海淀区高三级第二学期期末练习理科数学正文

1、海淀区高三年级第二学期期末练习数学(理科)2008.5本试卷分第I卷(选择题)和第U卷(非选择题)两部分，第I卷1至2页，第U卷3 至9页，共150分。考试时间120分钟。考试结束，将本试卷和答题卡一并交回第I卷(选择题共40分)注意事项：1. 答卷前将学校、班级、姓名填写清楚。2. 选择题的每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。其他小题用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项(1)直线x+3y+仁0的倾斜角是2n 2T(D)(2)某中学有高一、高二、高三学生共1 600名，其中高三

2、学生400名如果用分层抽样的方法从这1 600人抽取一个160人的样本，那么应当从高三学生中抽取的人数是(A ) 20( B) 40(C) 60( D) 80(3)函数y= .x21 (x0)(C) y= - x 1 (x0)(D) y= . x21 (x 0, B=x|X-2|O，求a的取值范围.(20) (本小题共14分)已知函数y=f(x), X N*, y N*满足： 对任意 a,b N*,aHb,都有 af(a)+bf(b)af(b)+bf(a); 对任意n N*都有f(n): =3n.(I )试证明：f(x)为N*上的单调增函数；(D) 求 f(1)+f(6)+f(28)；n 11

3、 11(川)令 an=f(3n),n N*试证明： 一+.4n 2a-ia2an 44分海淀区高三年级第二学期期末练习数学（理科）参考答案及评分标准2008.5、选择题（本大题共 8小题，每小题5分，共40分）题号(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)答案(D)(B)(A)(A)(D)(C)(B)(C)、填空题（本大题共6小题，每小题5分.有两空的小题,第一空3分,第二空2分,共30分）(9) -1( 10)x|x-1( 11) 4(12)( 0, -1),(x-1) 2+(y-1) 2=1( 13) 、2(14)4,8三、解答题(本大题共 6小题,共80分)(15) (共 12 分

4、)解：(I )v p =(sin x,cosx+s in x), q =(2cos x,cosx-s in x),f (x) =p q=(sinx,cosx+sinx) - (2cosx,cosx-sinx)=2sinxcosx+ cos2x-sin2x 2 分=sin2 x+cos2x 4 分 f( n)=4 5 分32又 f (x)=sin2 x+cos2x=、2 sin(2x+ ) 6 分4当且仅当x= 一+k冗（k Z）时，函数f（x）取得最大值 .2.函数f(x)的最大值为.2 . 7分8(n) 由 2k n-w 2x+ w 2k n+ (k Z) 9 分242得 k n- 3nw

5、x w k n+ n 11分8 8函数f(x)的单调递增区间为k n- 3n, k n+ n ( k Z).12分8 8(16) (共 14 分)解法一：(I )证明：连结 A1D,在正方体AC1中，T A1B1丄平面A1ADD1, A1D是PD在平面 A1ADD1内的射影 2分在正方形 A1ADD1 中，A1D 丄 AD1,. PD 丄 AD1. 解：()取 D1C1 中点 M，连结 PM, CM,则 PM II A1D1.T AiDi丄平面 DiDCCi,. PM 丄平面 DiDCCi.CM为CP在平面DiDCCi内的射影 则/ PCM为CP与平面DiDCCi 所成的角 7分PM4在 Rt

6、A PCM 中,sinPCM= PC J42 22 42 CP与平面DiDCCi所成角的正弦值为（川）在正方体 ACi中，DiD II CiC.T CiC 平面DiDP内， CiC丄 I 平面 DiDP.点C到平面DiDP的距离与点Ci 到平面DiDP的距离相等.又DD丄平面Ai BiCi Di,DD平面DiDP平面DiDP丄平面AiBiCD,又平面DiDP Q平面ABGD= CiH的长为点Ci到平面DiDP的距离.i2分DiP,过 Ci 作 CiH 丄DiP 于 H, 则CiH丄平面DiDP.i65i4分连结CiP,并在DiCi上取点Q,使PQ II BiCi，在 DiPCi中,CiH Di

7、P=PQ DiCi,得 CiH=点C到平面DiDP的距离为竺5解法二：如图，以 D为坐标原点，建立空间直角坐标系D- xyz.由题设知正方体棱长为4,则D(0,0,0),A(4,0,0),Bi(4,4,4) , Ai(4,0,4),Di(0,0,4) , C ( 0,4,0 ). i分 (I )设 P(4, yo, 4),fe=(4,yo,4),3 l =(-4,0,4) 3分 t 我=-i6+i6=0, PD 丄 ADi. (H )由题设可得,P (4,2,4),故 =(4, -2, 4)T AD丄平面 DiDCCi,二Q = (4,0,0)是平面 DiDCC 1的法向量 7分二 cosv页

8、I,济=JF S =2. 8分32 CP与平面DiDCCi所成角的正弦值为 9分3(川)T =(0,4,0),设平面 DiDP 的法向量 n = (x,y,z),t P(4,3,4),|希；=(0,0,4),=(4,3,4).z 0,4x 3y 4z 0.令 x=-3，则 y=4.4412分14分.1 分 n=(-3,4,0).:叱 16点C到平面D1DP的距离为d= =.5(17) (共 13 分)解：(I)设事件“某人参加A种竞猜活动只获得一个福娃奖品”为事件 M,1依题意，答对一题的概率为-，则 41 1P (M)=c：q)4(1 4)2 9135135=15 X =厂=.4646 4

9、096(H)依题意，某人参加B种竞猜活动，结束时答题数n=1 , 2,6, T7, P( n =5)=481,139则 P( n =1)=,P( n =2)= 2 ,p( n =3)= 3 ,p( n =4)=444P( n =6)=孑，11分所以,n的分布列是n123456P139278124344243444545En =1 X 1+2 X 3X 丄 + +5 X (3)4 X1+6 X (3)5 .4444443 3 4+ +5 X (-),4 43 23 33 43 5/ X (；) +3 X (-) +4 X (-) +5 X (-), 444443 51(兰)53 3 23 33

10、43 543 5+ (_)2+(_)3+(_)4-5X (_)5= J-5X (_)54 才 4 W W 1WS=1+2 X3 3S=+241-S=1 +3 51 (4)3 53 5 46 36 3 36713分En =L-5X (_)5+6 X ()5=弓=144451 02443分答：某人参加 A种竞猜活动只获得一个福娃奖品的概率为135上5 ;某人参加B种竞猜活动,4 096结束时答题数为n, En为兰671 024(18)(共 13 分)解：如图，建立直角坐标系，依题意 ：设2 2椭圆方程为 冷+爲=1(ab0),a b(I )依题意：=4l3 , b=1,c 3a2= b2+c2,椭

11、圆M的离心率大于0.7,二 a2=4, b2=1.2椭圆方程为 +y2=1.4(n )因为直线I过原点与椭圆交于点 P,Q,设椭圆M的左焦点为F1.由对称性可知,四边形PF1QF2是平行四边形. PF2Q的面积等于 PF1 F2的面积./PF2Q=2n，/ F1PF*.设 |PF1|=r 1, |PF2|=r2，则2A24,r22 r1r212.10分4r1 r2=.311分 PF Q =S F PF2 2 11 n .3 r1 r2si n =2 3313分(19)(共 14 分)解：(I) f (x)=-3/+2ax.、.n据题意，f (1)=tan =1,-3+2a=1,即 a=2.4(

12、)由(I )知 f(x)=-x3+2x2-4,则 f (x)=- 3x2+4x.X-1(-1,0)0(0,1)1f (X)-7-0+1f(x)-1-4z-35分对于 m -1,1: ,f(m)的最小值为f(0)=-4 6分 f(x)=-3x2+4x的对称轴为 x=-,且抛物线开口向下，3 x :-1,1 时，f (x)的最小值为 f (-1)与f( 1)中较小的f( 1)=1 , f(-1)=-7,当x :-1,1 时，f(x)的最小值为-7.当n -1,1 时，f (x)的最小值为-7. 7分 f( m)+ f (n)的最小值为 -11.(川) f (x)= - 3x (x 2a).3若a0

13、时，f (x) 0 时,f(x)v-4.当 a0，使 f(x0)0. 11分2a2a若 a0,则当 0x0,当 x 2a 时，f (x)0，即 a327. a3. 14 分27综上，a的取值范围是(3,+g).(20)(共 14 分)解：(I )由知，对任意 a,b N*, av b,都有(a b) (f (a) f (b) 0,由于a-bv0,从而f (a)vf (b),所以函数f (x)为N*上的单调增函数.记分(n ) 令 f (1) =a,则 a1,显然a工 1否则 f (f (1) = f (1) =1与f (f (1) =3矛盾.从而a 1,而由 f (f (1) =3，即得 f

14、(a) =3.又由(I)知 f (a)f (1) =a，即 av3.于是得 1 va v3,又 a N*,从而 a=2，即 f (1) =2 5 分进而由 f (a) =3 知，f (2) =3.于是 f (3) =f (f (2) =3 x 2=6, 7分f (6) =f (f (3) =3x 3=9,f (9) =f (f (6) =3x 6=18,f (18) =f (f (9) =3x 9=27,f (27) =f (f (18) =3X 18=54 ,f (54) =f (f (27) =3X 27=81. 由于 54 27=8154=27,而且由(I)知，函数 f (x)为单调增函数，因此 f (28) =54+仁55.从而 f (1) +f (6) +f (28) =2+9+55=66. 9分(出)f ( an) =f (f ( 3n) =3 x 3n=3n+1,an+i=f (3n+1) =f (f (an) =3an,a1=f (3) =6.即数列an是以6