§3.2.2立体几何中的向量方法(4)及详解——向量法求线线角与线面角

1、高二理科数学导学案 3.2立体几何中的向量方法（4）向量法求线线角与线面角、学习目标1 理解直线与平面所成角的概念.2 .掌握利用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的求法.二、问题导学问题1:什么叫异面直线所成的角？它的范围是什么？怎样用定义法求它的大小?问题2 :怎样通过向量的运算来求异面直线所成的角?设li与12是两异面直线，a、b分别为li、I2的方向向量，li、12所成的角为0,三、例题探究例1.如图，M、N分别是棱长为1的正方体 ABCD -ABCD的棱BB、BC的中点.求异面直线 MN与CD所成的角.C变式：在直三棱柱 ABC A1B1C1中，AA1= AB = AC , AB丄A

2、C , M是CC1的中点，Q是BC的中点，点P在A1B1上，则直线PQ与直线AM所成的角等于 （）A. 30 B. 45 C. 60 D. 90 例2.如图，三棱柱 ABC AiBiCi中，CA = CB,(1)证明：AB 丄 AiC;若平面 ABC丄平面 AAiBiB, AB = CB = 2,AB= AAi,Z BAAi = 60求直线AiC与平面BBiCiC所成角的正弦值.底面 ABCD，且 PA = AD = AB = 2BC, M、N 分别为 PC、PB的中点求BD与平面ADMN所成的角0四、练一练（时间：5分钟）i. i.若平面a的法向量为u直线I的方向向量为v,直线I与平面a的夹

3、角为0则下列关系式成立的是.u vA . cos0和 |v|B. cos a IS C.sin 0=肃Sin 9=卅变式：如图，在四棱锥P ABCD中，底面为直角梯形，AD II BC, / BAD = 90 PA丄i5 A.i72如图，ABCD AiBiCiDi 是正方体，BiEi = DiFi=则BEi与DFi所成角的余弦值是8C.i73.正三棱柱ABC AiBiCi的所有棱长相等,则ACi与面BBiCiC所成角的余弦值为（）C .宁 D .于4.已知长方体 ABCD AiBiCiDi 中，AB= BC = 4, CCi = 2,则直线 BCi 和平面 DBBiDi所成角的正弦值为（）A乎

4、C.D.5.正四棱锥S ABCD，O为顶点在底面上的射影， P为侧棱SD的中点，且SO=OD，则直线BC与平面FAC所成的角为 .【参考答案】 3.2立体几何中的向量方法（4）向量法求线线角与线面角一、学习目标i理解直线与平面所成角的概念.2 .掌握利用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的求法.用向量方法求空间中的角角的分类向量求法范围异面直线所成的角设两异面直线所成的角为0,它们的方向向量为 a，b，贝U cos 0|cos |., J,|a | |b|n(0，?直线与平面所成的角设直线I与平面a所成的角为0, I的方向向量为a， 平面 a的法向量为 n，贝U sin 0 |cos| |a吐

5、|a|N n|n0，刁二面角设二面角 a I B的平面角为 0,平面 a、B的法向量为 ni，n2，贝y |cosq |cos |- /|ni | 0，n1求异面直线所成的角设li与12是两异面直线，a、b分别为li、I2的方向向量，li、I2所成的角为0，贝9 a，b与0相等或互补,COS0=Ja_bl |a| |b|.2 求直线与平面所成的角如图，设I为平面a的斜线，IQ a= A，a为I的方向向量，n为平面a的法向量，$为 I 与 a所成的角，0= a，n，则 sin（j）= |cos0|= |cos | = 計二、问题导学问题1:什么叫异面直线所成的角？它的范围是什么？怎样用定义法求它

6、的大小?问题2 :怎样通过向量的运算来求异面直线所成的角?设li与12是两异面直线，a、b分别为li、I2的方向向量，li、12所成的角为0,三、例题探究例1.如图，M、N分别是棱长为1的正方体 ABCD -ABCD的棱BB、BC的z 1、w/iC中点求异面直线 MN与CD所成的角.【答案】60变式：在直三棱柱 ABC AiBiCi中，AAi= AB = AC , AB丄AC , M是CCi的中点，Q 是BC的中点，点P在AiBi上，则直线PQ与直线AM所成的角等于 （）A. 30 B. 45 C 60 D 90 F答案D解析以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AAi为z轴建立空间直角坐标系，

7、设1 11AB = 1 , A（0,0,0）, M（0,1 , 2）, Q（2，2，0），设 P（X01），-AM =（0,1, 2）, PQ =（1 -x, 2， 1）, AM PQ = 0X（2-x） + 1X*+ 2x（- 1）= o, Am 丄Pq,a选 d.点评1 求异面直线所成的角的常用方法是：（1）作图一一证明一一计算；（2）把角的求解转化为向量运算.2一般地，若直线 AM和点Q固定，点P变动，则直线 AM与PQ所成的角为变量， 若此角不随P的变化而变化，则只能是 AM丄平面P1P2Q（其中P1、P2是P运动轨迹中的 两个点），故选D.例2.如图，三棱柱 ABC A1B1C1中，

8、CA = CB,（1）证明：AB 丄 A1C;若平面 ABC丄平面 AA1B1B, AB = CB = 2,求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.解析(1)取AB中点0,连接CO, A1B , A1O,/ AB= AA1,/ BAA1= 60BAA1 是正三角形,- AQ丄 AB,/ CA = CB,. CO 丄 AB,CO n AiO = O,. AB 丄平面 COAi, AB丄 AiC.(2) 由(1)知 OC 丄 AB, OAi丄 AB,又平面 ABC丄平面 ABBiAi,平面 ABC n 平面 ABBiAi= AB,. OCX平面 ABB1A1, OCX OAi, OA, OC

9、, OAi两两相互垂直， 以O为坐标原点，OA的方向为x轴正方向,|OA|为单位长度，建立如图所示空间直角坐标系O xyz,由题设知 A(1,0,0), Ai(0,3, 0), C(0,0 , ,3), B( 1, 0,0)，则 BC = (1,0, ,3) , BBi=AAi = ( 1, ,3 , 0) , A/C= (0 , ,3 , .3), 设n = (x , y , z)是平面CBB1C1的法向量，可取 n = ( 3 , 1, 1), cos n, A1cn A1C _ |n|AC|直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为5n BB1 = 0变式：如图，在四棱锥P ABCD中

10、，底面为直角梯形，AD II BC , / BAD = 90 FAX底面 ABCD,且FA = AD = AB = 2BC , M、N分别为 FC、FB的中点.求 BD与平面 ADMN所成的角a解析如图所示,建立空间直角坐标系，设 BC= 1,贝U A(0,0,0) , B(2,0,0) , D(0,2,0),F(0,0,2),贝U N(1,0,1).xBC BD = (-2,2,0), AD = (0,2,0), AN= (1,0,1),设平面ADMN的一个法向量为 n= (x, y, z),y = 0，得，取 x= 1，则 z=- 1,n AN = 0X+ z= 0- n = (1,0，-

11、 1)./ cos BD, n sin B= |cos BD , n |=1.又 0BE DF = =15_ = 15|b!|dF怖后1715设BEi与DFi所成的角为0,则cos 0=rBf-D7|= i5,|BE|DF|15即BEi与DFi所成的角的余弦值为 仃.故选A .3.正三棱柱ABC AiBiCi的所有棱长相等，则ACi与平面.5f丄4B、4C、2D、2答案BC、解析取BC的中点D,连结DCi, 可以证明AD_平面BBiCiC,BBiCiC所成角的余弦值为（则.ACiD是ACi与平面BBiCiC所成的角,边AC1D喘=2；浮，即AC1与平面BBlClC所成角的余弦值为故选B.n B

12、D = 0n BBi = 0设所求线面角为ta,贝U sin a= |cosn, BCi=|n BCi|4=t = .2,20=54. 已知长方体 ABCD AiBiCiDi 中，AB= BC = 4, CCi = 2,则直线 BCi 和平面 DBBQi 所成角的正弦值为()A亚B逅C血D近A. 2B. 2C. 5D. i0答案C解析解法一：连结AiCi交BiDi于0点，由已知条件得 CiO丄BiDi,且平面BDD iBi 丄平面AiBiCiDi,所以 GO丄平面BDD iBi,连结B0,贝U B0为BCi在平面BDDiBi上的 射影，/ CiBO即为所求，通过计算得 sin/CiBO=0，故

13、选C.56Cl/?J1i11宓/-I7c/V3i解法二：以A为原点，AB、AD、AAi为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 则B(4,0,0)、tttBi(4,0,2)、D(0,4,0)、Di(0,4,2)、Ci (4,4,2), a BCi = (0,4,2), BD = ( 4,4,0), BBi = (0,0,2),设平面BDDiBi的法向量为 n= (x, y, z),贝U4x+ 4y= 0y= x,a，取 x= i，则 n = (i,i,0).2z = 0z= 0|n| |BCi|5. 正四棱锥S ABCD中，0为顶点S在底面ABCD上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO=OD,则直线BC与平面PAC所成的角为答案30 解析可利用平面的法向量。课堂小结：1异面直线I，m的方向向量为a，b,则I与m所成的角即为a、b所成的夹角或其补角；2. 要求直线I与平面所成的角，先求出直线的方向向量与 平面的法向量的