12、分式方程及其应用

1、12、分式方程及其应用【知识精读】1解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程。2解分式方程的一般步骤：(1) 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；(2) 解这个整式方程；(3) 验根：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否等于零，使最简公分母等于 零的根是原方程的增根，必须舍去，但对于含有字母系数的分式方程，一般不要求检验。3.列分式方程解应用题和列整式方程解应用题步骤基本相同，但必须注意，要检验求得 的解是否为原方程的根，以及是否符合题意。下面我们来学习可化为一元一次方程的分式方程的解法及其应用。【分类解析】x 2例1.解方程：1x1 x+1分析：首先要确定各分式分

2、母的最简公分母，在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，解完后记着要验根解：方程两边都乘以(x+1)(x1)，得2x -2(x -1) =(x 1)(x -1)，即x2 _2x _x2 二 _1 _2,3x =2经检验：x=3是原方程的根。2例2.解方程分析：直接去分母，可能出现高次方程，给求解造成困难，观察四个分式的分母发现(x 6)与(x 7)、(x 2)与(x 3)的值相差1,而分子也有这个特点，因此，可将分母利用分的值相差1的两个分式结合，然后再通分，把原方程两边化为分子相等的两个分式,x6x5x 2x1x7x6x3x2式的等值性质求值。解：原方程变形为:方程两边通分，得1 _ 1(x 6)

3、( x 7) (x 2)( x 3) 所以(x 6)(x 7) =(x 2)(x 3) 即 8x 一 -36经检验：原方程的根是 X =-9。2例3.解方程:12x -1032x -3424x - 23 16x -194x3 8x 9 8x-7 4x-5分析：方程中的每个分式都相当于一个假分数，因此，可化为一个整数与一个简单的分数式之和。解：由原方程得：314232414x38x98x-74x-5即28x -9228x -6 一 8x -1028x -7于是1 1(8x _9)(8x _6) _ (8x _10)(8x _7)所以(8x -9)(8x _6) = (8x _10)(8x _7)

4、例4.解方程：2 26y 12y -4. y7 2 2 0y - 4y 4 y _ 4y 4 y - 4经检验：x=1是原方程的根。解：原方程变形为：6(y 2) (y 2)(y-2)y22 2 0(y 2)2(y-2)2(y 2)(y-2)分析：此题若用一般解法，则计算量较大。当把分子、分母分解因式后，会发现分子与 分母有相同的因式，于是可先约分。约分，得6J 2y2y -2 (y 2)(y-2)-0方程两边都乘以(y，2)(y-2)，得6(y -2) -(y 2)2 y2 = 0整理，得2y =16y = 8经检验：y=8是原方程的根。注：分式方程命题中一般渗透不等式，恒等变形，因式分解等

5、知识。因此要学会根据方 程结构特点，用特殊方法解分式方程。5、中考题解：例1 若解分式方程2x m亠1 x亠1丝一工二产生增根，则m的值是(C. 1 或 2D. 1 或2分析：分式方程产生的增根，是使分母为零的未知数的值。由题意得增根是：x二0或x - -1，化简原方程为：2x2 -（m T） = （x T）2，把x二0或x - -1代入解得m = 1或-2，故选择D。例2.甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵所用的时间与乙班种 66棵树所用的时间相等，求甲、乙两班每小时各种多少棵树？分析：利用所用时间相等这一等量关系列出方程。解：设甲班每小时种 x

6、棵树，则乙班每小时种（x+2）棵树,由题意得:60 _ 66x x 260x120 = 66xx = 20经检验：x=20是原方程的根x 2 =22答：甲班每小时种树 20棵，乙班每小时种树 22棵。 说明：在解分式方程应用题时一定要检验方程的根。6、题型展示：例1.轮船在一次航行中顺流航行 80千米，逆流航行42千米，共用了 7小时；在另- 次航行中，用相同的时间，顺流航行 40千米，逆流航行70千米。求这艘轮船在静水中的速 度和水流速度分析：在航行问题中的等量关系是“船实际速度=水速+静水速度”，有顺水、逆水，取水速正、负值，两次航行提供了两个等量关系。解：设船在静水中的速度为 x千米/小

7、时，水流速度为 y千米/小时8042“7x y x - y由题意，得40 i 70 +=7 -X + y x _ yx = 17解得：*1叶3 x = 17经检验：是原方程的根卜=3答：水流速度为3千米/小时，船在静水中的速度为17千米/小时。例2. m为何值时，关于x的方程一2竺 会产生增根？x2 x 4 x+22解：方程两边都乘以 X -4，得2x 4 mx = 3x - 6整理，得（m -1）x - -101 0m -1如果方程产生增根么那-4 = 0,（1） 若x =2，贝V 一 丄0 =2 . m - -4m -11 0（2）若x = -2,则-2 . m = 6m -1（3）综上所

8、述，m- -4或6时，原方程产生增根说明：分式方程的增根，一定是使最简公分母为零的根【实战模拟】1.甲、乙两地相距 S千米，某人从甲地出发，以 改乘汽车，又过 b小时到达乙地，则汽车的速度（SA.a +bS avC.a +bv千米/小时的速度步行，走了 a小时后 ）B.D.2.如果关于A. -33解方程:的方程x-3B. -2S - avb2Sa b=1 一旦有增根,x-3-1D. 3则m的值等于（C.(1)x 10+(x 1)(x2)+(x 2)(x3)(x 9)(x 10厂 22x（2）21 -x 1 +x 1 +x21 +x2x 912 “ 的值等于x 3 x - 3 x5.甲、乙两个工

9、程队共同完成一项工程，乙队先单独做4.求x为何值时，代数式成了全部工程。已知甲队单独完成工程所需的天数是乙队单独完成所需天数的1天后，再由两队合作 2天就完-，求甲、3乙两队单独完成各需多少天?【试题答案】1由已知，此人步行的路程为 av千米，所以乘车的路程为（S-av）千米。S _ av又已知乘车的时间为 b小时，故汽车的速度为千米/小时，应选B。b2.把方程两边都乘以 x 3，得2=x3 m . x=5，m.若方程有增根，则 x =3,即卩5 m = 3 . m = -2应选B3.（1 ）分析：方程左边很特殊，从第二项起各分式的分母为两因式之积，两因式的值都相差1，且相邻两项的分母中都有相

10、同的因式。因此，可利用1 1裂项,n(n 1) n n 1即用互为相反数的和为解：原方程可变为0”将原方程化简1x 10x 2 x 3 x 9 x 10丄=2x 1 即 2x 2 =1经检验：原方程的根是（2）分析：用因式分解（提公因式法）简化解法 1124解：x（2了）= 01-x 1+x 1 +x 1 + x 1124因为其中的241 -x 1 + x 1 +x21 +x41 x 1 -x241 -x21 x21 x4二 2_1 -x21 x2亠1 x4二 4_1 -x41x4x = 0经检验：x = 0是原方程的根。4.解：由已知得心-丄-空2x + 3 x 3 xx -32.23120x 3 x-3x3解 Wx =2经检验：x二3是原方程的根232x+9