函数的单调性和导数_高中数学教师资格证面试试讲逐字稿-(2929)

1、-函数的单调性和导数上课之前呢，请同学们先回顾一下，必修课当中我们学过的判断函数单调性的方法都有哪些呢？我听到有同学说利用定义法证明函数的单调性，还有同学说利用图像法，那可以根据图像上升或下降的趋势，来判断函数的单调性。大家都很优秀，学习数学呢，我们就需要这种精神，对于学过的知识一定要内化于心，灵活运用，那我们发现，这两种方法操作起来，步骤都比较繁琐，那还有没有其他较为简单的方法呢？上节课我们学习了导数的时候说过，导数是研究函数的重要工具，那么函数的单调性，和函数的导数之间有什么样的关系呢？这节课呢？我们就一起来讨论这个问题，请同学们看老师多媒体呈现的这4 个函数， y=x ， y 等于 x

2、方， y=x3 次方，和y=1/x ，请同学们求出这4个函数的导函数，然后拿出导学案，观察同一坐标系内，这 4 个函数与其对应的导函数的图像，大家主要看看导函数的正负，与原函数的单调性有什么样的关系？那在这里呢，老师给大家提示一下，同学们可以利用列表的方法，来呈现你们的发现，那我们的这个表格呢，大家可以这样来列，第一列表示自变量x 的取值，第二行表示导数值f(x)的正负，第3 行表示函数值f(x) 的增减，那现在，同学们开始动手操作吧。好，时间到了，刚才老师在巡视的过程中啊，发现同学们观察的都非常仔细，那不知道你们有没有发现什么规律呢？下面请4 位同学，将你们的表格投影到大屏幕上来，第1排这

3、4位女同学，请到黑板上来，展示你们的结果。来，同学们，我们已经看到了这4 位同学的答案，已经投影到了大屏幕上，那，表格做的非常的清晰，然后一目了然的展现了我们的目标数据之间的这种关系，那同学们，你们观察这4 组表格，说一说，你们发现什么样的规律呢？啊，课代表你来说，那课代表说，他发现这4 个函数的原函数，与对应导函数之间都有一个共同的特点，那就是，导函数为正时，对应的区间上，原函数单调增，导函数为负时，对应的区间上原函数单调减。哦，请坐，课代表刚才总结的很精彩，将图表中呈现的规律啊，展示得淋漓尽致，很优秀啊，那我们刚才发现的，这 4 个导函数与原函数之间的这种特殊关系，究竟是否具有一般性吗？那

4、下面我们就一起来论证一下我们刚才得出的这个结论，是否具有普遍性？请同学们看大屏幕上呈现的这个函数，那我们在函数图像的右侧，任取一点(x0,f(x0) ，那么根据导数的性质，该点处导数值f (x0) 表示函数f(x) 在点 (x0,f(x0) 处切线的斜率，那么,在 x=x0 处，我们知道，-导数值f (x0) 大于0 ，我们做出该点处的切线，发现她是左下右上的形式，那在这个时候，函数值f(x) 在 x0 附近单调递增，那同样的道理，在函数图像的右侧任取一点x1，那在x=x1处，f (x1)小于 0，在这种情况下，我们发现，切线是左上右下的形式，那很显然，函数值f(x)在 x1 附近单调递减，非

5、常好啊，那到这里，我们同学就有疑问了，说我们刚才说到，函数在 x0 或 x1 处附近是单调递增或单调递减，那这样我们能不能得到f (x0) 大于零时， f(x) 在对应的区间上单调递增的结论呢？这里呢，同学们思考一下，我们研究的这个函数，他是一个什么函数呢？对了，我们的f(x) 它的定义域是连续函数，所以说我们从附近的这个变化区域，能够将它扩展到它的定义域内。嗯，那非常好啊，同学们，那我们这部分，相信大家都能够理解了。那没问题的话，下面老师给同学们总结一下，我们函数的单调性，与导数的正负之间存在的一种这样的关系，在某个区间（a,b ）内，如果f (x)大于 0，那么函数 y 等于 f(x) 在

6、这个区间内单调递增，如果f(x) 小于 0，那么函数y 等于 f(x) 在这个区间内单调递减，那么老师教给大家一个口诀，我们说，导函数看正负，原函数看增减，这个口诀大家记住了吗？好的，那下面检测一下同学们对这节课知识的掌握情况，请同学们利用三分钟时间，独立完成多媒体上的， 这个变式题组，请第1 排的这位同学到黑板上进行表演，我看大家都已经完成了，我们一起来检查一下黑板上这位同学的板演结果。大家说，有问题，好，哦，对了，这位同学忽视了我们函数的定义域，所以他最后求出的增区间不正确，那这里呀，大家要记住一句话，我们函数问题，定义域优先，千万不能忽视定义域，那我们这节课的重点知识基本上就要结束了。那哪位同学能给我说一下，自己这节课有哪些收获和体会呢？好，班长，你来分享一下吧，班长说他知道可以利用导函数快速地判断函数的单调性，而且掌握了利用导函数，求单调区间的步骤是：第1 步，确定函数 y=f(x) 的定义域，第2 步，求导函数 y 等于 f (x)第 3 步，解不等式f (x) 大于零，解集在定义域的部分为单调增区间，解不等式f (x) 小于零，解集在定义域的部分为单调减区间。非常棒啊，我们班长把这个步骤总结的非常的完整，希望大家在以后的求解