第九章体育统计学

1、/ 2检验是一种用途较广的显著性检验方法，它既适用于参数估 * 2检验是一种 第九章 使之适用于 这里只介绍用 计，也适用于非参数估计，同方差分析 F检验一样， 能同时对多种资料进行检验的方法。 在本章将阐述如何将统计假设检验的概念加以推广， 样本来自元素可分成三个或更多个类目的总体的情形。 / 2检验在检验两个以上样本率或构成比之间差异时有无显著性的方 法。 第一节 八分布与/2表 在第七章叙述总体方差的假设检验时，曾简单提到 定义：设从标准正态分布N (0, = 1,2,),它们的平方和记作 八, 八=u 12 + U 22 + ,+ U n2 1)中，取出n 即 n =2 U2 八分布。

2、 个样品u i ( i (9 1) 般称/ 2为服从参数为 n的/ 2的分布。(卡方分布) 如果从一般正态分布 N (卩，b 2 )中，抽出n个样品x i ,因为 /2 ,所以公式 (9 1)转化为: n X P 2 =送(一)2 n 艺(Xi iM (9 2) 有时在实用中，用 X代替 则有 丁 2 =送(X -X)2 = (n - 1)S2 这同第七章中提过的相同。 如果将/2的各种不同数值连同相应的相对出现频数列出， 就得 到/ 2 图9 1与几种自由度相对应的/ 2分布 由图 (1) (2) “对称”、 9 1可看到/ 2的样本分布形式有两个特点： 正态，而是正偏态分布，右侧无限延长以

3、横轴为渐近线； 不同自由度的/2取样分布不同。随自由度增大，曲线趋于 “正态”分布。实际上，在自由度为 30时，曲线基本对称 且近似正态分布。 / 2分布的实际重要性是基本于这样的事实，即对大样本而言, 量 (9 3) X 2 上dXJl i W T i 的分布接近于*2的分布。 10 式中：A =观察频数，即“实际数”； Ti =预期频数，即“理论数”； K=给定情形下实际数与理论数的配对数。 所以近似地有 (9 4) 值表所得的临界 ，拒绝Ho，则称在 /2= F （A-T）2 T 公式（9 4）是下面进行鼻2检验的常用公式。 / 2检验主要是根据样本算出的 / 2值与查 2 2 值/ a

4、（n）作比较。若/ 2 a（n） , P （Ho）W- 显著性水平o上差异有显著性意义；否则称在水平上差异无显著性 意义。 / 2分布的尾端面积或概率 P值在附表“ / 2值表”中按不同的 自由度n分别列出。至于自由度n是直接由资料划分类别的多少 所决定的，与样本的大小无关。确定 n的原则是：互相排斥的类别 数k，减去所受的限制数m ,即n二k m。 第二节两个样本率差别的/ 2检验 当两个样率不同时，可能由两个原因造成：一是差异由抽样误差 所致；二是它们来自不同质的总体，确有不同。为区分二者，则要做 检验。 / 2检验的步骤通过下例说明。 例9 1（资料同7 12）为研究游泳与患慢性鼻炎有无

5、关系， 随机抽测游泳与田径两专业的学生进行对比，抽测资料如下： 组别 患病人数 未患病人数 合计 患病率 游泳专业 20(13) 60(67) 80 25% 田径专业 6(13) 74(67) 80 7. 5% 合计 26 134 160 16. 25% 问患慢性鼻炎是否与专业有关？ （ d = 0. 05） 上表中，2060 这四个格子内的数字是整个表的基本数 674 字，故这种资料称为“四格表资料”，或称为“ 2X 2列联表”。 解：（1）无效假设H 0 ：兀1二兀2 （两专业患病率相同，均为合 计的患病率16. 25%） （2）计算八值： 宀二（A-T）2 T 实际数A已知，理论数T（表

6、中括号内的数字）是根据H 0推 算出来的： 先由合计的160人患病26人知理论上的患病率为 26 160 16. 25%，则游泳专业80人理论上的患病人数为 T11 = 80 X 空=13 160 由此可知理论数的计算公式为: n r - n c nr (9 5) 式中: r 行号，c 列号， n c c列的合计数，n n r r行的合计数, 总例数。 这样, Ti2 80134 160 67 T21 = 空些=13 160 T22 80M34 160 67 =(20-13)2 亠(60 - 67)2 亠(6-13)2 亠(74 -67)2 13671367 =3. 7692 + 0. 731

7、3 + 3. 7692 + 0. 7313 = 9. 001 (3) 取 a = 0. 05； “行X列表”资料的自由度为： n =(行数1)(列数1) = (r 1) (C 1) (9 6) 本例 n= 2 1) (2 1) = 1 查八值表得到0.05(1) = 3. 84 (4) 判断结果： 丁 2V 2 :*= 9. 001 上 0.05(1)= 3. 84 P (H。) 0. 05,拒绝H。，由数据上看，认为患慢性鼻 炎与游泳专业有关。 此结论与例7 11用U检验去作的结论一致。 我们还可以用四格表专用公式计算 / 2值： 7 2 (a + b) (c + d)(a + c)(b +

8、 d) (9 7) (ad - be)2 -n 20( a ) 60( b ) 6( c ) 74( d ) 代入公式(9 7)得: 式中a、b、c、d分别为四格表资料实际数，总例数 n二a + b + c + d。 把上例数据 (ad - b C)2 ”n (a + b)(C + d) (a + C )(b 中 d) =(20609260 9. 001 80X80X 26134 结果与前法相同。 2 另外需要注意：7 2 沪 只是一种近似。在1T40时，对于自由度为1的四格表来说为减小偏差，需要计算 校正的工2值。此时: /2=送(|A-T 卜 0.5)2 T 2 y 2=( |ad -bc

9、|- 0.5n ) -n (9 8) (a + b) (c + d) (a + c) (b + d) (9 9) 公式（9 8）为公式（9 4）的校正；公式（9 9）为公式（9 7）的校正。 第三节多个样本率（行X列表）的 /2检验 四格表是行X列表中最简单的形式。 至于行X列表（亦称r X c 表）的理论与计算步骤均与四格表类同。 值较为麻烦，为 用公式/ 2=送（A 小 去计算行X列表的 八 T 简便可用下面公式，由实际数直接计算出 /2值。 宀 n (送 一-1) n r n c (9 10) 例9 2 上例的结论认为患慢性鼻炎与游泳专业有关。 步了解患慢性鼻炎的发病率与游泳专项运动年限

10、有无关系， 资料如下表中。 为进一 收集调查 解：（1）无效假设H 0 ：发病率与运动年限无关。 （2）计算/ 2值： Z 2 二 n （送 1） n r nc =281 X (丄 84 咒 41 802 84 咒 240 152 84咒 41 702 85 咒 240 102 + + 60咒 41 502122 + 60 x 2405241 + 40 -1 ) 52 沢 240 10.36 n=( r 1)( c- 1) 鼻 0.05(3) = 7. 81 =(4- 1) (2- 1) (3) 取 a = 0. 05, =3。查/ 2值表(书后附表6)知 (4) 判断结果： *20.05(3

11、)，拒绝H 0 ,认为不同运动年限的游泳运 动员鼻炎发病率的差别的显著性意义。 行X列表八检验的注意事项： (1) 在行X列表中如果有五分之一以上的格子的理论数小于5, 或有一个格子的理论数小于1时，则应使理论数小于5的格子与邻组 合并以增大理论数。否则易导致错误的结论。但合并时要注意是否合 理，不同质的资料不可并组！此时只有增加观察例数再作统计分析。 (2) 做行X列表*2检验得到P( H 0 )w 0. 05,则拒绝无效假 设H0 ,说明被比较的几个样本率之间总的差别有显著性，但不能作 出任何两组间差别都有显著性的结论！要比较某两个样本率之间的差 别如何，需另作检验。 鼻2分布检验程序 、

12、程序功能 / 2检验常用于符合度分析。应用本程序时如按程序所问输入行 元素的个数、列元素的个数和每个元素值，程序就能自动计算出其2 值、自由度数及其结尾值(检验水平)。使用者将结尾值与给定的显 著性水平比较即能得出检验的结果。 二、程序中使用的主要符号说明 Z: TOTAL X - SQUARE VALUE 总计鼻 2 值; V : DEGREE OF FREEDOM自由度数； X2 : TAILEND VALUE 结尾值。 三、程序所依据的理论计算公式 k (f _f .)2 Z = Z(oi ei) i 3f oi 其中：foi为每一组的观察频数; fei为相应的理论频数。 5 四、程序名

13、称：X SQUARE . TES REM X Square. TES 10 P RINT x square. Tes 20 P RINT 30 DIM V1(25), V2(5), A(5), M(4) 40 INPUT “ number of rows =” , R 50 P RINT “ number of rows =” ; R 60 INPUT “number of columns =” , C 70 P RINT “number of columns =” ; C 80 P RINT “Contingency table :” 90 FOR I =1 TO R 100 P RINT

14、“ROW” ;I 110 FOR J =1 TO C 120 P RINT “Element ” ; J; 125 P RINT “Element ” , J; 130 INPUT E 131 EA = (I - -1)*C + J 132 V1(EA): =E 135 P RINT E 136 P RINT 140 NEXT J 145 P RINT 150 NEXT I 160 P RINT 170 L = 0 180 190 FOR I = 1 TO 200 FOR J = 1 TO 210 A(I) = A(I) + V1(M) 220 230 NEXT J 240 L = L + A

15、(I) 250 NEXT I 260 270 FOR I = 1 TO 280 FOR J = 1 TO N STEP C 290 V2(I) = V2(I) + V1(J) 300 NEXT 310 NEXT 320 330 PRINT Observed value ”; ;“ Expected value ” 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 460 XSQUARE CONTRIBUTION” FOR I = 1 TO C PRINT “Column” ; I FOR J = 1 TO R P = A(J) * V2(I) / L X = I

16、+ (J1) * C Y 二(V1(X) P)八 2 / P PTINT NEXT NEXT ”V1(X), ”P, V = (C1) * (R1) PRINT “X square = PRINT “Degree of freedom = 440 450 ; v 12 470 PRINT “Tial end value =” ; 480 R = 1 490 FOT I = V TO 2 STE P 2 500 R = R * I 510 NEXT I 520 K = Z 八(INT (V + 1) / 2) * EXP ( Z / 2) / R 530 IF INT (V / 2) = V / 2 THEN 560 540 J = SQR (2 / Z / 3. 1415926536) 550 GOTO 570 560 J = 1 570 L = 1 580 M = 1 590 V = V + 2 600 M = M * Z / V 610 IF M C列联表计算自由度？ 4. 为调查某体校新生的运动能力，特作运动测试，结果受过基 础训练的58人中有40人成功；未受过基础训练的27人中有9人成 功。试问在a = 0. 05的显著性水平下，这些资料能否说明基础训练与 运动成绩有关系？ 5. 某校高一男、女生体育锻炼的达标情况如下，试检验男、女 生达标率有无显