教学论文：浅谈新课标下化归方法在三角函数中的应用

1、教教学学论论文文：浅浅谈谈新新课课标标下下化化归归方方法法在在三三角角函函数数中中的的应应用用 摘摘要要：新课程标准关注在教学中培养学生数学能力，而掌握基本数学思想方法则是形成和发展学生能 力的基础。在数学教学中注重数学思想方法的培养，不仅可以提高课堂教学效率，减轻学生负担，而 且有利于提高学生数学思维能力，培养创新精神。而化归方法是最重要、应用最广泛的数学思想。本 文将借助高中数学 必修四第一 、第三章及必修五第一章 三角函数部分具体阐述化归方法在数学中的 应用。 关关键键词词：化归、等价、非等价、三角函数 客观事物总是在不断变化的 ,并在一定条件下是会转化的。通过转化，将待解决的问题逐步转

2、化 为可解决的问题的思维方法，叫做等价与非等价化归，或称化归方法。化归思想是数学思想的核心， 其内涵十分丰富：高维向低维的化归，陌生向熟悉的化归，复杂向简单的化归，抽象向直观的化归， 多元向一元的化归，高次向低次的化归，未知向已知的化归，数与形的化归，一般与特殊的化归，动 与静的化归，有限与无限的化归等等，在数学中无时不有，无处不在。 化归方法也是数学家处理问题的一种独特的思维方法,匈牙利数学家罗沙 彼得（rosza peter）曾对此作过十分生动形象的描述。他的比喻道出了化归方法的基本特征： (1).问题转换性：将待求的 a 问题转化成为相对于求解者来说已能解决的b 问题,问题的转化是化 归

3、的关键。 (2).间接性：因问题已转化，常常表现为不是原问题直接求解。 (3).后瞻性：在一个问题序列中，往往不是由旧问题的求解逻辑的演进到新问题的求解，而是从新问 题出发，逆向转换，寻求与旧问题连接的通路。 (4).简捷性：只要待求问题 a 与已解决问题 b 之间搭上桥，问题即解决，不必再重复有些过程。 利用化归方法解决问题的过程 ,可以图示为如下基本模式： 显然，利用化归原则解决问题的必要条件是：与原来的问题相比，化归后得出的问题必须是已经解 决了的，或者较为容易的、简单的。 因此，化归的方向应是：由未知到已知，由复杂到简单，由困难到容易。 化归思想贯穿于各级各类数学教材的始终，贯穿于解题

4、过程的始终，它是最重要、应用最广泛的数 学思想。本文将着重介绍化归方法在三角函数中的应用。 现行普通高中课程标准试验教科书数学必修四第一章、第三章及必修五第一章三角函数主要分为任 意角的三角函数、两角和与差的三角函数、三角函数的图像和性质、解三角形四部分。总结这几章的学 习内容和习题，我们会发现大量运用了化归思想，现概括成以下两个方面： 一一. .等等价价化化归归： 所谓等价化归 ,就是在保持一个数学系统的条件下 ,把所讨论的数学问题中有关命题或对象的表 现形式做可逆的逻辑改变（即由a 经过逻辑推理或演算可以推出b，反过来由 b 又可经逻辑推理或 演算可以推出 a）。以使所讨论的数学问题化归为

5、我们熟悉的或容易处理的问题。 对于所给的一个问题，经过一定的变换，把它变成一些与它等价的问题，一般地说，这些等价问题 一个比一个简单直至将它变换成某种标准形式，然后经过直接、简单的计算，得出所需的结果（或解） 。 在三角函数部分 ，进行三角函数式的化简、求值、恒等变形和证明时，常常需要等价化归的思 想，下面着重谈谈运用等价化归思想应遵循的几个原则： 1 1把把未未知知化化归归为为已已知知： 三角函数部分 ，用到此思想最多的便是利用诱导公式把求任意角的三角函数值逐步化归成求锐 角三角函数值。一般可以按下面的步骤进行： 新问题 解答 已知问题 解答 化归 还原 容易 困难 例求下列三角函数值 :

6、(1) sin(2) cos() 6 11 3 17 解：(1) sin= sin(2)=- sin= 6 11 6 1 6 1 2 1 (2)cos()=cos(32)= cos= 3 17 3 3 2 1 2 2. .把把数数化化归归为为形形： 代数是研究 “数”的科学，几何则是研究 “形”的科学；三角函数作为一种工具，两者皆而有 之。代数与几何是对立的两个方面，二者在坐标系下统一了起来。 三角函数的解析式，我们称之为 “数”，单位圆、直角三角形等理解为 “形”。三角函数的 图像可以直观的反映出三角函数的性质；反之，掌握了三角函数的性质，就能简捷地做出图像，两者 是相辅相成的。三角函数的图

7、像，可以看作 “数”向“形”的一种转换，由于这一转换，可以使学 生直观的认识三角函数的一些规律：如三角函数的定义域、值域（即图像在坐标平面上的伸展范围）； 最大值、最小值（图像上的最高点、最低点）；奇偶性（图像关于原点或y 轴对称）；单调性（图 像的升降情况）；周期性（图像每隔一定距离形状相同）等。 把已知三角函数值求角化归为求 0,2上适合条件的角的集合，也是把数化归为形思想的典 型应用。 例 1 .解不等式： sinx 2 1 解：在 y 轴上过(0, )的点 c 作 x 轴的平行线。 2 1 交单位圆于 a、b 两点。从图可见，在 0,2上， 分别得交点 和其解集为+2kx+2k，kz

8、6 7 6 11 6 7 6 11 例 2 .解不等式 tanx3 解：过 y 轴上点处作 x 轴的平行线，与 y= tanx 的图像交3 于 a 点，过 a 作 x 轴的垂线的交点,从图像中可见 , 3 其通解为+kx+k，kz 3 2 说明：解这类简单的三角不等式， 正切用一个周期的图像来解效果 较好；而正弦、余弦不等式，除用一 个周期的图像来解外，用单位圆来解，效果更好。 与研究中学数学中各类函数一样，研究三角函数定义和性质所采用的基本方法就是把数化归为形。 利用单位圆和三角函数图像表示任意角的三角函数值；在分析和解决有关比较三角函数值得大小、角的 终边位置与三角函数值的符号关系、已知三

9、角函数值求角、已知三角函数值的取值范围确定角的取值范 任意负角的 三角函数 0到 360的角的 三角函数 锐角的三 角函数 任意正角的 三角函数 y a b x o c y 3 a - 2 2 3 x o 围等问题中，单位圆和三角函数图像都可提供简捷、有效的思路和方法。 3 3把把对对立立化化归归为为统统一一： 化归应朝着使待解决问题在条件和结论的表现形式上趋于和谐，在量、形、数关系方面趋于 统一的方向进行。 对于三角函数部分 的证明题目，面对众多的三角公式、纷繁的结构，学生普遍感到无从入手， 不知道该用哪个公式，通过什么途径，去实现一边到另一边的化归。应该运用对立统一的原则进行指 导，消除对

10、立，力争统一来找 入手点。一般方法是化异名为同名、化异角为同角、化异次为同次、 化切为弦等，其实质均是 “统一”的思想。 把对立化归为统一要有一定的方向，必须从条件（或结论）出发，根据条件（或结论）的特征向结 论（或条件）转化，这就是结论和条件的相向性原则。 例 1 已知 sin(2+)=3sin。求证 tan(+)=2tan. 分析：结论中含角 +、，已知条件中含角 2+、。为了实现已知到结论的转化，可将已 知中的角进行如下转化： 解：由已知得 sin(+)+=3sin(+) 即 sincos(+)+ cossin(+)= 3sin(+) cos3 cos(+) sin 得 2sin(+)

11、cos=4 cos(+) sin 故 tan(+)=2tan 在三角恒等变形中，角的拆变应用十分广泛，而且也非常灵活，如 可变为(+)；2 可 变为(+)()；2 可变为()； 可视为的倍角；（ 45）可视 2 为（902）的半角； 15=4530=6045，x=+,y=等等。 2 yx 2 yx 2 yx 2 yx 例 2. 已知 f(sinx)=sin2006x，求 f(cos x)的值。 分析：已知是 f(sinx)，而目标是 f(cosx)，那么就首先应把 cos x 转换成 sinx，这就要找出它们 之间的内在联系： cos x= sin(x)，是求证可以向已知转换。 2 解：f(c

12、os x)fsin(x)=sin2006(x)= sin(10032006x)=sin(2006x)= 2 2 sin2006x 分析上述解题思维过程，将元素 (sinx,cosx)统一即将条件与结论统一是关键。其实，回顾一下 中学数学学习，很多内容是遵循着统一性原则的：如分式的加减运算要统一为同分母的分式加减运算； 不同底的对数式运算常通过换底公式统一为同底数的对数来运算；三角诱导公式的重要作用就是实现 三角式的和谐统一等等。所以，统一性原则是等价化归的一项重要原则。 4 4. .把把复复杂杂化化归归为为简简单单： 在化归中尽量把复杂的问题或条件通过分解，转化成简单的问题或条件，善于将一个数

13、学 问题简化，往往可以收到事半功倍的效果。 例.锐角abc 中，求证 sina+sinb+sinccosa+cosb+cosc 分析：本题看来似乎很简单，但从整体上解答比较难于入手。由三个角的和为，以及三角函数 间的转化关系，我们可以把三个参数（ a、b、c）转化为两个参数，以达到化归的目的。 证明：abc 为锐角三角形 p a+b=c,ab ,即 0ba 2 2 2 2 依正弦函数在 0,上的增减性知： sinasin(-b)= cosb 2 同理：sinbcosc，sinccosa 三式相加即得： sina+sinb+sinccosa+cosb+cosc 5 5. .把把问问题题模模式式化

14、化归归为为联联想想模模式式： 联想，特别是相似联想，是实现化归的重要途径。所谓“相似联想”，就是将面临的问题，从 它的数、式和形的某一方面特点与我们已熟知的某种模式加以联想和比较，并设法从新模式（问题中 的模式）转化为旧模式，并按旧模式来解决。下面举例加以说明： 例、 已知 x0，y0，z0，求证： + y x xy 2 2 z y yz 2 2 xz zx 22 分析：由题目的结构形式，联想余弦定理，将=看成两边分 y x xy 2 2 y x xycos 2 2 602 别是 x、y，其夹角 60的三角形 的第三边。由此，便联想到构造几何 图形。如右图，在平面上任选一点p， 作apb=bp

15、c=60，设 pa=x，pb=y， pc=z，由余弦定理知， ab=， y x xy 2 2 bc=，ac=， z y yz 2 2 xz zx 22 在abc 中，由两边之和大于第三边知， 原不等式成立。 通过以上例题的分析可知，相似性联想成功的关键在于发现两类对象之间的相似性特征，相似 特征的得到需要借助对讨论对象结构敏锐的观察力。如果我们运用得当，会得出创造性的解决方法， 这是会有一种茅塞顿开、豁然开朗的感觉。在日常教学中，注意结合教学内容，创设问题情境，引导 学生积极联想，既可有效地调动学生的兴趣，又能培养学生思维的创造性。 二二. .不不等等价价化化归归 : : 化归如同“翻译” ，

16、把同一问题用不同“语言”在不同的思维水平上反映出来。如果是等价化归，即 “翻译”全真，那么所得到的解即原问题的解。如果是非等价化归，则“翻译”部分“失真” ，对于“失 真”部分必须另作处理，才能获得原问题的全部解。 例.设 012n,其中 n2，求证： 2 tan1tann n n coscoscos sinsinsin 21 21 分析：由于变元较多，难于下手，先退为二元考虑，即 012，求证：tan1tan2 2 21 21 coscos sinsin 只要证就行，这是不难办到的。 1 1 cos sin 21 21 coscos sinsin 2 2 cos sin b x a y c

17、z x 012，0sin1sin2,cos1cos20 2 02sin1sin1+sin22sin2, 2cos1cos1+cos22cos20 故 1 1 2 2 cos sin 21 21 coscos sinsin 2 2 2 2 cos sin 即 tan1tann 21 21 coscos sinsin 这样就开启了原题证明的诀窍！ 证明： 012n， 2 0sin1sin2sinn cos1cos2cosn0 0nsin1sin1+sin2+sinnnsinn ncos1cos1+cos2+cosnncos20 tan1tann n n coscoscos sinsinsin 21

18、 21 注：对有些涉及自然数 n 的这类“多元”问题，有时也可以用数学归纳法来解，这里就不举例了。 化归方法着眼于揭示实际，实现转化，在迁移转换中求得问题的解。我们在解决众多的数学问题时， 总是把它们化归为以解决了的问题而求解的。可见，化归方法在数学解题方法中占据着极为重要的地位。 如何选用正确的化归方法是我们值得探讨的一个重要问题。先看下面两道例题： 例 1 求 sin+cos 的最值。15 解：sin+cos=4(sin+cos)=4sin(+) 其中 tan=, 为锐角15 4 1 4 15 15 44sin(+)4 sin+cos 的最大值为 4,最小值为 4。15 例 2 若 2+=,求 y=cos6sin 的最值。 解 : =