2011中考数学一轮复习【几何篇】15.相似三角形(一)

1、精品资源15.相似三角形（一）知识考点：本节知识包括相似三角形的判定定理、三角形相似的判定及应用，这是中考必考内容。掌握好相似三角形的基础知识尤为重要。精典例题：【例1】如图，点。是4abc的两条角平分线的交点，过 。作ao的垂线交ab于d。 求证： obdscbo。分析：此题不易得到边的比例关系，但。点是三角形的角平分线的交点，有多对相等的角，故宜从角相等方面去考虑。由角平分线及三角形内角和定理知：/ 1 + z 2+z dao = 900,再由aoxdo可得/ 5 =/1 + /2,而/5=/3+/4,从而/ 1 + /2=/3+/4,由/ 1 = 7 3 可得/ 2 = 7 4,于 是结

2、论得证。变式1:已知如图，在4abc 中，ad =ae, aode 于 o, de 交 ab 于 d,交 ac2于 e, bo 平分 / abc。求证：bo2=bd bc。变式2:已知如图（同变式1图），在4abc中，。为两内角平分线的交点，过点 。作 直线交 ab于d ,交ac于e,且ad = ae。2求证：(1) bdosoec； (2) do =bd ce。【例2】如图，在 abc中，/ bac = 90, ad bc于d, e为ac中点，de交ba 的延长线于 f。求证：ab : ac = bf : df。分析：由于 abc和 fbd 一个是直角三角形，一个是钝角三角形，不可能由这一对

3、 三角形相似直接找到对应边而得结论，势必要找“过渡”的线段或线段比，这种寻找“中间”搭桥的线段或线段比是重要的解题技巧。证明：- ab ac , ad xbc rtaabd rtacad , / dac = / bab bd一 =一ac ad又. ad bc, e为ac中点 de = ae, / dae = / ade ./ b=z ade又f=z f . fada fdbbd bf= ad df/口 ab bf 由得=ac df变式：本题条件、结论不变，而只改变图形的位置时，如下图所示，本题又该怎样证 明呢？【例3】如图，梯形例3图abcd 中，ad / bc, be lcd 于 e,且 b

4、c=bd,对角线 ac、2bd相父于g, ac、be相父于f。求证：fc = fg fa。分析：由于fg、fa、fc三条线段在同一直线上，不能直接证明一对三角形相似而得结论。根据题设条件易得 be是dc的垂直平分线，于是连结 fd得fd=fc,再证 fdg s fad即可。【问题一】如图,acb = / adc = 900, ac = 6 ,ad =2。问当ab的长为多少时,这两个直角三角形相似?略解：ac= j6 , ad = 2 .cd= vac2 - ad2 =42要使这两个直角三角形相似，有两种情况：一 .ac ab(1)当 rtaabcrtaacd 时，有 =ad acab =ac2

5、ad二3探索与创新：欢迎下载abac一 .ac(2)当 rtaacbrtacda 时，有cd，ab =贮二3 2cd故当ab的长为3或32时，这两个直角三角形相似。【问题二】已知如图，正方形 abcd的边长为1, p是cd边的中点，点 q在线段bc 上，设bq=k,是否存在这样的实数 k,使得q、c、p为顶点的三角形与 adp相似，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。略解：假设存在满足条件的实数 k ,则在正方形 abcdadpsrhqcp 或 rtmdpsrupcq 得：ad dp -ad dp=或=qc cp pc cq.、1 一一 .一 3由此解得：cq = 1或cq=,从而k =

6、0或k =443故当 k =0或 k =时， adp 与 qcp。4跟踪训练：一、填空题：中，/ d = / c=900,由 rta1、如图，在 abc中，p是边ab上一点，连结 cp,使 acpsabc的条件是。2、在直角坐标系中，已知 a (3, 0)、b (0, 4)、c (0, 1),过c点作直线l交x轴 于d,使得以点d、c、。为顶点的三角形与 aob相似，这样的直线有 条。3、如图，在 abc 中，/ c=900, ac = 8, cb = 6,在斜边 ab 上取一点 m,使 mb = cb, 过m作mn，ab交ac于n ,则mn =。4、一个钢筋三角架长分别为20cm、50 cm

7、、60 cm,现要再做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为30 cm和50 cm的两根钢筋，要求以其中一根为一边， 从另一根上截下两段(允 许有余料)作为两边，则不同的载法有 种。5、如图，在锐角 abc 中，bd ac , de bc, ab = 14, ad =4, be : ec=5 ： 1,则 cd =。二、选择题：1、下面两个三角形一定相似的是()a、两个等腰三角形b、两个直角三角形c、两个钝角三角形d、两个等边三角形2、如图，点e是平行四边形 abcd的边cb延长线上一点，ea分别交cd、bd的延长线 于点f、g,则图中相似三角形共有()a、 3对b、 4对c、 5对d、 6对三、

8、解答题：1、如图，在 rtaabc 中，/ b = 900, ab = be=ef=fc。求证： aefa cea o选择第2题图2、如图，在四边形 abcd中，ab bc, ad dc , de lac于e,交ab于f。求证: afdadb。3、如图，在梯形 abcd 中，ab /cd, z d = 900, ab = 3, dc=7, ad =15,请你在 ad上找一点p,使得以p、a、b和以p、d、c为顶点的两个三角形相似吗？若能，这样 的p点有几个？并求出 ap的长；若不能，请说明理由。4、在边长为1的正方形网格中有 a、b、c、d、e五个点，问 abc与 ade是否相 似？为什么？由此，你还能找出图中相似的三角形吗？若能，请找出来，并说明理由。跟踪训练参考答案一、填空题:1、/ acp=z b 或/ apc = z acb 或 ac2 = ap ab ; 2、4 条；3、3, 5;4、 2 种；5、 6二、选择题：dd 三、解答题：1、设 ab = be= ef= fc= a , /