三角函数图象及应用

1、函数y = Asin(3x+妨的图象及应用 y= Asi n(3x+ $)(A0, 振幅 周期 频率 相位 初相 w0) , x 0 ,+s ) A 2 n T=一 3 13 f = t= 2 T 2 n 3X+ J 2.用五点法画y= Asin( 3+柏一个周期内的简图时，要找五个特征点 如下表所示. x 0 J 3 n J 2屮 3 n J 3 3 n丄 T J 3 2 n J 3 3X+ J 0 n 2 n 2 2n y = Asi n(3x+ J 0 A 0 A 0 3.函数y= sin x的图象经变换得到y= Asin(x+ $)的图象的步骤如下: 涉 出的图仪 一 Ml -* Ml

2、 岀 y=sirtx 的阍11 円左(市T平崭 ifi tSftKK L T W 1 BE輩机fff 2 少 (H布右平it 1 1 V 抽和k*:n ui唧帕样1采 1 AM 1 s Jt 1 Ifm p)的ttl 毀 * at * WH =As.in(曲團象 4 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“V”或“X”) nn3 n (1) 作函数y= sin(x 6)在一个周期内的图象时，确定的五点是 (0,0),(2，1)，(n 0), Cy，- 1), (2 n, 0)这五个点.(X ) nn 将函数y= 3sin 2x的图象左移4个单位长度后所得图象的解析式是y= 3sin(

3、2x+ 4). ( X ) j nj nj n 函数y= sin(x 4)的图象是由y= sin(x + 4)的图象向右移？个单位长度得到的.(V ) 3 nn (4)函数 y= sin( 2x)的递减区间是(一才kn, ： k n), k 乙(X ) 函数f(x)= sin的最小正周期和最小值分别为n, 0.( V ) 函数y= Acos(+ 0)的最小正周期为 T,那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为 T T.( 考点自测 y= sin 2x的图象上所有的点 1. (2014四川)为了得到函数 y= sin(2x+ 1)的图象，只需把函数 a. 向左平行移动2个单位长度 1 B. 向

4、右平行移动2个单位长度 C. 向左平行移动1个单位长度 D. 向右平行移动1个单位长度 答案 A 1 1 解析 y= sin 2x的图象向左平移个单位长度得到函数y= sin 2(x+)的图象，即函数y= sin(2x + 1)的图象. n n 2. (2013四川)函数f(x) = 2sinx+粉(30, 200),将y= f(x)的图象向右平移3个单位长度后，所得的图象与原图 象重合，则3的最小值等于() B. 3 C. 6D. 9 答案 C n 解析 由题意可知，nT = 3 (n N*), n _= 3 (n N ), CO3 _= 6n(n N*),.当n= 1时，_取得最小值6.

5、n n2 n 4.设函数f(x)= 3sin( _x+ $)(_0, 2)的图象关于直线 x=对称，它的周期是n,则 下列说法正确的是.(填序号) 3 f(x)的图象过点(0, 2)； n 2 n f(x)在石，上是减函数； f(x)的一个对称中心是(荐 0)； 将f(x)的图象向右平移I训个单位长度得到函数 y= 3sin _x的图象. 答案 2 n 解析周期为n, = n? _= 2, f(x) = 3sin(2x+ 机 fgn = 3si门(节+ 妨, 4 n 则 sin(亍 + 0) = 1 或1. 5 n 11 (S，云 n， 亍 += 7? 0=6, f(x) = 3si n( 2

6、x+ f). 3 ：令 x= 0? f(x) = 2,正确. n n 3 n ._ ：令 2kn+ 22x+62kn+ 云 k Z n2n . k n+ 6xkn+ 3 , k 乙 令 k=0?診x0)的周期为 n. (1) 求它的振幅、初相； (2) 用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象； (3) 说明函数f(x)的图象可由y= sin x的图象经过怎样的变换而得到的. 解(1)f(x)= sin 3x+ aJ3cOS cox 13n =2(qsin ox+ 2cos o=2sin( ox+ 3), 2 n 又T T= n,二 =n,即 o= 2. o n f(x) = 2sin

7、(2x+ 3). 函数f(x)= sin ox+ ：3cos ox的振幅为2,初相为n. 3 n rn 令 X= 2x+ 3，贝y y= 2sin 2x+ 3 = 2sin X. 列表，并描点画出图象： x n -6 n 12 n 3 7n 12 5 n 6 X 0 n 2 n 2 2 n y= sin X 0 1 0 -1 0 n y= 2sin 2x+ 3 0 2 0 -2 0 nn (3)方法一把y= sin x的图象上所有的点向左平移3个单位长度，得到y = sin x+ 3的图象, 再把y= sin x +扌的图象上的点的横坐标缩短到原来的 1 咅（纵坐标不变），得到y= sin 2

8、x+扌 的图象，最后把y= sin 2X+3上所有点的纵坐标伸长到原来的 2倍（横坐标不变），即可得到 % y= 2sin 2x+ 3 的图象. 一 1 方法二 将y= sin x的图象上每一点的横坐标 x缩短为原来的2倍，纵坐标不变，得到 y= sin 2x的图象；再将 y= sin 2x的图象向左平移 f个单位长度，得到 丫 = sin 2 x+ f = sin 2x+扌的 % 图象；再将y= sin 2x+ 3的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得 % 到y= 2sin 2x+ 3的图象. 思维升华（1）五点法作简图：用“五点法”作y= Asin汁0）的简图，主要是通

9、过变量代换， 3 设z=3x+0，由z取0, 2， n, 2 n, 2 n来求出相应的x,通过列表，计算得出五点坐标，描 点后得出图象. 图象变换：由函数 y= sin x的图象通过变换得到 y= Asin（3x+$）的图象，有两种主要途径： “先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”. 銀抹训釦（1）把函数y= sin（x+图象上各点的横坐标缩短到原来的!（纵坐标不变），再将图 象向右平移3个单位长度，那么所得图象的一条对称轴方程为（） 3 7t7t A. x= 2B. x= 4 jtjt C. x= 8D. x= 4 （2）（2014辽宁）将函数y= 3sin（2x+ 3）的图象向右平移？个单位长

10、度，所得图象对应的函数（） 7 A.在区间【12，石上单调递减 7 b. 在区间石，12】上单调递增 % % c. 在区间6，刁上单调递减 7t 7t d. 在区间6，3上单调递增 答案(1)A(2)B n1 解析将y = sin(x + g)图象上各点的横坐标缩短到原来的2(纵坐标不变)，得到函数y= sin(2x jn、TCTCTCTC n i + 6)；再将图象向右平移3个单位长度，得到函数y= sin2(x 3)+ g = sin(2x-2),故x=- 2是 其图象的一条对称轴方程. (2)y = 3sin(2x+扌)的图象向右平移2个单位长度得到 y= 3sin2(x 才)+扌=3s

11、in(2x 3 u). 令2k n-n0,|林0, n 10|0)的图象的一部分如图所 示，则该函数的解析式为 . 答案D n (2)f(x) = 2sin 2x+ 6 2 y 1 1 Ittj / -2 Q T= 3= n, o o= 2. v f(0) = 2sin 0 = 3, n 解析 / f(x)(30, I林刁的最小正周期为n, (| 吨), 即 sin 0 = n 0= 3. 观察图象可知：A= 2且点(0,1)在图象上， 1 nn 1 = 2sin(w 0 + 0), 即卩 sin 0= . v | 0|0）来确定3； 3 0的确定：由函数 y= Asin（3x+柏+ k最开始

12、与x轴的交点（最靠近原点）的横坐标为（即 令 3X+ 0= 0 , 最琮训练2女口图为y= Asin（3x+ 0）的图象的一段. （1）求其解析式； n 若将y = Asinx+ 0）的图象向左平移6个单位长度后得 的对称轴方程. 解（1）由图象知A= ;3, % 以M 3, 0为第一个零点， 5 N 5T，0 为第二个零点 7t 3 3+ 0= 0, 3= 2 , 列方程组 解得 2 n 5 n 3 十 0= n, 6 0亍 所求解析式为 2 n 2x厂 (2)f(x)= .3sin 2 x+ 6 2n 3 令 2x3= n + kg Z),则 x= 12 n+ *2 (k Z), 5k n

13、 函数y = Asin（3x+ 0）的性质 f(x)的对称轴方程为x= 12 Tt+ k (k Z). 题型三 n nj nn n 例3 (2014重庆改编)已知函数f(x) = J3sin(3x+$)(30,w$0 , 30)的性质 (1)奇偶性：$= S(k Z)时,函数y= Asin(3x+$为奇函数； 冗 $= kn+ (k Z)时,函数 y= Asin(3x+ $)为偶函数. 2 n 周期性：y= Asi n(3x+$存在周期性，其最小正周期为T=. 3 兀兀 单调性：根据y= sin t和t = 3x+ $(30)的单调性来研究，由 ？+ 2k3x+皆？ + 2kk Z)得单调增区

14、间；由 寸+ 2k3X+罗+ 2k Mk Z)得单调减区间. (4) 对称性：利用y= sin x的对称中心为(kn , 0)(k Z)来解，令 3汁$= kk Z),求得其对称 中心. nn 利用y= sin x的对称轴为x= k n+ q(k Z)来解，令3x+$= k n+ 2(k Z)得其对称轴. 銀採训练3已知函数f(x)= Asin(3x+$)(x R, w, A0,00, o0)的单调区间的确 定，基本思想是把 COX+ 2看做一个整体.若 30,且|创0,3 1 的图象如右图所示，则当t=而秒时，电流强度是（） A. 5 安 B. C. 5 ：3安 答案 A D. 10安 T

15、4 解析由图象知A= 10, T= 300300 100 3=罕=100 n / I = 10sin(100n + 妨. 1 10为五点中的第二个点, 300 100nX 舟+ $=扌. 3002 nn e= 6.A I=10sin 100 n + 6， =100 秒时，I=- 5安. 已知函数 f(x)= 2si n 3x (， 9 2】U 6, + (， 93 2】U ， + (， 2 U 6, + (， 3 2 U ， + A. ) ) B. C. ) D. 当t 5. ) n n 在区间3, n上的最小值为2,贝U 3的取值范围是（） 答案 D 解析当 30 时，討2, 由题意知一fc

16、oW n即3； 322 当 30 时，n 3 3XS扌3, 由题意知；3W n， 30, 30,0$冗）的部分图象如图所示， 1 KLM为等腰直角三角形，/ KML= 90 KL= 1，则f的值为 答案r 4 1 解析取K, L中点N,则MN = 2, 因此A= 2. 由 T= 2 得 3= n. n 函数为偶函数,OS0)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为 气温最低，为18C,则10月份的平均气温值为 C. 答案 a+ A= 28,a = 23, 解析由题意得 a A= 18,A= 5, n y = 23+ 5cos 6(x 6), 1 当 x= 10 时，y= 23+ 5X 2 =.

17、8. 已知函数f(x)= cos xsin x(x R),给出下列四个命题： 若 f(X1) = f(X2)，贝V X1 = X2； f(x)的最小正周期是2 n; f(x)在区间n n上是增函数； f(x)的图象关于直线x =号卫对称. 其中真命题是 . 答案 解析 f(x) = jsin 2x,当 x1 = 0, x2 = 2时， f(X1)= f(x2),但X1 x2,故是假命题; f(x)的最小正周期为 n,故是假命题； 当x -n 4时，2x -2,才，故是真命题; 因为 3 n 131 f(N)= 2Sin 2 n=- 2， 3 故f(x)的图象关于直线x= 4 n对称，故是真命题

18、. % 9 .已知函数 f(x)= cos x cos(x- 3). (1)求f(2n)的值; 1 求使f(x)4成立的x的取值集合. 解(1 2 n nn n =cos cos_3=- cos3 cos 1 2 1 = -(2)一 4. 13 (2)f(x) = cos xcos(x 3)= cos x geos x + sin x) 12313 =2co0 x+ si n xcos x=才(1 + cos 2x)+4si n 2x 1 n 1 2cos(2x 3) + 4. 1i人十1n 11 f(x)4等价于 2cos(2x-3) + 44, n 即 cos(2x- 3)0, n n3

19、n 是 2k n+ 22x 32kn+2，k 乙 解得 kn+ 1nxkn+ 11r，k 乙 故使f(x)4成立的x的取值集合为x|kn+ 1nxkn+ k Z. 、一 1 10. (2014 福建)已知函数 f(x)= cos x(sin x+ cos x)- nQ 2 (1)若 0 a2，且 sin a=-，求 f(a的值; 求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间. 解 方法一 (1)因为 0a2, sin a=22, 所以cos a=孑. 所以讣尹谆+*1=2. IiQ (2)因为 f(x)= sin xcos x+ cos x 1 =尹 n 2x+2 1 + cos 2x 1 2 1

20、 1 =尹 n 2x+ 2cos 2x v：2n = _si n(2x+ 4), 2 n 所以 T= -2n= n. k Z, nnn 由 2k n -W 2x+ 4W 2k n+- 3 n , n ,- “ kngw xW k n+-, k 乙 oo 所以f(x)的单调递增区间为kn o o n kn+ 8 ,k Z. 、 1 方法二 f(x)= sin xcos x+ cox 2 1 =尹 n 2x+2 1 + cos 2x 1 2 1 1 =尹 n 2x+ ?cos 2x = 22si n(2x+ n (1)因为 0 aO,O0p一个周期内的 图象上的四个点，如图所示， A( 6, 0)

21、, B为y轴上的点，C为图象 上的最低点，E为该函数图象的一个对称中心， B与D关于点E对称, n CD在 x轴上的投影为，贝U 3, A. 3= 2, n 0= 3 B. 3= 2, n 0= 6 C. 1 3= 2 0 n 0= 3 D. 1 3= 2 , 0 n 0 = 6 0的值为( ) 答案 A 解析 因为CD在 x轴上的投影为 说，又点A(才，0)，所以函数的四分之一个最小正周期为 n n2 n +n= n即函数的最小正周期为n,故3=n 2 又点a( n 0)是处于递增区间上的零点，所以 nn 2X ( 6)+ 0= 2k%(k Z)，贝y 0= 2kn+ (k .-n严产 r、

22、n Z).又因为o00, nn 2三02)的图象上的两个相邻的最高点和 1 最低点的距离为2 2,且过点2, 2，则函数的解析式为 答案 f(x) = sin j+ n 解析 据已知两个相邻最高点和最低点距离为 2 2，可得T 2+ (1 + 1)2= 2.；2,解得T =4，故 3= 2n= n,即 f(x)= sin 号+ $，又函数图象过点2, 2，故 f(2)= sin( n+ $)= sin $= 2，又n w 2，解得 $= n 故 f(x)= sin 号+f . 14. (2014湖北)某实验室一天的温度(单位：C )随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系： nn f(t)= 10 .3COS22 sint, t 0,24). (1) 求实验室这一天的最大温差； 若要求实验室温度不高于11C，则在哪段时间实验室需要降温 解(1)因为 f