2020年高考数学(理)总复习：数列的求和及综合应用(原卷版)

1、2020年高考数学(理)总复习：数列的求和及综合应用题型一数列求和【题型要点】分组求和法：分组求和法是解决通项公式可以写成cn = an + bn形式的数列求和问题的方法，其中an与bn是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列.裂项相消法：将数列的通项分成两个代数式子的差，即an= f(n+ 1) - f(n)的形式，然c后通过累加抵消中间若干项的求和方法.形如(其中an是各项均不为0的等差数列，anan 1C为常数)的数列等.(3) 错位相减法：形如 an bn(其中an为等差数列，bn为等比数列)的数列求和，一般 分三步：巧拆分；构差式；求和.(4) 倒序求和法：距首尾两端等距离的两项和相

2、等，可以用此法，一般步骤：求通项 公式；定和值；倒序相加；求和；回顾反思.(5) 并项求和法：先将某些项放在一起求和，然后再求Sn.(6) 归纳猜想法：通过对 Si, S2, S3,的计算进行归纳分析，寻求规律，猜想出Sn,然后用数学归纳法给出证明.n, n为偶数， n+ 1, n为奇数【例1】已知各项为正数的等比数列an的前n项和为Sn,数列bn的通项公式bn =(n N*)，若S3= b5+ 1, b4是a?和a4的等比中项.(1) 求数列an的通项公式；求数列an bn的前n项和Tn.6【反思总结】错位相减法适用于求数列 an bn的前n项和，其中 an为等差数列，bn为等比数列.(2)

3、 所谓错位”，就是要找 同类项”相减要注意的是相减后所得部分，求等比数列的和，此时一定要查清其项数.(3) 为保证结果正确，可对得到的和取n= 1,2进行验证.题组训练一数列求和已知等比数列an的前n项和为Sn,且6Sn= 3昉+ a(a N).(1) 求a的值及数列an的通项公式;设bn =一 1驾2+ 2n+ 1 2 ,(log3an + 2 )(log3an+ 1 )求bn的前n项和Tn题型二数列与函数的综合问题【题型要点】数列与函数的综合问题主要有以下两类：(1) 已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题;(2) 已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题

4、一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形.【例2】已知数列an的前n项和为Sn,且Sn= 2n2+2n.(1)求数列an的通项公式；若点(bn, an)在函数y= log2x的图象上，求数列bn的前n项和Tn.题组训练二数列与函数的综合问题已知二次函数 f(x)= ax2+ bx 的图象过点(4n,0),且 f (0 2 n(n N *).求f(x)的解析式；1若数列an满足=an+1I ，且 a1= 4,an求数列an的通项公式.题型三数列与不等式的综合问题【题型要点】(1) 以数列为背景的不等式恒成立问题，多与数列求和相联系，最后利用数列或数列对 应函数的单调性求解.(2)

5、以数列为背景的不等式证明问题，多与数列求和有关，常利用放缩法或单调性法证 明.当已知数列关系时，需要知道其范围时，可借助数列的单调性，即比较相邻两项的 大小即可.【例 3】设 fn(x)= x+ x2+ xn 1, x0 n N , n2.(1)求 fn (2)(2 1 1(2证明：fn(x )在0, |内有且仅有一个零点(记为an)，且0 v an | .I 3丿2 3 13丿题组训练三数列与不等式的综合问题1已知等比数列an满足an+ l+ an=。理一窃 N *)，数列bn的前n项和为Sn,且bn =Iog2an.(1)求 bn, Sn；设Cn=吁 -,证明：，CiC2 +. C2C3

6、+, CnCn +i*S +i(nN ).2已知数列an满足ai= 1, an+1= J 2, n N ,记Sn, Tn分别是数列 an, a的前1 + ann项和.证明：当 n N*时，(1) an + 1an；1(2) Tn= 2 2n 1;an+1(3) 2n 1Sn .2n.【专题训练】1 .已知数列an的前n项和为Sn,且a2= 8, Sn =an+ 1n 1.(1)求数列an的通项公式;(2)求数列2 X3nanan + 1的前n项和Tn.2. 已知数列an的前n项和为Sn, a1= 2, an+1= Sn+ 2.(1)求数列an的通项公式；1已知bn= log2an，求数列的前n项和Tn.bnbn+ 1 I3. 已知正项数列 an的前n项和为Sn,且a1 = 2,4Sn= an an +1, n N .(1)求数列an的通项公式；设数列1的前n项和为Tn,求证：4nn+4Tn24. 已知数列an与bn的前n项和分别为An和Bn，且对任意N , a*+1 a*= 2(bn+1bn)恒成立.(1)若 An= n2, bi = 2,求 Bn；求正实数 b1(2)若对任意n N*，都有an= Bn及旦 + 邑 + 旦 +-丄V成立,a1a2 a2a3