数学八年级下册勾股定理

1、.1 勾股定理 .2 北京欢迎您！北京欢迎您！ .3 .4 读一读读一读 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾， 较长的直角边称为股，斜边称为弦较长的直角边称为股，斜边称为弦.图图1-1称为称为“弦图弦图 ”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为，最早是由三国时期的数学家赵爽在为周髀算经周髀算经 作法时给出的作法时给出的.图图1-2是在北京召开的是在北京召开的2002年国际数年国际数 学家大会（学家大会（TCM2002）的会标，其图案正是）的会标，其图案正是“弦图弦图 ”，它标志着中国古代的数学成就，它标志着中国古代的数学成就. 图1-1图1-2 .5

2、 勾股定理（勾股定理（1） 9 16 25 .6 看一看看一看 相传 相传2500年前，一次毕达哥拉斯去朋年前，一次毕达哥拉斯去朋 友家做客，发现朋友家用砖铺成的地面反友家做客，发现朋友家用砖铺成的地面反 映直角三角形三边的某种数量关系，同学映直角三角形三边的某种数量关系，同学 们，我们也来观察下面的图案，看看你能们，我们也来观察下面的图案，看看你能 发现什么？发现什么？ .7 A B C A B C （图中每个小方格代表一个单位面积）（图中每个小方格代表一个单位面积） 图图2-1 图2-2 （1）观察图）观察图2-1 正方形正方形A中含有中含有 个个 小方格，即小方格，即A的面积是的面积是

3、个单位面积。个单位面积。 正方形正方形B的面积是的面积是 个单位面积。个单位面积。 正方形正方形C的面积是的面积是 个单位面积。个单位面积。 9 9 9 18 你是怎样得到上面的结你是怎样得到上面的结 果的？与同伴交流交流。果的？与同伴交流交流。 .8 A B C A B C （图中每个小方格代表一个单位面积）（图中每个小方格代表一个单位面积） 图图2-1 图2-2 c S正方形 1 43 318 2 分分“割割”成若干个直成若干个直 角边为整数的三角形角边为整数的三角形 （单位面积）（单位面积） .9 A B C A B C （图中每个小方格代表一个单位面积）（图中每个小方格代表一个单位面积

4、） 图图2-1 图2-2 c S正方形 2 1 6 2 18 （单位面积）（单位面积） 把把C“补补” 成边长为成边长为6的的 正方形面积的一半正方形面积的一半 .10 A B C A B C （图中每个小方格代表一个单位面积）（图中每个小方格代表一个单位面积） 图图2-1 图2-2 （2）在图）在图2-2中，正中，正 方形方形A，B，C中各含中各含 有多少个小方格？它有多少个小方格？它 们的面积各是多少？们的面积各是多少？ （3）你能发现图）你能发现图2-1 中中三个正方形三个正方形A，B， C的面积之间有什么的面积之间有什么 关系吗？关系吗？ SA+SB=SC 即：两条直角边上的正方形面积

5、之和等于即：两条直角边上的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积斜边上的正方形的面积 .11 A B C 图图3-1 A B C 图图3-2 分割成若干个直角边为分割成若干个直角边为 整数的三角形整数的三角形 c S正方形 25 1 44 3 1 2 （面积单位）（面积单位） 一般的直角三角形一般的直角三角形 三边为边作正方形三边为边作正方形 .12 A B C 图图3-1 A B C 图图3-2 把把C“补补”成边长为成边长为7的的 正方形面积加正方形面积加1单位面单位面 积的一半积的一半 c S正方形 25（面积单位）（面积单位） 思考：思考：面积面积A，B， C还有上述关系还有上述关系

6、 吗？吗？ ）（17 2 1 2 .13 A B C 图图3-1 A B C 图图3-2 （1）你能用三）你能用三 角形的边长表示角形的边长表示 正方形的面积吗？正方形的面积吗？ （2）你能发现）你能发现 直角三角形三边直角三角形三边 长度之间存在什长度之间存在什 么关系吗？与同么关系吗？与同 伴进行交流。伴进行交流。 议一议议一议 .14 A A B B C C a a c c b b S Sa a+S+Sb b=S=Sc c 观察所得到的各组数据，你有什么发现？观察所得到的各组数据，你有什么发现？ 猜想猜想:两直角边两直角边a、b与斜边与斜边c 之间的关系？之间的关系？ a a2 2+b+

7、b2 2=c=c2 2 .15 a a c c b b 观察所得到的各组数据，你有什么发现？观察所得到的各组数据，你有什么发现？ 猜想两直角边猜想两直角边a、b与斜边与斜边c 之间的关系？之间的关系？ a a2 2+b+b2 2=c=c2 2 S Sa a+S+Sb b=S=Sc c .16 a a2 2+b+b2 2=c=c2 2 a a c c b b 直角三角形两直角边的平方和直角三角形两直角边的平方和 等于斜边的平方等于斜边的平方. . 勾勾 股股弦弦 勾股定理勾股定理 ( (毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯定理) ) .17 两千多年前，古希腊有个哥拉两千多年前，古希腊有个哥拉 斯学派，他们

8、首先发现了勾股定理，因此斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此 在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯 年希腊曾经发行了一枚纪念票。年希腊曾经发行了一枚纪念票。 定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955 国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前， 国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前， 国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前， 国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前， 国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前， 国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前， 国家之一。早

9、在三千多年前，国家之一。早在三千多年前， 国家之一。早在三千多年前国家之一。早在三千多年前 两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯 学派，他们首先发现了勾股定理，因此在学派，他们首先发现了勾股定理，因此在 国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定 理。为了纪念毕达哥拉斯学派，理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955年年 希腊曾经发行了一枚纪念邮票。希腊曾经发行了一枚纪念邮票。 我国是最早了解勾股定理的我国是最早了解勾股定理的 国家之一。早在三千多年前，周国家之一。早在三千多年前，周 朝数学家商高就提出，将一根直朝数学家商高就提出，将一根直

10、尺折成一个直角，如果勾等于三，尺折成一个直角，如果勾等于三， 股等于四，那么弦就等于五，即股等于四，那么弦就等于五，即 “勾三、股四、弦五勾三、股四、弦五”，它被记，它被记 载于我国古代著名的数学著作载于我国古代著名的数学著作 周髀算经周髀算经中。中。 .18 1. 1.求下列图中表示边的未知数求下列图中表示边的未知数x x、y y、z z的值的值. . 8181 144144 x x y y z z 625625 576576 144144 169169 .19 做一做：做一做： P 625 400 2 6 x P的面积的面积 =_ X=_X=_ 243226 22 x 24 225 B A

11、 C AB=_ AC=_ BC=_ 25 15 20 .20 比比 一一 比比 看看 看看 谁谁 算算 得得 快！快！ 2.2.求下列直角三角形中未知边的长求下列直角三角形中未知边的长: : 可用勾股定理建立方程可用勾股定理建立方程.方法小结方法小结: 8 8 x x 1717 1616 2020 x x 1212 5 5 x x .21 应用勾股定理 A BC 选一选 .22 应用勾股定理 讲一讲 8 6 A B C 求图中直角三角形的未知边的长度。 15 17 A BC .23 、如图、如图, ,一个高一个高3 3 米米, ,宽宽4 4 米的大门米的大门, ,需在相需在相 对角的顶点间加一

12、个加固木条对角的顶点间加一个加固木条, ,则木条的长则木条的长 为为 ( )( ) A.3 A.3 米米 B.4 B.4 米米 C.5C.5米米 D.6D.6米米 C .24 、湖的两端有、湖的两端有A A、两点，从与、两点，从与A A方向成直方向成直 角的角的BCBC方向上的点方向上的点C C测得测得CA=130CA=130米米,CB=120,CB=120米米, , 则则ABAB为为 ( )( ) A B C A.50A.50米米 B.120B.120米米 C.100C.100米米 D.130D.130米米 130 120 ? A .25 如图，大风将一根木制旗如图，大风将一根木制旗 杆吹裂

13、，随时都可能倒下，杆吹裂，随时都可能倒下， 十分危急。接警后十分危急。接警后“119”119” 迅速赶到现场，并决定从迅速赶到现场，并决定从 断裂处将旗杆折断。现在断裂处将旗杆折断。现在 需要划出一个安全警戒区需要划出一个安全警戒区 域，那么你能确定这个安域，那么你能确定这个安 全区域的半径至少是多少全区域的半径至少是多少 米吗？米吗？ 议一议：议一议： 9m 24m ? .26 a c b a b c 22 2 1 4)(cabab 222 cba 222 22cabaabb .27 a b c a b c abcba 2 1 4)( 22 222 cba .28 1876年年4月月1日，伽

14、菲尔日，伽菲尔 德在德在新英格兰教育日新英格兰教育日 志志上发表了他对勾股上发表了他对勾股 定理的这一证法。定理的这一证法。 1881年，伽菲尔德就任年，伽菲尔德就任 美国第美国第20任总统。后来，任总统。后来， 人们为了纪念他对勾股人们为了纪念他对勾股 定理直观、简捷、易懂、定理直观、简捷、易懂、 明了的证明，就把这一明了的证明，就把这一 证法称为证法称为“总统证法总统证法”。 .29 美国第二十任 总统伽菲尔德 总统巧证勾股定理 a ab b c c A D C BE 返回 .30 无字证明无字证明 青出青出 朱方朱方 青方青方 朱入朱入 朱朱 出出 青入青入 青青 入入 青出青出 青青 出出 .31 a b c .32 青出青出 朱入朱入 朱朱 出出 朱方朱方 青方青方 青入青入 青青 入入 青出青出 青青 出出 华罗庚华罗庚 青青朱朱出入图出入图 朱入朱入 朱朱 出出 .33 对比两个图形对比两个图形, ,你能直接观你能直接观 察验证出勾股定理吗？察验证出勾股定理吗？ 两幅图中彩色的四个直角三角形总面积呢？两幅图中彩色的四个直角三角形总面积呢？ 提示：图中的两个大正方形面积相等吗？提示：图中的两个大正方形面积相等吗？ 空白部分的面积呢？那剩余的空白部分的面积呢？那剩余的