一次函数、一次方程和一元一次不等式(基础)知识讲解

1、精品文档一次函数、一次方程和一元一次不等式（基础）责编：杜少波【学习目标】1 .能用函数的观点认识一次函数、一次方程与一元一次不等式之间的联系，能直观地用图 形（在平面直角坐标系中）来表示方程的解及不等式的解，建立数形结合的思想及转化 的思想.2 .能运用一次函数的性质解决简单的不等式问题及实际问题.【要点梳理】要点一、一次函数与一元一次方程一次函数y kx b （kw0, b为常数）.当函数y = 0时，就得到了一元一次方程kx b 0,此时自变量x的值就是方程kx b = 0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.从图象上看，这相当于已知直线y

2、 kx b （kw0, b为常数），确定它与x轴交点的横坐标的值.要点二、一次函数与一元一次不等式由于任何一个一元一次不等式都可以转化为ax b0或ax b 0或ax bw0（ a、b为常数，aw。）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数y ax b的值大于0 （或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围.要点诠释：求关于x的一元一次不等式 ax b0 （aw0）的解集，从“数”的角度看，就是x为何值时，函数y ax b的值大于0?从“形”的角度看，确定直线y ax b在x轴（即直线y =0）上方部分的所有点的横坐标的范围.要点三、一元一次方程与一元一次不等式我们已

3、经学过，利用不等式的性质可以解得一个一元一次不等式的解集，这个不等式的解集的端点值就是我们把不等式中的不等号变为等号时对应方程的解要点四、如何确定两个不等式的大小关系ax b cx d(awc,且ac 0)的解集 y ax b的函数值大于y cx d的函数值时的自变量 x取值范围直线y ax b在直线y cx d的上方对应的点的横坐标范围.【典型例题】类型一、一次函数与一元一次方程1、若直线y kx b与x轴交于（5,0）点，那么关于x的方程kx b 0的解为【答案】x 5【解析】kx b = 0的解是直线y kx b与x轴交点横坐标.【总结升华】 当函数y 0时，就得到了一元一次方程kx b

4、 = 0,此时自变量x的值就是方程kx b = 0的解.举一反三：【变式1】如图，已知直线 y ax b,则关于x的方程ax 1 b的解x =【答案】4；提示：根据图形知，当 y = i时，x = 4,即ax b 1时，x = 4.，方程ax b 1 的解x = 4.【变式2】如图，直线y kx b分别交x轴和y轴于点 a b,则关于x的方程kx b = o 的解为.【答案】x 2；提示：方程kx b = 0的解其实就是当 y 0时一次函数y kx b与x轴的交点横坐标.由图知：直线y kx b与x轴交于点（一2,0）,即当x = 2时，y kx b =0.类型二、一次函数与一元一次不等式2、

5、（2015?乐山模拟）如图，直线 y=kx+b交坐标轴于 a （-3, 0）、b （0, 1）两点，则不等式-kx-b-3 b . xv-3 c . x3d . x0,就是求函数值大于 0时，x的取值范围.【答案】a；【解析】 解：:要求-kx-bv。的解集，即为求 kx+b0的解集，从图象上可以看出等 y0时，x- 3.故选：a.7欢迎下载【总结升华】本题考查了一次函数与不等式的关系及数形结合思想的应用.解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点(交点、原点等)，做到数形结合.举一反三：【高清课堂：393614 一次函数与一元一次不等式，例2】【变式】如图，直线 y kx b与坐标轴的两

6、个交点分别为 a (2, 0)和b (0, 3),则不等式kx b + 30的解集是()a x 0 b . x2 d . x 0时，函数值kx b -3.3、直线li ： y kix b与直线l2 : yk2 x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,则关于x的不等式k1x b k2x的解为().1 c . x 2 d .无法确定【答案】b;【解析】从图象上看kx b k?x的解，就是找到li在12的上方的部分图象，看这部分图象自变量的取值范围.当x 1时，k1x b k2x,故选b.【总结升华】本题考察了用数形结合的方法求解不等式的大小关系， 解题的关键是找出表示 两条直线的交点的横坐标， 再

7、根据在上方的图象表示的函数值大， 下方的图象表示的函数值 小来解题.【变式】直线11 ： y举一反三：kix b与直线12： yk2x c在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k1x b 1 b . x v 1 cx -2 d . x v 2提示：y k1x b与直线12 ： yk2x c在同一平面直角坐标系中的交点是(1, 2),根据图象得到x1时不等式k1x b 0的解集；(3) 当yw3时，x的取值范围；(4) 当一3w y w 3时，x的取值范围.【思路点拨】 可用两点法先画出函数 y 2x 1的图象，方程2x+ 1 = 0的解从“数”看就 是自变量x取何值时，函数值是

8、0,从“形”看方程 2x +1= 0的解就相当于确定直线y 2x 1与x轴的交点，故图象与 x轴交点的横坐标就是方程 2x+ 1=0的解.同理：图 象在x轴上方所有点的横坐标的集合就构成不等式2 x + 1 0的解集.【答案与解析】解：列表：x012y101在坐标系内描点（0,1）和 -,0 ，并过这两点回直线，即得函数y 2x 1的图象.如 2图所示.1（1）由图象可知：直线 y 2x 1与x轴交点 一,0 ,2、，一,1. 方程2x + 1 = 0的斛为x ;21 1一（2）由图象可知：直线y 2x 1被x轴在 一,0点分成两部分，在点 一，0右侧，2 21图象在x轴的上万.故不等式 2

9、x + 1 0的解集为x ;2（3）过点（0, 3）作平行于x轴的直线交直线y 2x 1于点m过m点作x轴的垂线，垂 足为n.则n点坐标为（1 , 0）;从图象上观察，在点（1 , 0）的左侧，函数值 y 3, 则当yw3时，自变量x的取值范围是xw1；（4）过（0, 3）作x轴的平行线交直线 y 2x 1于点巳过p作x轴的垂线，垂足为h, 则点h的坐标为（一2, 0）.观察图象，在（一2, 0）的右侧，在（1 , 0）的左侧，函数 值一3wyw3.当3wyw3时，自变量的取值范围是一 2wxw1.【总结升华】仔细体会一次函数与一元一次方程及一元一次不等式之间的内在联系：（1） 一元一次方程k

10、x b y0（ y0是已知数）的解就是直线 y kx b上yy0这点的横坐标；（2） 一元一次不等式y1 kx b y0）（ y0是已知数）的解集就是直线 y kx b上满足y y0）那条射线所对应的自变量的取值范围举一反三：y=2x+6的图象，利用图象:【变式】(2015秋？蒙城县校级月考)画出函数(1)求方程2x+6=0的解；(2)求不等式2x+6 0的解；(3)若-2y-3时，y0, 故不等式2x+60的解为x- 3;(3)当一2wyw2 时，4x0的解集是.(2)如图：oc ab分别表示甲、乙两人在一次赛跑中.各自的路程 s (米)和时间t (秒) 的函数图象，根据图象写出一个正确的结论 .【答案】(1) x 3; x 3;(2)根据图象的性质可以得到，两个两个函数的交点意义是当x =9秒时，两个人跑的路程相等，即两个人相遇；或者从图象上看出乙的速度比甲的速度快.【解析】(1)从图象上得到函数的增减