.d 3.b 4.d5.c6.c二、 7 38 28 , 2191, 2 10、4 5 5三、 11 ( 2r sin a) 2 sin 2 b(2 rsin b) 2 sin 2 a 8r2 sin

9、a sin b cos a cos bsin 2 a sin 2 bsin a sin b cos a cosbsin a sin b cos( ab)0, 0a 、 b ， sinasinb 0， cos(a+b)=0a+b=90 ， abc 是 c=90 的直角三角形 .a bcos a1sin a3tan a310，12由 tan atan b510及tan b2tan atan b6cos b1sin b2155 sin c sin( ab)2 ， a6108524,b, s.255513cos ba2b2c21 ,b120 ;31 ca sin b3 acac4;2ca224 sinasinc= 1r2ac4r2b2rsin b2 3;a2c216 a c 2 6 ，4由 ac 2 6a62; 可得a105或15ac4c62c.15 或 10514由条件得 b, 设a,c,ac，3233欢迎下载精品资源由条件得1122222cos3 sincos2cos()cos()3 sin332 cos2242 cos22 cos32 0cos2(cos3 2 不合）cos23sin 22415 b60 ,ac120 ,cos( ac )1 ；2由条件得22