(完整版)推理与证明总结课,推荐文档

1、推理与证明考纲要求：1 合情推理与演绎推理（1）了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情 推理在数学发现中的作用；（2 ）了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一 些简单推理；（3） 了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。2 直接证明与间接证明（1） 了解直接证明的两种基本方法一一分析法和综合法；了解分析法和综合 法的思考过程、特点；（2） 了解间接证明的一种基本方法一一反证法；了解反证法的思考过程、特点。3 数学归纳法：了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。、推理 1.归纳推理1 ）归纳推理的定义：从个别事实 中推演出一般

2、性 的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。2 ）归纳推理的思维过程大致如图：实验、观察-I概括、推:猜测一般性结论3 ）归纳推理的特点： 归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象。 由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实验检验，因此，它 不能作为数学证明的工具。 归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们 发现问题和提出问题。 2.类比推理1 ）根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同， 这样的推理称为类比推理。2 ）类比推理的思维过程是：观察、比

3、较联想、类推*1 _推测新的结论 3.演绎推理1 ）演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到 新结论的推理过程。2 ）主要形式是三段论式推理。3 ）三段论式推理常用的格式为：M P（M是 P）是大前提，它提供了一个一般性的原理；S-M（S 是 M）是小前提，它指出了一个特殊对象；SP（S 是 P）是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。三段论”是演绎推理的一般模式，包括：大前提 已知的一般结论；小前提 所研究的特殊情况；结论 根据一般原理，对特殊情况得出的判断。讨论：演绎推理与合情推理有什么区别?合情推理归纳推理：由特殊到一般类比推理：由特

4、殊到特殊 演绎推理：由-般到特殊二、证明直接证明:是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法。综合法就是“由因导果”，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的结论。分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子，可称为 “执果索因”。要注意叙述的形式：要证 A,只要证B, B应是A成立的充分条件.分析法和综合法常结合使用，不 要将它们割裂开。2间接证明：即反证法：是指从结论的否定出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错 误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。反证法的一般步骤

5、是：反设一一推理一一矛盾一一原命题成立。（所谓矛盾是指：与数学公理、定理、公式、定义或已证明了的结论矛盾；与公认的简单事实矛盾；或与已知条件矛盾）。常见的“结论词”与“反议词”如下表：原结论词否定原结论词否定至少有一个一个也没有对所有的x都成立存在某个x不成立至多有一个至少有两个对任意x不成立存在某个x成立至少有n个至多有n 1个p或q? p 且? q至多有n个至少有n+ 1个p且q? p 或? q典例精讲:1. 观察下列等式：13 233,13 233362，根据上述规律，第五个等式为.2. 观察(x2) 2x， (x4)4x3， (cosx) sin x ,由归纳

6、推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f ( x) f (x)，记g(x)为f(x)的导函数，贝U g( x)=()(A) f(x) (B)f(x)(C)g(x) (D)g(x)3. 下列表述正确的是(). 归纳推理是由部分到整体的推理；归纳推理是由一般到一般的推理；演绎推理是由一 般到特殊的推理；类比推理是由特殊到一般的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理A.；B .；C.；D.4.已知p是q的充分不必要条件，则q是p的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件5. 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线 b平面，

7、直线a平面，直线b /平面，则直线b /直线a”的结论显然是错误的，这是因为()A.大前提错误 B. 小前提错误 C. 推理形式错误 D. 非以上错误6. 用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于 60度”时，反设正确的是()。(A)假设三内角都不大于60度；(B)假设三内角都大于60度；(C)假设三内角至多有一个大于60度；(D)假设三内角至多有两个大于60度。7. 观察下列等式： cos2a=2 cos2 a -1; cos4a=8 cos4 a - 8 cos2 a + 1; cos6a=32 cos6 a - 48 cos4 a + 18 cos2 a - 1; cos8a=

8、128 cos8 a - 256 cos6 a + 160 cos4 a - 32 cos2 a + 1; cos10a= m cos10 a - 12 80 cos8 a + 1120 cos6 a + n cos4 a + p cos2 a - 1.可以推测，m - n + p = .彳 n 28.利用数学归纳法证明(a工1，n N)”时，在验证n=1成2 |. n+11 a1 + a+ a + a = 立时，左边应该是(A)1(B)1+ a (C)1+ a+ a2(D)1+ a+ a2 + a39 某个命题与正整数 n有关，如果当n k(k N )时命题成立，那么可推得当n k 1时命题

9、也成立.现已知当n 7时该命题不成立，那么可推得( )A.当n=6时该命题不成立C.当n=8时该命题不成立B.D.当n=6时该命题成立当n=8时该命题成立10.用数学归纳法证明“ (n1)(n 2)(n n) 2n 1 2(2n1) ”(n N )时，从nk到 n k 1 ”时，左边应增添的式子是()2k 12k2A. 2k 1B. 2(2k1)C.D.k 1k111.已知n为正偶数，用数学归纳法证明11 1 1 12(111 )时,234n1 n2n4 2n若已假设n k(k 2为偶数)时命题为真，贝U还需要用归纳假设再证()A. nk 1时等式成立B. n k 2时等式成立C.n2k 2时等式成立D. n 2(k2