232.31平面向量基本定理讲义

1、实用精品文献资料分享第二章2.3 2 . 3.1平面向量基本定理讲义2. 3.1 平面向量基本定理 预习课本P9394,思考并完成以下问 题（1）平面向量基本定理的内容是什么？ （2）如何定义平面向量基 底？（3）两向量夹角的定义是什么？如何定义向量的垂直？新知初探1 .平面向量基本定理 条件el , e2是同一平面内的两 个不共线向量 结论 这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数 入1,入2,使a=入1e1 +入2e2基底 不共线的向量e1, e2叫做表 示这一平面内所有向量的一组基底点睛对平面向量基本定理的 理解应注意以下三点：e1, e2是同一平面内的两个不共线向量； 该平面内任意向量

2、a都可以用e1, e2线性表示，且这种表示是唯 一的；基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可作为 基底.2 .向量的夹角 条件 两个非零向量a和b产生过程 作向量 =a,= b,则/ AOB叫做向量a与b的夹角范围0w B w 180 特殊情况 0 = 0 a与b同向0 = 90 a与 b垂直，记作a丄b 0 = 180 a与b反向点睛当a与b共线同向时，夹角0为0,共线反向时，夹角0为180,所以两个向量的夹角的范围是 0w 0 ABC的中线，已知 =a,= b,则以 a, b 为基底表示 =()A. 12(a b) B. 12(a + b) C. 12(ba) D . 12b +

3、 a解析：选B如图，ADABC的中线，贝S D为线 段BC的中点，从而 =，即一= ，从而 =12( + ) = 12(a + b). 4 .在矩形ABCDK O是对角线的交点，若 =e1, = e2, 则 =()A. 12(e1 + e2) B. 12(e1 e2) C. 12(2e2 e1) D. 12(e2e1)解析：选A因为O是矩形ABCD寸角线的交点，=e1,=e2,所以=12( + ) = 12(e1 + e2)，故选 A. 5 .(全国 I 卷)设 D为 ABC所在平面内一点，=3，则()A . =- 13 + 43 B.=13 43 C.= 43 + 13 D.= 43 13

4、解析：选 A 由题意得 =+= + 13 = + 13 13 = 13 + 43.6 .已知向量 a, b 是一组基 底，实数 x, y 满足(3x 4y)a + (2x 3y)b = 6a+ 3b,则 x y 的值为 .解析：Ta, b是一组基底，.a与b不共线，丁(3x 4y)a + (2x 3y)b = 6a + 3b,3x 4y= 6, 2x 3y = 3,解得 x=6, y =3,xy = 3.答案：3 7.已知e1, e2是两个不共线向量，a= k2e1 + 1 5k2e2与b= 2e1 + 3e2共线，则实数k=.解析：由题设，知 k22= 1 5k23,3k2+5k 2 = 0

5、, 解得 k= 2 或 13.答案： 2或13 8 .如下图，在正方形 ABCD中，设 =a, = b, = c,则在 以a, b为基底时，可表示为，在以a, c为基底时，可表示为.解析：以a, c为基底时，将平移，使B与A重合，再由三角形法则或平行四边形法则即得.答案：a+ b 2a+ c 9.如图所示，设M N P是厶ABC三边上的点，且 =13 ,= 13 ,= 13 ,若 =a,= b,试用a, b将，表示出来. 解：=一 =13 23 = 13a 23b, = = 13 23 = 13b 23(a b) = 23a + 13b, = = ( + ) =13(a + b). 10 .证

6、明：三角形的三条中 线共点.证明：如图所示，设AD, BE CF分别为 ABC的三条中线， 令 =a, = b.则有 =b a.设 G在 AD上，且 AGAI= 23,则有 = + =a + 12(b a) = 12(a + b) . = = 12b a.= = 23 =13(a + b) a= 13b 23a = 2312b- a=23 . G 在 BE上，同理可 证=23，即G在CF上.故AD, BE CF三线交于同一点. 层级二 应试能力达标1 .在 ABC中，点D在BC边上，且 =2 ,设 =a, =b,贝S可用基底a, b表示为()A . 12(a + b)B. 23a + 13b

7、C. 13a + 23b D. 13(a + b)解析：选 C t = 2，二 = 23 .= + = + 23 = + 23( ) = 13 + 23 = 13a + 23b.2. AD与 BE分别为 ABC的边BC AC上的中线，且 =a, = b,贝卩= ()A . 43a + 23b B . 23a + 43b C. 23a 23b D. 23a + 23b 解析：选B 设AD与 BE交点为F,贝S = 13a, = 23b.所以 =+ = 23b + 13a,所以 =2 = 23a + 43b. 3.如果e1, e2是平面a内所有向量的一组基底，那么，下列命题中正确的是()A.若存在

8、实数入1,入2,使得 入1e1 +入2e1 = 0,贝卩入1 =入2= 0 B.平面a内任 一向量a都可以表示为a= 1e1 +入2e2,其中 入1,入2 R C.入1e1 +入2e2不一定在平面 a内，入1,入2 R D.对于平面 a内任一 向量a,使a= 1e1 +入2e2的实数入1,入2有无数对 解析：选B A中，(入1+入2)e1 = 0,二入1+入2= 0, 即卩入1 =入2; B符合平 面向量基本定理；C中，入1e1+入2e2一定在平面 a内；D中，入1, 入2有且只有一对.4 .已知非零向量，不共线，且2 = x + y , 若 =入(入 R),贝S x, y满足的关系是()A.

9、 x + y 2= 0 B. 2x+ y 1= 0 C. x+ 2y 2 = 0 D. 2x + y 2= 0 解析：选 A 由 =入， 得一=入(一)，即卩=(1 + 入)一入.又 2 = x + y , x= 2 + 2入，y = 2入，消去 入得x+ y = 2. 5 .设e1, e2是平面内的一一 组基底，且 a= e1 + 2e2, b= e1 +e2,贝S e1 + e2 =a+b.解析：由 a= e1 + 2e2,b= e1 + e2,解得 e1= 13a 23b, e2= 13a + 13b.故e1 + e2= 13a 23b + 13a + 13b = 23a + 13b.答

10、 案：23 13 6 .已知非零向量a, b, c满足a + b + c = 0,向量a,b的夹角为120,且|b| = 2|a|，则向量a与c的夹角为.解析：由题意可画出图形，在厶OABK 因为/OA= 60,|b| = 2|a| , 所以/ ABO= 30, OALOB即向量a与c的夹角为90 .答案：90 7 .设e1, e2是不共线的非零向量，且 a= e1 2e2, b= e1 + 3e2. (1)证明：a, b可以作为一组基底；(2)以a, b为基底，求向 量c = 3e1 e2的分解式；(3)若4e1 3e2=入a+卩b,求入，卩 的值.解：(1)证明：若a, b共线，则存在入

11、R，使a=入b,则 e1 2e2=入(e1 + 3e2). 由 e1, e2 不共线，得 入=1, 3 入=2? 入=1,入=23. 入不存在，故a与b不共线，可以作为一组基 底.(2)设 c = ma nb(m, n R),贝y 3e1 e2= m(e1 2e2) + n(e1 + 3e2) = (m+ n)e1 + ( 2m+ 3n)e2. n= 3, 2m+ 3n= 1? m=2, n = 1. - c = 2a+ b. (3)由 4e1 3e2=入 a+ g, b,得 4e1 3e2 =入(e1 2e2) + g (e1 + 3e2)=(入 + g )e1 + ( 2 入 + 3 g )e2.入+g = 4, 2 入+ 3g = 3?入=3, g = 1.故所求入，g 的 值分别为3和1. 8 .若点皿是厶ABC所在平面内一点，且满足： =34 + 14 . (1) 求厶ABMW ABC的面积之比.(2)若N为AB中点， AMI与 CN交于点0,设=x + y，求x, y的值.解：(1)如图