函数的单调性典型例题

1、函数的单调性及典型习题、函数的单调性 1、定义：(1)设函数y = f(x)的定义域为a,区间mea,如果取区间 m中的任意两个值x1,x2，当改 变量油时，都有=f(x2)(xi)m ,那么就称函数 y= f(x)在区间m上是增函数，如图(1) 当改变量 b -xi3时，都有=f(x2)-f(xi)c0,那么就称函数 y = f (x)在区间m上是减函数，如图(2) 11 *j*(1)(2)注意：函数单调性定义中的xi,x2有三个特征，一是任意性，二是有大小，三是同属于一个单调区间.2、巩固概念：1、定义的另一种表示方法如果对于定义域i内某个区间 d上的任意两个自变量x1,x2，若f(x1)

2、 - f(x2) 0即x -x20,则函数y=f(x)是增函数，若 f(x1)f(x2)0即生0,则函数y=f(x)为减函数。x1 -x2lx判断题：-一-1_一 已知f(x)=因为f(1) f (2),所以函数f(x)是增函数. x若函数f(x)满足f(2) f(3)则函数f(x)在区间12,3上为增函数.若函数f (x)在区间(1,2和(2,3)上均为增函数，则函数f (x)在区间(1,3)上为增函数.11因为函数f(x)=一在区间(- 0), (0严上)都是减函数，所以f (x)=一在xx(*,0) = (0,)上是减函数通过判断题，强调几点：单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义

3、域和相应区间就谈不上单调性.对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数).单调性是对定义域的某个区间上的整体性质，不能用特殊值说明问题。函数在定义域内的两个区间a,b上都是增(或减)函数，一般不能认为函数在a=b上是增(或减)函数.熟记以下结论，可迅速判断函数的单调性.1 .函数y = f (x)与函数y= f (x)的单调性相反.12 .当f (x)恒为正或恒为负时，函数 y= f(x)与y = f (x)的单调性相反.3 .在公共区间内，增函数+增函数=增函数，增函数一减函数=增函数等4 .判断函数单调性的方

4、法(1)定义法.(2)直接法.运用已知的结论，直接得到函数的单调性，如一次函数，二次函数的单 调性均可直接说出.(3)图象法.1 ,一 例1、证明函数f(x)= 在(0, +笛)是减函数.x练习1：证明函数f(x) = jx在(0,2是增函数.精品资料例2、设函数f (x) = x+2 + igl+x,试判断f (x)的单调性，并给出证明.例3、求下列函数的增区间与减区间(1)y = |x2 + 2x-3|x2 -2x(2)y =1-|x -1|(3)y = v-x2 -2x +3例4、函数f(x) = ax2 - (3a - 1)x + a2在-1, +上是增函数，求实数 a的取值范围.例5

5、、已知二次函数 y=f(x)(x cr)的图像是一条开口向下且对称轴为x=3的抛物线，试比较大小：(1)f(6)与 f(4)(2)f(2)与 f(相)例6、函数f (x) = | x |和g (x)=x (2x )的递增区间依次是a.(-二，0,(-二，1 b.(：, 0, 1,二)c.0,二)，(-二，1 d.0,二)，1,二)2例7、已知a、b是吊数且a4f (x) =ax +bx ,且f (2) = 0,并使方程f(x) = x有等根.(1)求f (x )的解析式；(2)是否存在实数 m、n (m 0,又g (x) =f (x) + c (c为常数)在a,b (avb=上是单调递减函数，判断并证明 g (x)在b-a上的增 减性.课后巩固：1、利用函数单调性定义证明函数f(x)=-x3+1在(一8, 十囚上是减函数.2、.设f(x)是定义在r上的函数，对m、nw r恒有f(m + n)= f (m) ,f(n),且当x 0时, 0 f (