2016年第2届UPhO邀请赛试题(图片版)解读

1、2016年第2届UPhO邀请赛试题附详解【题一】統狂的科学家想制造条太空锁链。在地球赤道1:两处，各立起來根长柱&柱子顶端到 地球球心的距离是忽略地球自转，地球半径为八 衣面重力加速度为g。在两根柱子 的顶端之间连接根质量均匀的链条，链条处于平衡状态。(1) 如果链条最低点到地心距离为琏条上拉力最大值为林，拉力最小值为厲，求在端 点处链条切线与柱子的夹角Q:(2) 接1: 问，求链条的质量线密度2。【参数】=1.84x107N , F2=8.83xl()6N, /? = 1.27xl07m , r =8.91xl06m, r = 6.37xl06g =9.8nVs2【解答】(I)山築体法容易得

2、到拉力垠大值位于顶点处，最小值位于最低点处。取链条的i半，相 对于地心力矩平衡有：FRsina = F2i得到F、R（2）还是取链条的一半，给一个沿链条方向朝外的长度为刃的微小虚位移，由虚功原理得 到GM Ml得到质晟线密度为FT _ FGM ()g厂 z()r Rr R【答案】(1) ircsin(-) = 19.7F、R(2)FT= 0.719kg/m【题二】如果一个轻质的桌子，桌面是一个半径为1的圆，在圆周上的N等分点上有N个等长的桌 腿。桌腿可以被压缩但是不可以被拉伸。被压缩的桌風可以视为劲度系数为k的弹簧。在桌 而I:放个重力为G的质点（Gvvb ）后，有些桌腿I:会右应力，右些桌腿

3、会悬空。（1） = 4,质点在某些区域的时候，能使得恰好冇一个桌腿悬空，求出这个面积的大小S|（2）NA5. mSN 3.质点在某些区域的时候，能使得恰好有个桌腿悬空，求出这 个面枳大小D【参数】N = 2, m = 5【解答】如图，设从中心点到第i条腿的欠经为和第i条腿的压缩量为。定义桌面转动角矢呈0工紅=Gi力矩平衡：工护（恣习+ T、xG = （）i即ZfXJI设1$桌腿着地，其临界惜况只有四种可能（或它们的某些交集）:召 0J = l,2,/： Zi Oj = 1,2,小II：L. =OJ = 5+1zj 0,2 2,3,9$Zi 0J = 1,2,汀一 1 iv：hz =0,/ =

4、召 (),Z = .v + 1,$ + 2,.,N平衡方程是线性方程，且所冇町能情况只冇四种，因此满足1 $桌腿若地的区域为四边形。记使得从第/条腿开始冇条腿着地的区域为Dt f9易知1 =久,5U - Di “I c D.iv 讥 cq-可以定性作出I:述四种临界情况(即四个直线边界):其中的兀指向斤+的方向。系统相对于兀轴有镜面对称，因此可到I,II. IIIJV分别相对于x轴镜像对称。记DI S的外边界点为 化,即1,11边界交点为Pg IIIJV边界交点为 匚.匚匚上“耳“2vxW 1四个点囤成的四边形区域。易知对5 = 2的怙况，总区域为桌腿国成的正N边形以外区域。 对s = N 1

5、的情况，0$为PZN而对、=N的悄况，使得每条腿都右地的总区域为所国成的正N边形。fj. $ + 1)、/$+1、cos0,sinieII 2丿/2 /丿记质点此时所在位置为和=(心()，旋转角度为a=(a4t0)于是冇&=& r + h = a cos由=()或比=0得到:a, cos1 一字 9j + /? = 0h = -as cos由力平衡得到:s-lzi-2由力矩平衡得到:as cos0 +h2丿丿解得:Malhcmatica 大法好:Sn.s =N（兀一兀+2）兀+1 siny带入题口参数N=2Ls = N-m = 6得到： 兀=0.95401,九,=0.9308&心2 =0.90

6、437于是右总面枳=0.145(D如图，设四条腿分别位于人44人处。此时对应s = n- 1的情况。则易得彳3为4，为B件.4为 于是得到使AA.A#地的区域为BA2B2,因此使得二条腿着地的区域为B且B；B&以外、易得面积为1【答案】（1）1 SNs = /v（A； -xv+2）Af+1 sin- = 0.145 ,其中sin （-1 + s + sin2 （一2 +、） cos+ 2cossin2【题三】LIGO在2016年2月11丨I终于止式宣布发现高频川力波。这次探测引力波的仪器可以视为一个耳大的边克耳逊十涉仪。波长为2 = 1().6Mm激光在两条柑互垂直的长度为心4km通道中运动N

7、 = 200个來回后发生干涉,通过测量干涉图形可以判定光在两条路线中传播的 时间差。当有引力波通过的时候，时空结构会发生弯曲.相当于导致空间的长度发生变化, 相对变化比为6,即原长为/的通道变为1(1 + 6，从而引起干涉图像的变化。我们把5称为引力波的“振幅”(1) 假设通过两朿光十涉图像能分辨的柑位基为则这个十涉仪的分辨楮度久的数虽级为多少？填入答案和-log1()最接近的蔡数(2) 月球质最为八 地月距离为八 万有引力常数为G,光速为c,月球的引力场在距肉广帶來的空间弯曲nJ以近似认为是戈Gm，il算这-效应带來的相位改变血的数级。填入答案和-log10接近的整数（3）由于黑洞合并产生的

8、引力波的频率极高，所以低频的扰动实际上对结果影响不大。 知引力波的能流密度为j = Acr -其中A为无量纲常数，/为应力波频率，通过 纲分析计并得到a（4）计第（3）中的0（5）计算（3）中的丫（6）这次探测的爭件发生在距离我们13亿光年星系。两个质虽分为29M$和36M$的黑.（其中M $为太阳质量）任0.2秒内合并成为一个质虽为62M $的黑洞。合并的时候引力 频率达到100Hz 我们假设亏损的质杲全部转成能最，以引力波的形式放出，取上问人= 估痒引力波到达地球的时候的振幅的数就级。填写和-iogl0 a接近的整数。【参数】G=6.67xl0 11 Nm2kg2, w = 7.35x10

9、22kg, r = 3.84xl08m, c = 3.00xl08ms1,Ms =1.99xlOmkg【解答】（1）两束光的相位差是令A0为题目中的最小值,则一logI0S为一 loggA0人2z2Nl弋2()（2）对&肿泄式中/展开到一阶小量Gm因为只耍求求出数虽级，这甲.忽略系数，丁是2N15算出一log10A约为6（3）（4） （5）四个亮的量纲为别为2卜网S盯十叮小盯设出方程求解即可，解得, ,卩分別为-1, 3, 2（6）距我们13亿光年的黑洞产生的能流密度为4r2 - Ar代入质量变化为4” = 29Ms+36M$-62M,.=3M厂是13亿光年，于是产生的为披终结果为 一1。亦6

10、二一叭(1),0io 9(2)loSio-(3)3没有被命名。（1）对于给定的州=1.33和a = %，计算鸟（塔）（2）接（1）问，计算亠（久）（3）对于任怠的和N,计算,“（&）収极值时对应的Q,、*（4）接上一问，计算亠,（a）的极值亠（5）接上一问，为了让这个现彖出现，”能取到的最大值”丽（6）对于种偏振光，从空气入射液体的时候，光振轴的反射率为r= bC0S-/-C0S .1 cosa + HCOs 投射率为/，从液体入射空气的时候反射率为r=-r .投射率为厂，并满足tt=l + n, 对于n = n.,计算第2级和第1级虹光振幅平方的比值厶/（7）接上一问，计算和第3级虹和第1级

11、虹光振幅平方的比值IJ1、【参数】aQ = 20.4 , N = 4, n = 2.03【解答】（1）毎折射一次，偏转角为：a-e毎在水滴内反射一次，偏转角为：7V-20由折射定律n sin &= sin a.r+2（a-）一2. A2=A, +7r 一2a+2(z -0) = 2;r -6arcsin(sin(a0)/) + 2久（2）经/V欢反射和的;火折射肓Av =N 龙一(2N+2)srcsin吗+ 2。77丿dA令 = 0,解得: aa弧和二 arcsin（3）代入。至偏转角的表达式中，得:丽=Ntt-QN + 2)arcsin莒丄 + 2 arcsinl(N + ir (N + l

12、)2_为使存在nN + （4）由定义知:则只蛊计算不同情况下的折射率和反射率 代入对应极值角度汁笄得：代入N计算，得型竺皿2怡厶仝亠0.4009765625L 16384【答案】(1) At =-4arcsin(sin(a0)/n0) + 2a0 = 160(2) A2 - In-6circsin(sin(7(J)/n0) + 2a= 309.6=iircsinl(N + l)2-n2 q(n+1)匸 i= 68.9(4)AVm = Nti 一 (2N + 2) arcsin. 十-+ 2arcsin 皿V (N + l)2-l-=584.2 =2 + 1 = 5(6) IJ/= 0.400(

13、7) /./, =0.218【题五】请注慰这是一道水题。一个质晟为加的均匀圆柱，放在一个质晟为M的角度为的斜面上。（1）地面和斜面Z间1占1龙，斜面上表面光消，求恻柱加速度q（2）地面和斜面之间光滑,斜面上表面光滑,求圆柱相对斜面加速度勺（3）地面和斜面Z间固定，斜面匕表面摩擦系数为“，发现鬪柱在斜而I：纯滚动，求摩擦 系数的最小值“血（4）求（3）中圆柱的加速度（5）地面和斜面之间光滑,斜面上表面摩擦系数为“,发现圆柱在斜面上纯滚动,求摩擦 系数的最小值曲,”（6）求（5）中圆柱的加速度【参数】g =9.8ni/s2, tn = 3.18kg , M= 6.4kg, 9 = 40.7【解答】

14、（1）相当于一个质点在固定斜面上运动5 = g sin 3 由水平动虽守恒,设斜面移动速度是,圆柱相对斜面斜向下的速度是弘,水平动量 守恒，有(M + m) v0 = mv cos 0动能比是丄A/v02 +丄加(v02 + V)2 - 2vov, cos0)，代入得2 2孙能Ep对时间求导是由机械能守恒定律+ /?sin2 0)dt=tnvx sin。dtdE+dtdt=0g sin 0(M + m)“2 =M +msin 0(3) (4)动能乙包括平动项和转动项厂1乍1 mR2Ek=-+-/ 23=mv4势能圮对时间求导是dt=-tngv sin。由机械能守怛定律dE dEk 叫di dt

15、 dt=0有“今，解得2a. = sin由角动虽定理垂直斜而方向受力T衡N = m2 cos 6求出“诙的最小值是= tan 0N 3(5) (6)由水平动屋守恒，设斜而移动速度是,鬪柱相对的而斜向下的速度是儿，水平动量守恒，冇(M + HI ) vo = 八cos 0得到斜面加速度和岡柱相対斜面的加速度a Z间的关系mcosO ,=a.m + M 4动能耳是g M v02 +亍” (v02+ 片2 2v0V| cos0)+挣府2 M + mM + wsin2+ m)势能乞对时间求导是生=-哗片sin T M wcos/7 . fN =a+sin 0 M + w tan求出“如的最小值是N3/

16、W +m【答案】(I)q =gsinO 二 6.39m/s(2)型型* 7 90加M + m sin 0(3)如=| tan K+ A（1）在质子静止参照系中，要求反应能够发生，求光子了能量最小值Ey（2）被播击的质子可能在一个静1上的原了核屮，而原子核屮的质子可能随机运动，最名可 能具右“ =200MeV/c的动量（费米运动），则光了的能晟id小值为Ey （3）接第一问，假设A的飞行速度为0c,飞行中衰变成为-个质子和；T,则矿可能具有的动量最大值化讪为多少（单位MeV/c）。（4）接上-问，矿和人方向的放大夹角氏为多少【参数】M ,=938McV/c2, M =494MeV/c2, M =

17、1116MeV/c2, M =140MeV/c2PfCA疋P = 0.773【解答】（1）、（2）:换到质心系中，产物都相对静上（即相对质心动能为零），所需能暈最小令P； + P；= 0则质心速度为:卩=E：八+jE； + 吩2在质心系中，能就守恒，则：带+（一仔寸+Pc%, +5解得质心系中光子动就：厂 2（U）c宙洛伦兹逆变换得，原系中光子能戢为：（Ef 心 E；2（悶+啓一“产）令Pf=0$则（E . +E A-E 2E = =913MeV/cZ2Ep第（2）问屮光子和质子迎头相碰，令Pj = -200MeV/c算得:Eyf = 739MeV（3）两个产物粒子运动只线且反向时，产物之有最

18、大速度。 质心系中能虽守恒：5+ p2c2则各产物动量为:pc =W + EJ-EI 25-E 2(3)质心系中能量为:2E.A由洛伦兹逆变换，原系中圮人动量为:5725（4）在质心系中者速度不共线时，设7T一沿0动就为“COS0原系中.其速度与0方向夹角为0则，心、e ,、 厂（”cos0+0E； J2）=0,求得极值点函数值文Cl00“ = arctan nt其屮：【答案】(1)(2)(A/+M-M2A*r2Ma工 EMCV巧一（E=+E丄-气, 2（jE： + P：c2 +2=739MeV=3.69xlO2MeV/c2M、【趣匕】 鉴于热力学第二丘律已经进入考纲，我们还是考一考吧。如图-

19、坨流体发生气液相变的时候 形成的等温图，液态体积为气态休枳为匕，由于气液共存，所以流体体枳可以从岭连续变为。在温度为T时，饱和蒸气压为。在温度为T到T + T Z间构造一个可逆热机， 在图中沿ABCQ循环，AB,CD为等温过程，HC, DA为绝热过程，这个循环是卡诺循环。dW dT热力学第二定律告诉我们，这个循环的效率为 ,0为相变吸热，“冈为循环对 外做功。按定义液态和气态的燔变s?-耳。带入表达式后我们发现 dp(y2-v=dTs2-sx)9由此可以计算饱和蒸气压随温度的变化关系在超导态正常态相变屮也有类似的现象。止常态中，物体的磁矩M=(),超导态屮MB为外磁场。夕卜场对磁矩的做功可以表示为dW = -BdM .在温度为T时,B B(T)为正常态，BBC(T)为超导态，其=1 -一?,而取等号的时候 则为混合态。为(T)和S(T)分别为正常态和超导态的爛。类比上面的做法，求出ASZI(T)o【参数】=0.144T, /0=1.25xlON/A2, 7 = 1.95K, To = 4.48K【解答】二 dT山热力学第二定律，一个小循环的过程中Q 丁 过程的爛变是ASZI(T) =负号代表是磁介质对外做工，与题忖中定义差一负号。代入条件得S” (