复习专题1--分段函数

1、精品文档12欢在下载复习专题1一分段函数专题不务正业收集、整理、点评知识点梳理、定义：分段函数是指自变量在不同范围内，有不同对应法则的函数。一、汪息：1、分段函数是一个函数，而不是几个函数；2、分段函数的定义域是自变量各段取值的并集；3、分段函数的值域是各段函数值的 并集。4、解决分段函数的方法：先分后合三、涉及的内容及相应的常用方法：1、求解析式： 利用分段中递推关系，如平移、周期、对称关系，已知其中一段的解析式，得到整个定义域的解 析式；2、求值、解不等式：注意只有自变量在相应的区间段才可以代入对应的解析式。不能确定时常需要分情况讨论；3、单调性： 各段单调（如递增）+连接处不等关系。f1

2、 x在（，a）上fi x , x （, a（如f x在r上是增函数，则 f2 x在a,）上 ）；f2 x ,x a,） f1af2 a4、奇偶性： 分段讨论，各段 均符合相同的定义中的恒等式，才有奇偶性，否则为非奇非偶函数；5、图像性质或变换等：作图、赋值等，注意变量的范围限制；6、最值： 求各段的最值或者上下界再进行比较；7、图像： 分类讨论，如零点分段法得到各段解析式再作图；例题讲解：题型一、分段函数的图像。1 .作出函数y x x 1的图象一， *2 .函数y e | x 1|的图象大致是题型二、分段函数的奇偶性1、判断函数f(x) x(1 x) (x 0),的奇偶性 x(1 x) (x

3、 0).2_2、已知函数f(x)是定义在r上的奇函数，且当x 0时, f(x) x 2x 3.求f(x)的解析式。题型三、分段函数的最值1、(2oo5上海高考题)对定义域分别是 df,dg的函数y f(x),y g(x).规定:f(x)g(x)，当 x dfhx dg, 函数 h(x) f (x), 当x d f且x dgg(x), 当x dgx d f12(i)右函数f(x) , g(x) x2，与出函数h(x)的解析式;x 1 (ii )求问题(i )中函数h(x)的值域;题型四、与分段函数有关的不等式与方程1 (x 0)1、已知f(x),则不等式x (x 2) f(x 2) 5的解集是1

4、 (x 0)2 x 2,x2、(2011年高考北京卷理科13)已知函数f(x) x若关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根，则(x 1)3,x 2数k的取值范围是 lox.x 03、(2011年高考陕西卷理科11)设f(x) a 2，若f(f(1) 1，则a x ；3t2dt,x 0题型五、分段函数创新题1、定义运算(x(xy)y)m 1,则m的取值范围是()a. mb.c.1m - d.22、(2011年高考天津卷理科8)对实数a,a b,a,设函数1.f(x)2x ,x r.若函数yf(x)c的图像与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是a.1,2b.1,d.1,;总结:1、分段函数是

5、高考的一个热点，它可以考查函数的很多重要知识，如求值、作图、解方程、 求解析式、求周期和最值、函数的定义域、单调性、奇偶性等。2、解分段函数的问题时，关键的是根据自变量的分段情况选择相应解析式。3、解不等式或求范围时应根据自变量的分段情况，转化为若干个不等式(组)求解，然后取 这些不等式(组)解集的并集。4、研究分段函数的最值问题时，应先分段进行，再整体进行判断。课后作业:1、设 f(x)=则不等式f(x)2的解集为2ex1,x 2, 2log3(x1),x 2,(a) (1, 2)(3, +8) (b) ( v1q , +8) (c) (1, 2)(国,+8)(d) (1, 2)(3 a)x

6、 4a, x 1,2、已知f(x)是(-,+ )上的增函数，那么 a的取值范围是()logax,x 1(a) (1 , + )(b) (-,3)(c)3,3)(d)(1,3)53、lg x 1 , x 1, “一”e 24、设定义为r的函数f(x)bf(x) c 0”则关于x的万程f2(x)0, x 1.b 0 且 c 0 d.有7个不同的实数解的充要条件是a. b 0 且 c 0 b. b0 且 c0 c.5、定义在r上的函数f(x)满足f(x)10g2(1 x), x 0, f(x 1) f(x 2), x则f (2009)的值为( 0,a.-1b.0c.1d.24x3(x0)7、求函数f

7、(x)x3(0x1)的最大值x5(x1)8、(2011年高考湖北卷理科 17)(本小题满分12分)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车速度为0;当车流密度不超过 20辆/千米时，车流速度为60千米，/小时，研究表明：当20 x 200时, 车流速度v是车流密度x的一次函数.(i)当0 x 200时，求函数v(x)的表达式；(ii)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f (x) xgv(x

8、)可以达到最大，并求出最大值.(精确到1辆/小时)参考答案：题型一、分段函数的图像。1 .作出函数y x x 1的图象分析：原函数可化为:x(x 1),x 0y x(x 1),x 02.函数y eln x|x 1|的图象大致是分析:原函数可化为:1,x1,1x 一 1,x (0,1) , 很明显, xi,)时，图像是一条平等于x轴的射线,当x (0,1)时，是个对勾函数的形状。所以选d。题型二、分段函数的奇偶性1、判断函数x(1f(x) x(1x) (x 0), x) (x的奇偶性 0).分析：设x0,则 x 0,则 f( x)(x)1(x)x(1x)f (x),所以函数为奇函数。(注意：f(

9、0)并不存在，如果存在，一定有f(0)=02、已知函数f(x)是定义在r上的奇函数，且当x0时,f (x)2x3.求 f(x)分析：设x0,则x0。f( x)x)2 2(x)3 x22x又f (x)是定义在r上的奇函数,所以f( x)f (x),所以有:f(x)2x 2x 3,x 0 2x 2x 3,x 0所以：f (x)x2 2x3,x 0x2 2x 3,x 0题型三、分段函数的最值1、(2005上海高考题)对定义域分别是 d f，d g的函数y f(x), y g(x).规定:f (x)g(x),当xdffixdg,函数 h(x) f (x),g(x),dgfhx，且xdgdf(i )若函

10、数f (x)12 ，,g(x) x2 ,与出函数h(x)的解析式;x 1(ii )求问题(i )中函数h(x)的值域;本题好像有点问题。题型四、与分段函数有关的不等式与方程1、已知f(x)1 1(x(x 0)0)则不等式x(x2)f(x2)5的解集是2、(2011年高考北京卷理科 13)已知函数f (x)数k的取值范围是【答案】(0,1)【解析】画出函数图象与直线3、 (2011年高考陕西卷理科f(f(1) f(lg1)a.a0题型五、分段函数创新题1、定义运算a. mb.2、(2011f(x)a.c.x(x31) ,x2#右关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根，则y=k,观察，可得结果，

11、考查了函数与方程、数形结合的数学思想11)设f(x)lgx,x 0a 2 ix 0 3t dx, xf (0)b.0 a1(x(xy)y)1,则m的取值范围是(c.d.年高考天津卷理科8)对实数a,a b,a1,设函数1.2x x ,xr.若函数yf(x)c的图像与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是1,2b.d.1,41,【答案】b【解析】由题意知，若x2 2 (x x2) 1,即1 x 3时，f(x) x2 2 ;当x2 2 (x x2) 1,即x 12或x 3时，f (x) x x2 r,要使函数y f (x) c的图像与x轴恰有两个公共点，只须方程 f(x) c 0有两 2个不相等

12、的实数根即可，即函数y f(x)的图像与直线y c有两个不同的交点即可，画出函数y f(x)的图像与直线y c,不难得出答案b.总结：1、分段函数是高考的一个热点，它可以考查函数的很多重要知识，如求值、作图、解方程、求解析式、求周期和最值、函数的定义域、单调性、奇偶性等。2、解分段函数的问题时，关键的是根据自变量的分段情况选择相应解析式。3、解不等式或求范围时应根据自变量的分段情况，转化为若干个不等式(组)求解，然后取这些不等式(组)解集的并集。4、研究分段函数的最值问题时，应先分段进行，再整体进行判断。作业:1、设 f(x)=2ex1,x 2,210g3(x 1),x则不等式f(x)2的解集

13、为(2,(a) (1, 2)(3, +8)(b)(j0+8)(c) (1, 2)(j10 , +oo)(d) (1, 2)答案：c分别对x进行讨论。当x2 ,得1x22、已知f(x)(3 a)xlogax,x4a, x2 得 x 0时，对应每一个x有4个不同的值与之对应，t=0时，有3个不同的x与之对应，本题要求是7个根，所以，必须满足：其中一根t=0 ,另一根t0 。则ti*t2 0 c; ti t2b 0log2(1 x), x 0, 4、定义在r上的函数f(x)满足f(x)八 /则f (2009)的值为()f(x 1) f(x 2), x 0,a.-1b.0c.1d.2答案：q分析：分别

14、求出f 1、f 2、l、f 6 ,观察可得周期为 6或者：由 f(x) f(x 1) f(x 2)，迭代得 f(x 1) f(x) f(x 1)，由 f(x 1) f(x 2)f(x) f (x 3),令：x x 3,则，f (x) f (x 3),所以：f(x 3) f (x 3),令 x x 3,得出 f(x) f(x 6)4x 3 (x 0)这几个分段函数全是线性函数，最值一定出5、求函数f(x) x 3 (0 x 1)的最大值现在“临界点”上。x 5 (x 1)fmax ( x)4 .6、(2011年高考湖北卷理科 17)(本小题满分12分)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交

15、通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车速度为0;当车流密度不超过 20辆/千米时，车流速度为60千米，/小时，研究表明：当20 x 200时, 车流速度v是车流密度x的一次函数.(i)当0 x 200时，求函数v(x)的表达式；(ii)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f (x) xgv(x)可以达到最大，并求出最大值.(精确到1辆/小时)本小题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力解析:(i)由题意：当再由已知得0 x 20时，v(x) 60;当 20 x 200时，设 v(x) ax b1a 一，200a b 0,解得 320a b 60.,200b 360,0 x 20,故函数v(x)的表达式为v(x) 1 (200 x),20 x 200.360,0 x 20,(n)依题意并由(i)可得 f (x) i(200 x),20 x 2