泰勒公式及其应用 2

1、重庆三峡学院毕业设计（论文）题目：泰勒公式及其应用 院 系 数学与统计学院 专 业 数学与应用数学（师范类） 年 级 2009级 学生姓名 xxx 学生学号 xxx 指导教师 xxx 完成毕业设计（论文）时间 2013 年 5 月目 录摘要iabstractii引言1第一章 泰勒公式的意义2第二章 泰勒公式的定义32.1 带有佩亚诺型余项的泰勒公式32.2 带有拉格朗日型余项的泰勒公式3第三章 泰勒公式的应用53.1 利用泰勒公式进行近似计算53.2 利用泰勒公式求极限73.3 利用泰勒公式求曲线的渐近线方程83.4 利用泰勒公式求高阶导数在某些点的数值103.5 利用泰勒公式判断级数和广义积

2、分的敛散性113.5.1 判断级数的敛散性113.5.2 判断广义积分的敛散性123.6 利用泰勒公式判断函数的极值133.7 利用泰勒公式证明不等式143.8 泰勒公式在函数方程中的应用17第四章 总结19致谢19参考文献19泰勒公式及其应用xxx（xxx数学与统计学院 数学与应用数学专业 2009级 xxx xxx）摘要：泰勒公式是数学分析中的重要组成部分.本文论述了泰勒公式的基本内容,并着重介绍了泰勒公式在数学领域上的一些应用：利用泰勒公式作近似计算、求极限、判断函数的极值、证明不等式和求曲线的渐近线方程；除此外,还可用泰勒公式求高阶导数在某些点的数值、判断级数和广义积分敛散性,以及在函

3、数方程中的应用.关键词：泰勒公式；佩亚诺余项；拉格朗日余项；应用taylors formula and its applicationxxx(grade 2009, mathematics and applied mathematics, school of mathematics and statistics, xxx, xxx, chongqing xxx ) abstract：taylors formula is an important knowledge in the mathematical analysis.this paper discusses some basic cont

4、ents about the taylors formula.and emphatically introduces the applications of taylors formula in mathematics: we can use the taylors formula to calculate approximation, solve the limit,judge function extremum,prove inequality and solve asymptote equation of curve.in addition, taylors formula still

5、can be used to solve the value of higher order derivative in some point , judge the convergence and divergence of progression and generalized integral,as well as its application of functional equations.keywords：taylors formula;peanos remainder;lagranges remainder;application引言 泰勒公式是数学分析和微分学中的一个非常重要的

6、公式,它将一些复杂的函数近似的表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力工具.18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的数学家泰勒（brook taylor）,于1717年,他以泰勒定理求解了数值方程.泰勒的主要著作是1715年出版的正的和反的增量方法,书内陈述出他已于1712年7月给其老师梅钦（数学家 、天文学家）信中首先提出的著名定理泰勒定理.泰勒公式起源于牛顿插值的有限差分法,1772年,拉格朗日强调了此公式之重要性,而且称之为微分学基本定理,但泰勒于证明当中并没有考虑级数的收敛性,因而使证明不严谨,这工作直至十九世纪二十年代才由柯西完成.泰勒公式

7、的理论方法已经成为研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具,集中体现了微积分“逼近法”的精髓,在近似计算方面有着得天独厚的优势,它建立了函数的增量、自变量增量与一阶及高阶导数的关系,将一些复杂的函数近似地表示为简单的多项式函数,这种“化繁为简”的功能使它成为分析和研究其他数学问题的有力工具.所以我们可以使用泰勒公式,来很容易地解决一些问题,如证明不等式,判断收敛性以及求极限问题等.本文主要介绍泰勒公式及其在各种问题中的具体应用,从而使我们更加认识到泰勒公式的重要性. 虽然泰勒公式应用到各个数学领域很多,但同样也还有很多方面学者很少提及,因此在泰勒公式及其在解题中的应用方面我们有研究的必要

8、,并且有着相当大的空间.第一章 泰勒公式的意义 泰勒公式的意义是,用一个次多项式来逼近函数.而多项式具有形式简单,易于计算等优点. 泰勒公式由的次泰勒多项式和余项组成,我们来详细讨论它们.当时,有 是的曲线在点处的切线(方程),称为曲线在点处的一次密切,显然,切线与曲线的差异是较大的,只是曲线的近似.当时,有 是曲线在点处的“二次切线”,也称曲线在点处的二次密切.可以看出,二次切线与曲线的接近程度比切线要好.当次数越来越高时,接近程度越来越密切,近似程度也越来越高.第二章 泰勒公式的定义泰勒公式的余项分为两类,一类是定性的,一类是定量的,它们的本质相同,但性质各异.定性的余项如佩亚诺型余项,仅

9、表示余项是比（当时）高阶的无穷小.如,表示当时,用近似表示,误差（余项）是比高阶的无穷小.定量的余项如拉格朗日型余项（也可以写成）、柯西余项（如在某些函数的幂级数展开时用）.定量的余项一般用于函数值的计算与函数形态的研究.2.1 带有佩亚诺型余项的泰勒公式定理1 若函数在点的某邻域存在直至阶导数,则对此邻域内的点有 称为带有佩亚诺型余项的泰勒公式,其中,称佩亚诺余项. 当时, 称为带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式.2.2 带有拉格朗日型余项的泰勒公式定理2 若在上连续,在内存在,则,在与之间,使得 称为带有拉格朗日型余项的泰勒公式,其中,称为拉格朗日型余项.注意到当时,有 （在与之间）此式即为拉

10、格朗日中值公式,所以,泰勒中值定理可以看作是拉格朗日中值定理的推广. 当时,在与之间,可令,则 称为带拉格朗日余项的麦克劳林公式.第三章 泰勒公式的应用3.1 利用泰勒公式进行近似计算 当要求的算式不能得出它的准确值时,即只能求出近似值时,泰勒公式是解决这种问题的一个好方法,它既可以进行一些数值的近似计算,又可以得到函数的近似计算式. 利用的带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式得到函数的近似计算式为 其误差是. 下面列举几个例子,说明其具体做法.例1 计算准确到.解 利用 （）当时,有 故,显然当=12时,可得.例2 计算的值,使误差不超过.解 先写出带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式： ,其中（在

11、0与之间）,令,要使 则取即可.因此 其误差.注意 泰勒公式只是一种局部性质,因此在用它进行近似计算时,不能远离,否则效果会比较差,甚至产生完全错误的结果.如在的泰勒多项式中令,取它的前项计算的近似值,得到 而,误差相当大,但如改用其他泰勒多项式,如 ,令只取前两项便有 ,取前四项则可达到 ,效果比前面好得多.例3 当很小时,推出的简单的近似公式.解 当很小时, 3.2 利用泰勒公式求极限 对于待定型的极限问题,一般可以采用洛比达法则来求,但是,对于一些求导比较繁琐,特别是要多次使用洛比达法则的情况,泰勒公式往往是比洛比达法则更为有效的求极限工具.利用泰勒公式求极限,一般用麦克劳林公式形式,并

12、采用佩亚诺型余项.当极限式为分式时,一般要将求分子分母展开成同一阶的麦克劳林公式,通过比较求出极限.例4 求极限 .解 此题若采用洛必达法则求解,则十分麻烦,因而采用下述解法：由泰勒公式知 .又因为当时, 所以 .例 5 用带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式,求极限 .解 当时,由泰勒公式知 所以 对此式作运算时,把两个的高阶无穷小的代数和仍记作 ,故 . 从上面2个例子可以看出,用泰勒公式方法计算极限的实质是一种利用等价无穷小的替换来计算极限的方法,熟知：当时等,这种等价无穷小其实就是将函数用泰勒公式展开成一次项,有些问题用泰勒公式方法和我们已熟知的等价无穷小方法相结合,问题又能进一步简化.3.

13、3 利用泰勒公式求曲线的渐近线方程若曲线上的点到直线的距离在或时趋于零,则称直线是曲线的一条渐近线.显然,直线是曲线的渐近线的充分必要条件为或如果是曲线的渐近线,则（或）.因此首先有（或）.其次,再由（或）可得 （或）反之,如果由以上两式确定了和,那么是曲线的一条渐近线.当时,称为水平渐近线,否则称为斜渐近线.而如果在趋于某个定值时趋于或,即成立 则称直线是的一条垂直渐近线. 注意 如果上面的极限对于成立,则说明直线关于曲线在和两个方向上都是渐近线. 除上述情况外,如果当或时,趋于或,即 或 ,则称直线是曲线的一条垂直渐近线.如函数的垂直渐近线方程为.（因为）例6 判断函数的曲线是否存在渐近线

14、,若存在的话,求出渐近线方程解 首先设所求的渐近线为,并令,则有： .从中解出：.所以有渐近线为例7 求 的渐近线方程.解 当渐近线斜率不存在时,有 因此为曲线的垂直渐近线方程.当渐近线斜率存在时,可设 的渐近线方程为,则由定义 由此为曲线的斜渐近线方程.3.4 利用泰勒公式求高阶导数在某些点的数值 如果泰勒公式已知,其通项中的系数正是,从而可反过来求高阶导数数值,而不必再依次求导.例8 求函数在x=1处的高阶导数.解 设,则,在时的泰勒公式为 ,从而 ,而中的泰勒展开式中含的项应为,从的展开式知的项为,因此 ,从而 .3.5 利用泰勒公式判断级数和广义积分的敛散性3.5.1 判断级数的敛散性

15、在判断级数的敛散性时,当级数的通项表达式是由不同类型函数式构成的繁杂形式时,通常利用泰勒公式将级数通项简化或统一形式,以便利用判敛准则.例9 讨论级数的敛散性.分析 直接根据通项去判断该级数是正项级数还是非正项级数比较困难,因而也就无法恰当选择敛散性的判别方法,注意到,若将其展开为的幂的形式,开二次方后恰与相呼应,会使敛散性的判别容易进行.解 因为 ,所以 ,因此 故该级数是正项级数.又因为所以.因为收敛,所以由正项级数比较判别法知原级数收敛.3.5.2 判断广义积分的敛散性在判定广义积分敛散性时, 通常选取广义积分进行比较, 在此通过研究无穷小量的阶来有效地选中的值,从而简单地判定的敛散性（

16、注意到：如果收敛,则收敛).例10 研究广义积分的敛散性. 解 令 ,则 ,因此,即是的阶,而收敛,故收敛,从而收敛,即收敛.3.6 利用泰勒公式判断函数的极值函数的极值在实际问题中占有很重要的地位,并且也是函数性态的一个重要特征,泰勒公式可以作为研究函数极值的一个重要工具.定理3 设函数在附近有阶连续导数,且, （1）如果为偶数,则不是函数的极值点（2）如果为奇数,则是函数的极值点,且当时,是函数的极小值点；当 时,是函数的极大值点证明 函数在点处作带有佩亚诺型余项的公式为于是 由于故,在中,与同号（1）如果为偶数,则由在附近变号知,也变号,故不是函数的极值点（2）如果为奇数,则为偶数,于是

17、在附近不变号,故与同号 若,则,为函数的极小值点若,则,为函数的极大值点例11 试求函数的极值解 设,由于,令得,是函数的三个稳定点,的二阶导数为 ,由此得,及.所以据定理3知在时取得极小值求三阶导数 ： 有因,则为偶数,由定理3知在处不取极值.再求的四阶导数： ,有,因为,则为奇数,由定理3知在处取得极大值综上所述,为极大值,为极小值3.7 利用泰勒公式证明不等式关于在不等式的证明方面,我们已经知道有很多种方法,比如利用函数的凸性来证明不等式,利用拉格朗日中值定理来证明不等式,以及通过讨论导数的符号来得到函数的单调性,从而证明不等式的方法,同样泰勒公式也是不等式证明的一个重要方法.如果函数存

18、在二阶及二阶以上导数并且有界,利用泰勒公式去证明这些不等式,一般的证明思路为：(1)写出比最高阶导数低一阶的函数的泰勒展开式；(2)恰当地选择等式两边的与；(3)根据最高阶导数的大小对函数的泰勒展开式进行缩放.例12 证明：不等式.分析 不等式左边是二次三项式.右边是无理式,两者没有明显的大小关系,这时可将用的二阶泰勒公式表示出来,然后与左边的二次三项式比较,进而判断两者的大小关系.证明 设,则 代入的二次泰勒公式,有 当时,余项,从而有 . 例13 设在 上具有二阶导数,且满足条件 ,其中,为非负常数,证明对任意,有.证明 已知在 上具有二阶导数,则由泰勒展开式得,在与t之间.分别令 得 ,

19、 (1) , (2)(1)-(2)得 于是 +由于在时,有 所以有 .例14 在（）上满足 ,证明： .证明 令 ,则 .由泰勒展开式得,当时亦有 其中在与之间.因为,所以有 因此有 从而得到 =则 =即 .3.8 泰勒公式在函数方程中的应用例15 设在内有连续三阶导数,且满足方程： （与无关） （3）试证：是一次或二次函数.证明 问题在于证明：或.为此将（3）式对求导,注意与无关.我们有 （4）从而 .令取极限,得 .若,由此知为一次函数；若,(4）式给出 此式两端同时对求导,减去,除去,然后令取极限,即得,为二次函数.在一定条件下证明某函数的问题,我们称之为归零问题,因此,上例实际上是的归

20、零问题.下面再看一例.例16 已知函数在区间内有二阶导数,且, . （5）试证：使得在内.证明 为了证明在的邻域内恒为零,将（5）式右端的,在处泰勒公式展开.注意到,有 , .从而 . (6) 今限制,则在上连续有,使得 只要证明即可.事实上 .即所以,因此在上,证毕.第四章 总结 泰勒公式是数学分析中非常重要的内容,也是研究数学各个领域的不可或缺的工具.本文章是在大量查阅有关泰勒公式的资料的基础上作出的初步整理,这篇文章介绍了泰勒公式的各种余项,并重点归纳总结了其在数学中的一些应用.对泰勒公式在近似值计算、求极限、判断级数和广义积分的敛散性、判别函数的极值、证明不等式、求曲线的渐进性方程等方面做了简单系统的介绍和分析,充分利用其解题技巧在解题时可以起到事半功倍的效果,从而体现了泰勒公式在微分学应用中的重要的地位.所以,我们应该牢固掌握这些知识并灵活应用才能更方便地解决某些复杂问题.但由于自己的知识和水平能力有限,没有对这方面的内容进行深入的研究.致谢 写毕业论文是一件很繁琐的事情,在这一次完成论文的过程中遇到很多问题,比如文章的排版格式,内容的安排以及数学公式的编辑等方面的问题,而以前对于这些问题都没有深入学习过,因而我写论文的时候在遇到这些问题时,也有过气馁但在李本秀老师的指导和帮助下,在同学的帮助和鼓励下,我得以顺利的完成了毕业论文在此,要感