42二倍角的正弦、余弦、正切公式)0001

1、4.2 二倍角的正弦、余弦、正切公式一、教学目标1. 通过让学生探索、发现并推导二倍角公式 ，了解它们之间、以及它们与和角公式之间的内在联系 并通过强化题目的训练 ，加深对二倍角公式的理解，培养运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力.2. 通过二倍角的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明 .体会化归这 一基本数学思想在发现中和求值、化简、恒等证明中所起的作用 .使学生进一步掌握联系变化的观点， 自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题、解决问题的能力3. 通过本节学习，引导学生领悟寻找数学规律的方法，培养学生的创新意识，以及善于发现和勇 于探索的 科

2、学精神 .二、教学重点二倍角公式推导及其应用 .三、教学难点如何灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式四、课时安排2 课时五、教学过程导入新课(复习导入 ) 请学生回忆上两节共同探讨的和角公式、差角公式，并回忆这组公式的来龙去脉，然后让学生默写这六个公式 .教师引导学生：和角公式与差角公式是可以互相化归的.当两角相等时 ，两角之和便为此角的二倍 ，那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢？今天 ,我们进一步探讨一下二倍角的问题，请同学们思考一下，应解决哪些问题呢？由此展开新课 .推进新课，新知探究，提出问题 还记得和角的正弦、余弦、正切公式吗？ ( 请学生默写出来，并由一名学生

3、到黑板默写 ) 你写的这三个公式中角 a B 会有特殊关系 a= 吗？此时公式变成什么形式？ 在得到的C2a公式中，还有其他表示形式吗？ 细心观察二倍角公式结构，有什么特征呢？ 能看出公式中角的含义吗？思考过公式成立的条件吗？ 让学生填空：老师随机给出等号一边括号内的角，学生回答等号另一边括号内的角，稍后两人为一组，做填数游戏： sin( )=2sin( )cos( ) , cos()=cos 2( )-si n 2().思考过公式的逆用吗？想一想C2a还有哪些变形?请思考以下问题：sin2 a =2sin a? cos2 a =2cos 吗？ tan2 a =2tan? a活动：问题，学生默

4、写完后，教师打出课件，然后引导学生观察正弦、余弦的和角公式，提醒学生注意公式中的a，既然可以是任意角，怎么任意的？你会有些什么样的奇妙想法呢？并鼓励学生大胆试一试？如果学生想到a ,会有相等这个特殊情况，教师就此进入下一个问题，如果学生没想到这种特殊情况，教师适当点拨进入问题，然后找一名学生到黑板进行简化，其他学生在自己的座位上简化、教师再与学生一起集体订正黑板的书写，最后学生都不难得出以下式子，鼓励学生尝试一下，对得出的结论给出解释？这个过程教师要舍得花时间，充分地让学生去思考、去探究，并初步地感受二倍角的意义？同时开拓学生的思维空间，为学生将来遇到的3a或3B等角的探究附设类比联想的源si

5、n( a + 3 )=sin a cos 3 +cosin2sin =2sin a cOS2a) cos( a + 3 )=cos a-sco a 3in 3cos2 a =c6asin2 a (砌;tan tan2 tan /tan（ a + 3T=tan 2仃2 ）1 tan tan1 tan这时教师适时地向学生指出，我们把这三个公式分别叫做二倍角的正弦，余弦，正切公式，并指导学生阅读教科书，确切明了二倍角的含义，以后的 倍角”专指二倍角”、教师适时提出问题,点拨学生结合Sin2 a +co25a =1思考，因此二倍角的余弦公式又可表示为以下右表中的公式Pcc 屮。2sitiacosft(

6、)cos2ct t?osJ a门 2 tan a、1ta ( lg)I laiii ai这时教师点出，这些公式都叫做倍角公式（用多媒体演示）的三.倍角公式给出了a的三角函数与2a角函数之间的关系.问题，教师指导学生，这组公式用途很广，并与学生一起观察公式的特征与记忆，首先公式左边角是右边角的2倍；左边是2a的三角函数的一次式，右边是 a的三角函数的二次式，即左到右宀 升幕缩角，右到左t降幕扩角、二倍角的正弦是单项式，余弦是多项式，正切是分式问题，因为还没有应用，对公式中的含义学生可能还理解不到位，教师要引导学生观察思考并初步感性认识到：（I）这里的 倍角”专指 二倍角”遇到 三倍角”等名词时，

7、三”字等不可省去；（n）通过二倍角公式，可以用单角的三角函数表示二倍角的三角函数；（川）二倍角公式是两角和的三角函数公1式的特殊情况；（W）公式（S2a），（C2a）中的角a没有限制，都是a? R.但公式（T2a）需在a十k n +和24aA k n+k ? Z）时才成立，这一条件限制要引起学生的注意?但是当a =k疋+ ,k ? Z时，虽然tan a不存在，此时不能用此公式，但tan2 a是存在的，故可改用诱导公式2a是a的二倍的形式问题 ，填空是为了让学生明了二倍角的相对性，即二倍角公式不仅限于其他如4a是2a的二倍,?是-的二倍,3 a是西 的二倍,色是-的二倍，一-a是一-的二倍等 所

8、有2423624 2这些都可以应用二倍角公式 .例女口 :si n =2s in cos ,cos =cos2 -si n2?等等.244366问题 ，本组公式的灵活运用还在于它的逆用以及它的变形用，这点教师更要提醒学生引起足 够1a aa a a的注意女口:sin3a cos3 片 sin6 ,4sin cos =2(2sin cos )=2sin ,2tan 40224244 4 2 2 2=ta n80 cos22 o-sin22 a =cos4 , tan2 a =2ta n -ta(i r a)等.1 tan40问题，一般情况下:si n2 aA 2sin a ,cos2 a* 2c

9、os a ,tan2 a* 2tan a.sin2 a =2sin 贝U ,sin a cos a =2sir !fesin a =或 cos a =此时 a =kn 彳氐 Z).1 Q 31 %：3cos2 a =2cos 贝 2cos2 a-2cos -1=0, 即 cos a (COS a= 一 舍去).2 2tan2 a =2tan 贝 ,12ta na2 =2tan n a =即 a =k(n ? Z). tan a又 sin2 aA ,? 13? cos2a= . 1 sin 2 2a =(13)1213sin4 a =sin2 x (2 a )=2sin23 J2a COS2a

10、=X X )=1313120169cos4 a =cos2 X (2 -2 制=|12 a =12 x_ 5)2=2 1191)3=129sin 4a120 169120tan4 a=( -) X- =.cos4a169 119119点评：学生由问题中条件与结论的结构不难想象出解法，但要提醒学生注意问题的解答过程，使问题的解答简捷、巧妙、规范，并达到熟练掌握的程度，在解题时注意优?本节公化式的基本应用是解答：一(略)应用示例5例 1 已知 sin2 a = a,求 Sin4 a ,cos4 a ,t 的値.a13 42活动：教师引导学生分析题目中角的关系，观察所给条件与结论的结构， 注意二倍角

11、公式的选用领悟倍角”是相对的这一换元思想 .让学生体会 倍”的深刻含义，它是描述两个数量之间关系的.本题中的已知条件给出了 2a的正弦值？由于4a是2 a的二倍角，因此可以考虑用倍角公式？本例是直接应用二倍角公式解题，目的是为了让学生初步熟悉二倍角的应用，理解二倍角的相对性，教师大胆放手,可让学生自己独立探究完成解：由一 a， 得一2 a n.422重点。变式训练1.不查表,求值:sin 15 + os15 .解:原式=(sin15 cos15 ) 2、sin215 2sin15cos2156点评：本题在两角和与差的学习中已经解决过，现用二倍角公式给出另外的解法，让学生体会它们之间的联系，体会

12、数学变化的魅力？2.下列各式中，值为的是(2A.2sin 15 -cos15B.cos215 -si n 215C.2si n 2151答案:BD.si n 215 cos215cos 2=ta n 0.1 sin 2 cos2活动：先让学生思考一会，鼓励学生充分发挥聪明才智，战胜它，并力争一题多解例2证明1 si n2.教师可点拨学生想一想，到现在为止，所学的证明三角恒等式的方法大致有几种：从复杂一端化向简单一端；两.对找不到边化简，中间碰头；化切为弦；还可以利用分析综合法解决，有时几种方法会同时使用等 思考方向的学生，教师点出：可否再添加一种，化倍角为单角？这可否成为证明三角恒等式的一种方

13、“1的代换，对“ 1的妙用大家深有体会，这法？再适时引导，前面学习同角三角函数的基本关系时曾用到 里可否在“ 1”做做文章?待学生探究解决方法后，可找几个学生到黑板书写解答过程，以便对照点评及给学生以启发点 评时对能够善于运用所学的新知识解决问题的学生给予赞扬；对暂时找不到思路的学生给予点拨、鼓 励.强调“ 1的妙用很妙，妙在它在三角恒等式中一旦出现，在证明过程中就会起到至关重要的作用，在今后的证题中，万万不要忽视它证明：方 法si n2 (1 cos2 )2sin cos(1 1 2cos )si n2 (1 cos2 )2sin cos(1 2cos1)sind 2cos1 cossin

14、cos? 2 sinsin(cossinsin cos2 cossin cos2 coscos(sincos=tan 0 右)所以,原式成立.方法二2 cos? 2 sin? 2 sin2 cossin 22si n2? 2 /左=.2.sinsin2 cossin 22 cos? 2 sinsin 22cos22si n (si ncos )、，=ta n 0 右.2cos (sincos )方法三：左=(1si n2 )cos2(sincos2si n?cos )(cos2 2sin左=222(1si n2 )cos2(sincos2si n?cos )(cossin(si ncos )2

15、(cossin)(cossin )(si ncos )2(cossin)(cossin )2 2)2)(sin(sincos )(s incos )(s incos sin cos ) cos cos sin )cm V r呻？却=tan 0右.(sin(sincos ) ? 2 cos点评：以上几种方法大致遵循以下规律：首先从复杂端化向简单端；第二，化倍角为单角，这是 我们今天刚刚学习的；第三，证题中注意对数字的处理，尤其“ 1的代换的妙用，请同学们在探究中仔细体会这点？在这道题中通常用的几种方法都用到了，不论用哪一种方法，都要思路清晰，书写规范才是？六、课堂小结1?先由学生回顾本节课都学到了什么？有哪些