利用导数解决恒成立问题

1、利用导数求函数最值 基础知识总结和逻辑关系一、函数的单调性求可导函数单调区间的一般步骤和方法 :1) 确定函数的 f (x) 的定义区间；2) 求f (x)，令f (x)0 ,解此方程，求出它在定义区间内的一切实根；3) 把函数f (x)的无定义点的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；4) 确定f (x)在各个区间内的符号，由 f(x)的符号判定函数f x在每个相应小区间内的单调性 .二、函数的极值求函数的极值的三个基本步骤1) 求导数 f (x)；2) 求方程 f (x)0 的所有实数根；3) 检验f(x)在方程f(x)0的根

2、左右的符号，如果是左正右负(左负右正) ，则f(x)在这个根处取得极大(小)值 .三、求函数最值1) 求函数f (x)在区间(a,b)上的极值；2) 将极值与区间端点函数值 f(a), f(b)比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就 是最小值 .四 利用导数证明不等式1) 利用导数得出函数单调性来证明不等式我们知道函数在某个区间上的导数值大于 (或小于) 0时，则该函数在该区间上单调递增 (或 递减) . 因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数证明该函数 的单调性 , 然后再用函数单调性达到证明不等式的目的 . 即把证明不等式转化为证明函数的 单调性 . 具体有如

3、下几种形式：直接构造函数，然后用导数证明该函数的增减性；再利用函数在它的同一单调递增(减)区间，自变量越大，函数值越大(小)，来证明不等式成立把不等式变形后再构造函数，然后利用导数证明该函数的单调性，达到证明不等式的目的2)利用导数求出函数的最值(或值域)后，再证明不等式导数的另一个作用是求函数的最值因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数求出该函数的最值；由当该函数取最大(或最小)值时不等式都成立，可得该不等式恒成立从而把证明不等式问题转化为函数求最值问题解题方法总结和题型归类利用导数研究含参变量函数的恒成立问题1) 其中关键是根据题目找到给定区间上恒成立的不等式，转化

4、成最值问题。2) 首先找不等式。一般来说，有以下五类题型： 在某个区间上“单调递增减”：表明f(X)0( f (x) )恒成立； “无极值点”，表明f(x) 恒成立或f(x)恒成立； “曲线y f(x)在曲线y g(x)上方(下方)”：表明 f(x) g(x) ( f(x) g(x) )恒成立；“无零点”：表明f(x) 恒成立或f(x) 恒成立； 标志词：“任意”，“所有”，“均有”，“恒成立”等等，此时题干已给出不等式例1:设函数f(x)= ax3 3x+ 1 (x R)，若对于任意x 1,1，都有f(x)成立，则实数a的值为？【解析】 若x= 0,则不论a取何值，f(x) 显然成立；331

5、31当 x，即 x (0,1时，f(x) = ax3 3x+ 1 可化为 a2 二设 g(x) = _23,则 g (x) x xx x3 1 2x1 1 1所以g(x)在区间0, 2上单调递增，在区间2，1上单调递减，因此g(x)max= g 2 =4,从而a4.当x0，即x 1,0)时，同理aw g(x)在区间1,0)上单调递增，二 g(x)min = g( 1) = 4,从而 a0，即(一x2+ 2)ex0，因为 ex0,所以x2+ 20 ,解得.2x 0对x (- 1,1)都成立.因为 f (x) = ( 2x+ a)ex+ ( x2 + ax)ex=x2 + (a 2)x+ aex,

6、所以x2 + (a 2)x+ aex0 对 x ( 1,1)都成立.因为 eSo，所以一x2+ (a 2)x+ a0 对 x (1,1)都成立，x2 + 2xx+ 1 2 11即 a= (x+ 1) 对 x ( 1,1)都成立.X+ 1X+ 1X+ 11 1令 y= (x+ 1) ，则 y = 1+20.x+1x+ 1 21所以y= (x+ 1)在(1,1)上单调递增,x+ 1133所以y7.1 +1 223 因此a的取值范围为a【点评】(1 )数在某区间上单调递增 (减)时，函数的导数在这个区间上大(小)于或者等于零恒成立，转化为不等式恒成立问题解决.在形式上的二次函数问题中，极易忘却的就是

7、二次项系数可能等于零的情况，这样的问题在导数单调性的讨论中是经常遇到的，值得特别注意.3【答案】a的取值范围为a ；【难度】*例3：已知函数f(X-alnx 2 (a 0). x(I)若曲线yf (x)在点P(1, f(1)处的切线与直线 y x 2垂直,求函数y f (x)的单调区间;(n)若对于x (0,)都有f (x 2(a1)成立，试求a的取值范围;【解析】(I)直线y x2的斜率为1.函数f (x)的定义域为(0,1.因为f (x)所以f(x)2 a2 a2,所以f21，所以axx112 x 2-In x 2. f (x)xXf (X)的单调递减区间为(0,) 4分(II) f (x

8、)2xaxax 22ax 2 2由 f (X)0 解得 x 2 ；由 f (x)xac20 x a所以f (x)在区间(-,)上单调递增，在区间2(0,)上单调递减aa所以当x-时,函数f (x)取得最小值，ymin2f ( ) 因为对于 x (0,aa所以f (x)的单调增区间是(2,)，单调减区间是(0,2).4分0解得)都有f (x)2(a 1)成立,2 2 2 2 2 所以 f(-) 2(a 1)即可 则一 aln 2 2(a 1)由 aln a 解得 0 a -a2 aaea2所以a的取值范围是(0, 2) 8分eA ,直接求f (x)【点评】此题直接求最值。此时不等式一般形如f (

9、x) A或f(x)的最值2【答案】a的取值范围是(0, 2)e【难度】*例4：已知函数f (x) ln(1 x) mx.(I )当 m1时，求函数f(x)的单调递减区间;(II )求函数f(x)的极值；(山)若函数f (x)在区间0,e2 1上恰有两个零点, 求m的取值范围.【解析】(I )依题意，函数f(x)的定义域为1,当 m 1 时，f(x) ln(1 x) x,1f (x)12 分1 x由f (x)0得丄10，即01 x1 x解得x 0或x 1,又 Q x 1 , x 01)(II ) f (X)(1) m 0时，f (x)0恒成立f(x)在(1,)上单调递增，无极值.6分1(2) m

10、 0时，由于11m所以f (x)在 1, 1上单调递增，在 丄1,上单调递减,mm 1从而f (x)极大值f (1) m In m 1.9分m(III )由(II )问显然可知，当m 0时，f (x)在区间0,e21上为增函数,在区间0,e21不可能恰有两个零点.10分当m 0时，由(II )问知f(x)极大值=1)，又 f (0)0 ,0为f (x)的一个零点.11分若f (x)在0,e恰有两个零点，只需2f(e2 1)0丄1 me212 m(e211e1)13分【点评】首先考虑参量分离。得到a F (x)或 aF(x)，然后求F(x)的2e2 1最值。直接求最值。此时不等式一般形如f(x)

11、 A或f(x) A，直接求f (x)的最值【答案】【难度】例5：已知函数f (x) In x ax1 ax1(I)当o a 时，讨论函数f(x)的单调性；22 1(n)设 g(x) x2 2bx 4，当 a时，若对任意 x (0,2) , f (x) g(x)恒成立,4求实数b的取值范围.2匚、11 a ax x (1 a)八【解析】：(I) f (x) a 222分x xxax (1 a)(x 1),、(x 0)x令 f/(x)01 a得 x-|, x2 1 3 分a1当a 时，f (x)0，函数f (x)在(0,)上单减 4分2当11 a当0 a 时，1 ,2 a1 a在(0,1)和(，)

12、上，有f(X)0,函数f (x)单减，a1 a在(1, ) 上, f (x)0,函数f(x)单增 6分a11a13(n)当 a 时，3, f (x) In x x14 a44x由(I)知，函数f (x)在(0,1)上是单减，在(1,2)上单增1所以函数f (x)在(0, 2)的最小值为f(1) 8分2若对任意捲(0, 2)，当X21,2时，f (x) g(x)恒成立，1只需当x 1,2时，gmax(x)-即可1g(1)211分13分所以2g(2)22代入解得所以实数b的取值范围是b 114【点评】注意如果条件改为f(Xi) g(X2)”恒成立，怎么样解答，还可以移项构造新函例6：设I为曲线c：

13、在点(1,x0)处的切线.数吗？【答案】11b的取值范围是工，)4【难度】【答案】(I) y x 1求I的方程;(II)证明：除切点(1，0)之外，曲线c在直线I的下方【解析】(I)设f xIn x ，则 f xX1 In x2X所以f 11 .所以L的方程为()令x，则除切点之外，曲线C在直线L的下方等价于00, x 1 .满足1 =0，且当0v xv 1时,当x 1时，X2x 1 In x x =xx 1v 0,Inxv0,所以g x v0,故g x单调递减;1 0,1 n x 0,所以g x 0,故g x单调递减.所以g x g 1=0 x 0, x 1 .所以除切点之外,曲线 C在直线

14、L的下方.【点评】构造函数，转化直接求最值。此时不等式一般形如f(x) A或f(x) A , 直接求f(x)的最值。【难度】【题】已知函数f (x) ax2 (a 2)x In x . (I)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1 , f(1)处的切线方程；(H)当a0时，函数f(x)在区间1 , e上的最小值为-2，求a的取值范围；(川)若对任意 x-i, x2 (0,)， x-i x2，且 f (x-i)+2 x! f (x2)+2 x2恒成立，求 a 的取值范围.：【难度】*1【题】己知函数f (x) - x3 2a x2 (a 1)x 5是R上的单调增函数，求实数a的3取值范围.【难度】*.丿1 n2【题】已知函数f(x)x2 2ex 3e21 nx b在(x,0)处的切线斜率为零.2(I)求x。和