三角形-完美编辑版

1、一 . 教学目标： （1）掌握三角形、三角形的全等、相似及解直角三角形的有关概念。 （2）利用三角形的相似、全等及解直角三角形的知识进行计算、解答有关综合题。 （3）培养学生的转化、数形结合、及分类讨论的数学思想的能力 二 . 教学重点、难点： 三角形、三角形的相似及全等、解直角三角形的基础知识、基本技能是本节的重点。难点是综合应用这些 知识解决问题的能力。 三 . 知识要点： 知识点 1 三角形的边、角关系 三角形任何两边之和大于第三边； 三角形任何两边之差小于第三边； 三角形三个内角的和等于 180； 三角形三个外角的和等于 360； 三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； 三角形一

2、个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 知识点 2 三角形的主要线段和外心、内心 三角形的角平分线、中线、高； 三角形三边的垂直平分线交于一点，这个点叫做三角形的外心，三角形的外心到各顶点的距离相等； 三角形的三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心，三角形的内心到三边的距离相等； 连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。 知识点 3 等腰三角形 等腰三角形的识别： 有两边相等的三角形是等腰三角形； 有两角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）； 三边相等的三角形是等边三角形； 三个角都相等的三角形是等边三角形； 有一个角是 60的等腰三角形

3、是等边三角形。 等腰三角形的性质： 等边对等角； 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合； 等腰三角形是轴对称图形，底边的中垂线是它的对称轴； 等边三角形的三个内角都等于60。 知识点 4 直角三角形 直角三角形的识别： 有一个角等于 90的三角形是直角三角形； 有两个角互余的三角形是直角三角形； 勾股定理的逆定理：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 直角三角形的性质： 直角三角形的两个锐角互余； 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 知识点 5 全等三角形 定义、判定、性质 知识点

4、 6 相似三角形 定义 两对应边的比相等，夹角相等 判定方法两个对应角相等 三条对应边的比相等 对应边的比 相似三角形的性质对应高的比等于相似比 周长比 面积比相似比平方 问题 常用术语 视角 坡度 知识点7 锐角三角函数与解直角三角形 r ftin a =ros(90 a ) HOP T正切卜i. L亲囱a亠a ) 鋭角三角函数一 特殊角三角函散1 F:三边关索 1解直角三角形第用关炙1-鬲亲素1 转化直角三角形 C 方位角 例1. （ 1 ）已知：等腰三角形的一边长为12,另一边长为5,求第三边长。 （2）已知：等腰三角形中一内角为80，求这个三角形的另外两个内角的度数。 分析：利用等腰三

5、角形两腰相等、两底角相等即可求得。 说明：此题运用“分类讨论”的数学思想，本题着重考查等腰三角形的性质、三角形的三边关系。 例2.已知：如图，ABC和ECD都是等腰三角形，/ ACB=Z DCE= 90 2 2 2 D 为 AB边上的一点，求证：（1）/ ACE/ BCD, （ 2） AD + AE = DE。 例3.已知：点 P是等边ABC内的一点，/ BPC= 150, PB= 2, PC= 3，求PA的长。 分析：将BAP绕点B顺时针方向旋转 60至BCD,即可证得BPD为 等边三角形，PCD为直角三角形。 解：/ BC= BA, 将BAP绕点B顺时针方向旋转 60,使BA与BC重合，得

6、BCD, 连结PD。 BD= BP= 2, PA= DCo / BPD是等边三角形。/ BPD- 60。 / DPC=Z BPC-Z BPD- 150 - 60= 90 。 DC- PD2 PC2, 22 32.13 PA= DC- .13 o 【变式】若已知点 P是等边ABC内的一点，PA- .13 , PB- 2, PC-3。能求出/ BPC的度数吗请试一 试。 例4.如图，P是等边三角形 ABC内的一点，连结 PA PB、PC, ?以BP为边作/ PBQ- 60，且BQ- BP,连 C 结CQ. (1) 观察并猜想 AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论. (2) 若PA PB: PC

7、- 3: 4: 5，连结PQ,试判断 PQC的形状，并说明理由. 解：(1 )把厶ABP绕点B顺时针旋转60 即可得到厶CBQ.利用等边三角形的性质证 ABPA CBQ得 至U AP- CQ. (2)连接 卩0,则厶 PBQ是等边三角形. PQ- PB, AP-CQ故 CQ: PQ: PC- PA： PB: PC- 3： 4: 5, PQC 是直角三角形. 点评：利用等边三角形性质、判定、三角形全等、直角三角形的判定等知识点完成此题的证明. n F 例5.如图，有两个长度相同的滑梯(即BC- EF),左边滑梯的高度 AC与右 边滑梯水平方向的长度 DF相等，则/ ABC+Z DFE-. 分析：

8、Z ABC与Z DFE分布在两个直角三角形中，？若说明这两个直角三角 形全等则问题便会迎刃而解. 并运用与它相关的性 点评：此例主要依据用所探索的直角三角形全等的条件来识别两个直角三角形全等, 质进行解题. 例6中华人民共和国道路交通管理条例 规定：“小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过 70千米/时”？ 一辆小汽车在一条城市街道上由西向东行驶(如图所示)，在距离路边25米处有“车速检测仪 0” ？测得该车 从北偏西60的A点行驶到北偏西30的B点，所用时间为秒. (1)试求该车从 A点到B的平均速度；(2)试说明该车是否超过限速. 点评：此题应用了直角三角形中30角对的直角边是斜边的一半及勾

9、股定理，也是几何与代数的综合应 用. 例7.如图，正方形网格中，小格的顶点叫做格点，小华按下列要求作图：在正方形网格的三条不同的实 线上各取一个格点，使其中任意两点不在同一实线上；连结三个格点，使之构成直角三角形，小华在下面的 正方形网格中作出了 RtAABC.请你按照同样的要求，在右边的两个正方形网格中各画出一个直角三角形，并 使三个网格中的直角三角形互不全等. 例8.如图所示，在 ABC中，AB= AC= 1,点D、E在直线BC上运动，设 BD= x, CE= y. (1) 如果/ BAC= 30,/ DAE= 105，试确定y与x之间的函数关系式； (2) 如果/ BAC的度数为a, /

10、 DAE的度数为B,当a、B满足怎样的关系式时, (1 )中y与x?之间的函数关系式还成立，试说明理由. 点评：确定两线段间的函数关系，可利用线段成比例、找相等关系转化为函数关系. 例9.如图，梯形 ABCD中，AB/ CD,且AB= 2CD, E, F分别是AB, BC?的中点，EF与BD相交于点 M . (1)求证： EDMs fbm； (2)若 DB= 9,求 BM . 例 10.已知 ABC中，/ ACB= 90o, CD丄AB 于 D, AD : BD= 2 : 3 且 CD= 6。 求(1) AB; (2) ACo 分析：设AD= 2k, BD= 3ko根据直角三角形和它斜边上的高

11、，可知AB3ACBB通过相似三 角形对应边成比例求出其中 k的大小；但是如果根据射影定理，那么就可以直接计算出k的大小。 例 11.已知 ABC中，/ ACB= 90o, CH丄 AB, HE丄 BC, HF丄 AGc 求证：(1 ) HEF 也厶 EHC ( 2) HEFA HBG/ 、 分析：从已知条件中可以获得四边形CEHF是矩形，要证明三角形全等要收集到三个条件，有公共边EH, 根据矩形的性质可知 EF= CH, HF= EG 要证明三角形相似，从条件中得/FHE=Z CHB= 90o,由全等三角形可知，/ HEF=Z HCB这样就可以证 明两个三角形相似。 说明：在这一题的分析过程中

12、，走“两头凑”比较快捷，从已知出发，发现有用的信息，从结论出发，寻 找解决问题需要的条件。解题中还要注意上下两小题的“台阶”关系。培养学生良好的思维习惯。 D E B C 例12.两个全等的含30o, 60o角的三角板 ADE和ABC如图所示放置，E, A，C 三点在一条直线上，连接 BD,取BD的中点M，连结 ME，MC。试判断 EMC是 什么样的三角形，并说明理由。 说明：构造全等三角形是解决这个问题的关键，那么构造全等又如何进行的呢 构造过程中要不断地转化问题或转化思维的 对条件的充分认识和对知识点的联想可以找到添加辅助线的途径。 角度。会转化，善于转化，更能体现思维的灵活性。在问题中创

13、设以三角板为情境也是考题的一个热点。 目眶 课后练习 1. 如图， ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点 O, ?给出下列三个条件：/ EBO=Z DCO / BEO=Z CDO BE= CD. (1) 上述三个条件中，哪两个条件可判定ABC是等腰三角形(用序号写出所有情形)； (2) 选择第(1)小题中的一种情况，证明 ABC是等腰三角形. 2. (1)已知如图，在 AOB和厶 COD中，OA= OB，OC= OD，Z AOB=Z COD= 60o。 求证： AC= BD，/ APB= 60o。 (2) 如图，在 AOB和厶COD中，OA= OB，OC= OD,Z AOB

14、=Z COD=a，贝U AC与BD间的等量关系 式为; Z APB的大小为 。 (3) 如图，在 AOB和厶 COD中，OA= kOB，OC= kOD ( k1)，Z AOB=Z COD=a，贝U AC与 BD 间的 等量关系式为 ; Z APB的大小为。 两位同学设计加工方案，甲设计方案如图(1),乙设计的方案如图(2)。你认为哪位同学设计的方案较好试说 明理由。(加工损耗忽略，计算结果可保留分数) 4. 一般的室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为: X,放映的荧屏的规格为 2m x 2m,若放映机的光源 距胶片20cm时，问荧屏应拉在离镜头多远的地方，放映的图象刚好布满整个荧屏 5. 如

15、图，已知/ MON = 900，等边三角形 ABC的一个顶点 A是射线OM上的一定点，顶点 B与点O重合, 顶点C在/ MON内部。 (1)当顶点B在射线ON上移动到Bi时，连结ABi为一边的等边三角形 ABiCi (保留作图痕迹，不写作法 和证明)； (2)设ABi与OC交于点Q, AC的延长线与BiCi交于点D。求证：AC AD AB1 AQ ； (3) 连结CG,试猜想/ ACC为多少度并证明你的猜想。 6. 如图所示，设 A城气象台测得台风中心在A?城正西方向600km的B处，正以每小时200km的速度沿北 偏东60。的BF方向移动，距台风中心 500km?的范围是受台风影响的区域.

16、(1) A城是否受到这次台风的影响为什么 (2)若A城受到这次台风的影响，那么 A城遭受这次台风的影响有多长时间 7. (1)如图，在 RtAABC中，/90 , AD是/ BAC的角平分线，/ CAB= 60 , ?CD= 3 , BD= 2 3 , 求AC, AB的长. (2) “实验中学”有一块三角形状的花园 A= 30, AC= 40 米，BC= 25 米，你能 100 求出这块花园的面积吗 (3)某片绿地形状如图所示，其中AB丄BC, CD丄AD,/ A= 60, AB= 200m , CD= 100m , ?求AD、BC 的长. 8.高为 (1) (2) 12米的教学楼ED前有一棵大树 AB,如图所示. 某一时刻测得大树 AB,教学楼ED在阳光下的投影长分别是 BC=米，。卩=米，求大树 AB的高度; 现有皮尺和高为 h米的测角仪，请你设计另一种测量大树AB高度的方案，要求： 在图中，画出你设计的图