2020年普通高等学校招生全国统一考试数学试题文天津卷,含解析

1、文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑:欢迎下载支持.绝密启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试数学试3word版本可编借.欢迎下载支持.天津卷本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120 分钟。第I卷1至2页，第II卷3至5页。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规左位宜粘贴考试用 条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结朿后，将本 试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第I卷注意事项：1. 每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干 净后，再

2、选涂英他答案标号。2. 本卷共8小题，每小题5分，共40分。参考公式：如果事件月，B互斥,那么如果事件应万相互独立，那么P（AU）=P（A） +P（5）.=p（a） P .棱柱的体积公式WSH圆锥的体积公式V=-Sh.3其中S表示棱柱的底面而积，其中S表示棱锥的底面而积，力表示棱锥的髙.力表示棱柱的高.一、选择题：在每小题给岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合A = 1,2,6,B = 2,4,C = 1,2,3,4,贝,iJ（AUB）DC =（A） 2 （B） 1,2,4 （C） 1,2,4,6 （D） 1,2,3,46【答案】B【解析】由题意可得；=本题选择B选项.（2）

3、设xwR ,贝J是 “*一1$1刀的（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件【答案】B【解析】2-x0,则x2,|x-l|00）的左焦点为F,点4在双曲线的渐近线上, Q4F是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为2 2 2 2 2 2(A)宁話=1 (B)醫三=1 (C) y-r=l(D)宀* = 1【答案】D【解析】由题意结合双曲线的渐近线方程可得:c = 2芒=+ b，解得：d = 1； 0 = 3 ,=tan 60： = y/3双曲线方程为：4 一二=1rG本题选择D迭项.(6)已知奇函数/(X)在R上是增函数.若=-/(log

4、2丄)上=/(log, 4.l),c = /(20-8), 则a、b、c的大小关系为(A) a bc (B) bac (C) cba (D) ca log2 4,1 2,1 2 log24.1208,结合函数的单调性有：/(log25)/(log24.1)/(2鬥，即 ab c.c b0,llv兀.若/（竺）=2,/（史）= 0, 8 8且/（X）的最小正周期大于2兀则2 7T(A) co = .(p =(B) co =3 12空(C)31211 17T 小、17兀CO = -,(P =(D) 3 = _、(P =324324【答案】A【解析】逐一考查所给选项；当l- + a在R上恒x + -

5、,x.2. x成立，则“的取值范I羽是(A) -2,2 (B) 1-2/3,2 (C) 一2,2石(D) 212馆【答案】A 【解析】满足题意时/（x）的图象恒不在函数）=丄+下方,2当a = 23时，函数图象如图所示，排除C,D选项:文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑:欢迎下载支持.当“ = 时，函数图象如图所示，排除B选项,本题选择A选项.第II卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。2. 本卷共12小题，共110分。二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.已知心，i为虚数单位，若铝为实数，则a的值为.【答案】-2【解析】u_i = (a

6、_，)(2_0 = (2a_l)_(a + 2)j = 2a_1 a+ 2 .为岁数2+7 (2 + z)(2-/)55_一*a + 2T=0, a = _2 11 word版本可编辑欢迎下载支持.(10)已知aeR.设函数f(x) = ax-nx的图象在点(1, /(!)处的切线为人则在y轴上的截距为.【答案】1【解析】/(1)=,切点为(14)，f(x) = a-,则切线的斜率为广(1) = “一1,切线方 x程为：y a = (“ l)(x l”令兀=0得出y = l, /在y轴的截距为1.(11)已知一个正方形的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表而积为18,则这个球的体积为.【答案

7、】2【解析】设正方体边长为a ,贝iJ6/=18n/=3 ,外接球直径为 2R = y/3a = 3,V =-tiR3 =-nx = -7i 3382(12)设抛物线y2 = 4x的焦点为只准线为Z已知点C在/上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若ZFAC = 120.则圆的方程为.【答案】(兀+ir+o Wi【解析】设圆心坐标为C(7初)则廻切,焦点F(L 0),乂=(1亠疔=(1宀)cosZGlr =卫C* _ T 丄 卜 C AF yjl+m1 -用=土爲由于圆C与y轴得正半轴相切，则取加二7L所求圆得圆心为(-1击),半径为h所求圆的方程为o十F十o-希y(13)若a, beR

8、0,则/一+1的最小值为. ab【答案】4【解析】/+4戻+1ab4Z /? +1 4 ,当且仅当a = 2b = 1时取等号. ab(14)在遊中，ZA = 60,妙3, AO2.若 bB = 2DC , AE = AAC-AB (几 wR),且AD AE = -4.则久的值为3【答案】一11_ _ _ 1 _ 2【解析】AB AC = 3x2xcos60Q=3yAD = -AB + -AC，则AD-AE = (-AB + -AC)(AAC-AB) = -x3+x4-x9-x3 = -4A = .33333311三. 解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

9、(15)(本小题满分13分)在AABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c 已知dsinA = 4sinB , ac = y/5(a2-b2-c2).(I) 求cosA的值：(II) 求sin(2B-A)的值.【答案】（1）5【解析】(I )由 a sin A = 40 sin B p 及= 门，得 a = 2b. sin-4 sin（I）解：由（I力可得sin月=壬,= sin,得5曲泾= 54d 5由（I知，为钝角，所以cosB = J1品订=更.于是sin肋=2sin肌。汀55cos 2B=l-2sitr = 4,故sin(2B-A) = sin 2B cos A - cos 2B

10、 sin A = - x (（16）（本小题满分13分）某电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长.广告播放时长、收视人次如下表所示:连续剧播放时长（分钟）广告播放时长（分钟）收视人次（万）甲70厂060乙60525已知电视台每周安排甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用x,表示每周讣 划播出的甲、乙两套连续剧的次数.（I用x, y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平而区域；（II）问电视台每周播岀甲、乙两套连续剧各多少次，才能使收

11、视人次最多？【答案】（1）见解析（2）电视台每周播岀甲连续剧6次.乙连续剧3次时才能使总收视人次70x + 60y 600,7x + 6y 6, 即 k-2y30,【解析】（I ）解：由已知，X满足的数学关系式为hvyo,x0,y该二元一次不等式组所表示的平而区域为图1中的阴影部分:（圈1）（图2文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑:欢迎下载支持.（II）解：设总收视人次为z万，则目标函数为z = 60x+25y.171 7考虑z = 60工+25丹将它变形为-二时二，这是斜率为-二，随z变化的一族平行直线.三为直 线在y轴上的截距，当三取得最大值时，Z的值最大又因为X満足约束

12、条件，所決由图2可知，当直 线60X+ 25尹经过可行域上的点M时，截距丄最大即匚最尢7x+6t = 60.解方程组彳r “八得点也的坐标为（6； 3）.x-2v = 0=所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.（17）（本小题满分13分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AD丄平而 PDC、AD/BC , PD1PB, AD = ,BC = 3, CD = 4, PD = 2.（I）求异面直线AP与BC所成角的余弦值；（II）求证：加丄平而PBC；（II）求直线A3与平而PBC所成角的正弦值.【答案】【解析】试题分析；本小题主要考查两条异面直线所成的角、直线与平

13、面垂直 直线与平面所成的角等基 础知识考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.试题解析；（I）如图，由已知扼?血 故厶血戶或苴补角即为异面直线处与比所成的角，因为初丄平面PDC,所以肋丄丹在氏胁中丿由已知得2 =AD： -胆：=、厅戸故cosZDzlP = = .-4P5所以,异面直线妒与比所成角的余弦值为更.（II ）证明；因为加?丄平面啟7,直线刃U平面尸所以曲丄刊.又因为曲/的所以F吐BC,又刃丄 PB,所以刃丄平面啟（IH）过点Q作曲的平行线交證于点尸，连结丹；则莎与平而丹C所成的角等于曲与平 而丹。所成的角.因为丹丄平而磁；故序为莎在平而磁上的射影，所以ZDFP为直线莎和平而破

14、所 成的角.由于 AD/BC. DF/AB.故 返 1,由已知，得 C&BO BF=2.又 AD丄DC,故 BC丄DC,在 Rt 如中，可得sinADFP =迈DF 5所以，直线曲与平PBC所成角的正弦值为（18）（本小题满分13分）已知%为等差数列,前力项和为5n（weN4）, b是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2 +b3 = 12,Z?3 = a4 2a, 5j）= 11Z?4.（I）求$和仇的通项公式；（II ）求数列a2nbn的前n项和eN*）【答案】(1) a=3n-2. bn=2n. (2) 7； = (3n-4)2n+2+16.【解析】(：I )设等差数列冬的公差为，等比数

15、列的公比为5由已知E十鸟二12，得 见狞亍)=12,而知=2,所以g+q 6 = 0又因为勺0,解得=2.所儿乞=2由$二q-吗，可得3- =8.由耳=ld，可得q十5才二16，联立，解得q二二3, 由此可得 = %-2.所以，”的通项公式为 =3n-2, 阳的通项公式为bn = T.(II)设数列a2ltblt的前项和为7；,由a2n=6n-2,有Tn =4x2 + 10x22 +16x23 + . + (6“-2)x2,27； =4x22 + 10x23 + 16x24 +. + (6/7-8)x2n+(6/7-2)x2/,+,上述两式相减，-7；. =4x2 + 6x22+6x23+-.

16、 + 6x2n-(6/7-2)x2n+I=f)-4-(6n-2)x2n+1 = -(3n-4)2/,+2-16.得 7；, =(3n-4)2/,+2 + 16.所以，数列吆化的前项和为? -4)2乜+ 16.(19)(本小题满分 14 分)设 a,beR , 11/1 1. (2 知函数 f (a) = x3 - 6x2 - 3a(a - 4)x + b ,g(x) = e).(I) 求/(x)的单调区间：(II) 已知函数y = gx)和y = 2的图象在公共点(畑 为)处有相同的切线， 求证:/(x)在x = x处的导数等于0；(ii)若关于x的不等式(A),d), (4-t/,-ko),

17、递减区间为a A-a). (2) ( i ) /(x)在x = x()处的导数等于0. (ii) b的取值范围是-7,1.【解析】(I)由 /(x) = x3 -6x2 -3a(a-4)x + b ,可得11 word版本可编辑欢迎下载支持.文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑:欢迎下载支持.广O) =12x 3a 4) = 3(工一门(工一(4a),令/= 解得工=0,或 x =-由 711,得 av4-a.当X变化时，广(小 /(X)的变化情况如下表；X(-%)G4-a)(4一彳十GC)广0+/所以，仗)的单调递増区间为(一忑，(4-比+龙)，单调递减区间为(比4a)(n)

18、(i)因为g)=JA(*)+G),由题意知严：丿-, 昆)=*所以/(工)亡、.曰 1g=l，解得：“c 代对+广()=/l/g)=所以，/XE在X = .x,处的导数等于0.(ii)因为g(x) 0 ,可得/(x) 1.又因为/(x0) = l, f(xo) = O,故心为/(x)的极大值点，由(I)知兀=“.另一方而，由于I広1，故d + lv4d,由(I)知/(x)在(a-la)内单调递增,在(心+ 1)内单调递减,故当x0=a时，f(x)f(a) = 在“一1, + 1上恒成立，从而g(x)ex在齐)一1,兀+ 1上恒成立.由 f(a) = o -ba1 - 3a(a -+ Z? = 1,得 ” =2/-6/+1, -lrt0)的左焦点为F(c,0),右顶点 (广 Zr为A,点E的坐标为(0,c),的面积为牛.(I) 求椭圆的离心率：3(II) 设点0在线段AE上，I FQ=-c.延长线段P0与椭圆交于点P,点M, N任x2轴上，PM /QN .且直线PM与直线0N间的距离为c,四边形PQNM的而积为3c(i) 求直线FP的斜率;(ii) 求椭圆的方程.【答案】(1)丄(2) ( i ) 24(ii)1