线性变换和相似等价类的对应关系

1、线性变换和相似等价类的对应关系设有两个非空集合V,U,若对于V中任一元素a,按照一定规则 总有U中一个确定的元素B和它对应，则这个对应规则被称为从 集合V到集合U的变换(或映射)，记作B =T( a )或B =Ta ,( a V)。设久 V, T( a )= B ,则说变换T把元素a变为B,B称为a 在变换T下的象，a称为B在变换T下的源，V称为变换T的源集， 象的全体所构成的集合称为象集，记作T(V)。即T(V)=B =T( a )| a V,显然T(V) ? U注：变换的概念实际上是函数概念的推广。定义2设Vn,Um分别是实数域R上的n维和m维线性空间，T是一 个从M到U得变换，如果变换满

2、足(1 )任给 a i ,a 2 Vi,有 T( a 1+ a 2)=T( a i)+T( a 2);(2) 任给 a M, k R,都有 T(k a )=kT( a )。 那么，就称T为从Vn到U的线性变换。说明： 线性变换就是保持线性组合的对应的变换。 一般用黑体大写字母 T,A,B,代表现象变换，T( a )或Ta 代表元a在变换下的象。 若Un二M,则T是一个从线性空间U到其自身的线性变换，称为线性空Vn中的线性变换。下面主要讨论线性空间 Vn中的线性变换。二、线性变换的性质设T是Vn中的线性变换，则(1) T(O)=O,T(- a )=-T( a )；(2) 若 B =ki a i+

3、k2 a 2+ kma 丐贝U T p =kiT a i+k2T a 2kmT a(3) 若a 1,a m线性相关，则Ta 1Ta m亦线性相关；注：讨论对线性无关的情形不一定成立。(4) 线性变换T的象集T(Vn)是一个线性空间Vn的子空间。记S= a | a V,T I a =0称为线性变换T的核，St是Vn的子空间。 设V和W是数域F上的向量空间，而: S W是一个线性映射。 那么(i) 。是满射 Im( )=W;(ii) 是单射Ker( )=0定理1设V和W是数域F上的向量空间，而: VW是一个线 性映射。那么V的任意子空间在之下的像是 W的个子空间。而 W 的任意子空间在之下的原像是

4、 V的一个子空间。三、线性变换的运算 设L(V)是向量空间V的全体线性变换的集合，定义 L(V)中的加法, 数乘与乘法如下：加法：屮二数乘：二二-二二;乘法：丄.厂一一,其中，匚尺.易验证，当A B是V的线性变换时，A+B AB以及kA都是V的 线性变换.四、线性变换的矩阵设V是数域F上的一个n维向量空间n是V的一个基，:二L(V).由于二C i) V,i =1,2, ,n，因而它们可由基12,，n线性 表出令二(_：)二 &11二：1 a21-：2 anln,匚(：2)=氐：1 a22： 2an2： n,(1)二 Gn)二 dn1 a2n2(1)也可以表示为：二 C 1,： 2, ： n)

5、=(： 1,： 2, ，: n)A ,其中f ana12am A=annan1an2称A为二关于基：-i2/：n的矩阵.A的第j列元为二C j）在基 1,2,i,n下的坐标，j =1,2,，n,因而当取定基之后，二在这一基下的 矩阵是唯一的.设V是数域F上一个n维向量空间.令是V的一个线性变换.取定 一个基：1 , 2,，:n.考虑V中任意一个向量1 x22 Un.仍是V的一个向量.设Jr y“l 丫22 ynn自然要问，如何二计算的坐标yi,y2,，yn .令厂1 i=aiii - a22 出川ann,-2 4ai2：i a222 亠亠 an2n,(2) -an Laini a2n2 亠亠

6、annn,这里:j ,i,j=i,n,就是j关于基r,，r的坐标.令A=a nnan1an2n阶矩阵A叫做线性变换二关于基I, ,的矩阵.矩阵A的 第j列元素就是这样，取定F上n维向量空间V的一个基之后，对于V 的每一个线性变换，有唯一确定的F上n阶矩阵与它对应.为了计算二.关于基】的坐标，我们把等式写成矩 阵形式的等式(3)1-1：-1，匚：2，芒:n=1,2,宀 A.设二 X2 2 Xn nXi2，,二：n =1,2,n A ,-1 f ：2，工：n = -1, 2/ , ：n B令T是由基,n倒基： 2，：n /的过渡矩阵：1, -2 , ：n = :1-2 - n T于是1,込，,-n

7、 B =2 川i，二-2，二“=二1 f 2 / f n T=：1，： 2，： n AT= j -2, -n T AT因此（8） B =T -1 AT等式（8）说明了一个线性变换关于两个基的矩阵的关系。设A, B是数域F上两个n阶矩阵。如果存在F上一个n阶可逆矩阵T使等式（8）成立，那么就说B和A相似，并且记作AB（一）特征值特征向量的求法1 、给定的数值矩阵的特征值特征向量的求法.解方程 M_+0求出A的全部特征值，对每个（不同的）特征 值二，解齐次线性方程组匸上丄-.其基础解系便是A对应于特征值丄的线性无关的特征向量，其任意非 零解使是A的对应特征值:的特征向量.2 、求抽象矩阵的特征值，

8、特征向量的方法一般是据定义，假定特征值入，特征向量X由AX=X X代入相关的已知条件，求出入，X3 、相似的判定的基本方法，一般是据相似的传递性，判别两矩 阵相似的对角形（假定都相似）是否可以相同矩阵A的属于特征值入的特征向量是不唯一，因为若是A的属 于特征值丄的特征向量，即有八八山，则对任意常数有虫（舫）=上（血卜狀o沪人（岡, 说明 丄也是A有属于特征值的特征向 量，同样可推出，若都是A的属于同一个特征值 匸的特征向量，则对任意二二，只要也是A的属于特征值的特征向量.向量不可以即是A的属于特征值.二的特征向量，也是A的属 于特征值二的特征向量吗，丄“，因为，若几丄丄 两式相减有;，推出二一

9、，从而二不是特征向量.A的属于不同的特征的特征向量的线性组合 （假定系数都不为0） 不是A的特征向量，设3向厂旦 是A的分别属于特征值丄. 的特征向量，其中二丁,:二丁蔦二 匚为不等于0的常数，若 是A的特征向量，设对应的特征值为入，即处 1+伤Ct +h fl! J叹血& +加2 +毗為）故有:知他）+辰（2）+危（/為）期+舫九沟+以购 疋伉1適+肪（心血）+ * *+层（几s他）=ti2ci 以他+ * 十畑几as b仙-久）角& -兄）他I +疋占% -小殆=0由于廿厂V门所以不全为0 U ：线性相关，这与不同的特征值对应的特征向量线性无关相 矛盾，因此A的属于不同特征值的特征向量的线

10、性组合在系数全不为 0 （从推导过程中知，只要有两个系数不为 0时也成立）时，不会是 A的特征向量.相似矩阵A、B的特征值有何关系，相似矩阵有相同的特征值，因为AB,即存在可逆方阵C,使；二从而证JI也就是说相似矩阵有相同的特征多项式，因而有相同的特征值，同时也有相同的行列式，相同的迹，相同的秩等.（但反之不一定成立），不过，相似矩阵的特征向量不一定相同，如11 1Y11丄1 1V1 -L1 1J T丿丿f2 oYC=#2=B 、a=,B=T|J丿是A的特征向量，但叭1丿U丿，故U丿不是B的特征向量.六、对角矩阵定义1域F上n维线性空间V上的一个线性变换A称为可对角化 的，如果V中存在一个基，使得 A在这个基下的矩阵为对角矩阵。定理1域F上n维线性空间V上的一个线性变换A可对角化 得充分必要条件是，A有 n各线性无关的特征向量，也就是，V中存 在由A的特征向量组成的一个基。证法 L可对角化V中有一个基E 1E n,使得A( E 1E n)= ( E 1E n