比例、黄金分割、平行线分线段成比例定理及例题(20210319072005)

1、比例、黄金分割、平行线分线段 成比例定理及例题要点一、比例线段1 成比例线段：在四条线段中，如果其中两条 线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线 段叫做成比例线段，简称比例线段.2 比例的性质:(1)基本性质：如果厂，那么屮加.(2)合比性质：如果石孑那厶h d果 bd b d要点诠释:(1) 两条线段的长度必须用同一长度单位 表示，若单位长度不同，先化成同一单位，再求 它们的比;(2)两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关;(3)两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数.要点二、黄金分割1. 定义： 点C把线段AB分割成AC和CB两段,AC BC如果 ,那么线段A

2、B被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与 AB的比叫做黄金比.要点诠释：0.618AB(叫做黄金分割值).2. 作一条线段的黄金分割点:如图，已知线段AB按照如下方法作图：1(1) 经过点B作BDL AB使Bt=AB(2) 连接AD,在DA上截取DE=DB(3) 在AB上截取ACAE则点C为线段AB 的黄金分割点.要点诠释：一条线段的黄金分割点有两个.基本事实：两条直线被一组平行线（不少于3条）所截, 所得的对应线段成比例已知如图，直线I 1、I 2、l 3是一组等距离的 平行线，14、I 5是任意画的两条直线，分别于这 组平行线相交于点A，B, C, D, E，F，则比例AS

3、_ DK BC _ M 爾式厉二沪旋二亦W二血应二亦 成立.要点诠释： 上图的变式图形：分A型和X型;A型AD_ AD_ AE DB_ EG则常用的比例式：二二止W 依然成立.要点四、把已知线段 AB五等分.已知线段AB,请利用尺规作图把线段 AB五等分.A *作法1以A为端点作一条射线，并在射线上依 次截取线段 AA=AA=AA=AA=AA.2连结AB,并过点A, A2, A3, A分别作AB的平行线，依次交AB于点B , B2, Bb, B4.则点 B , B2, R, B 就是所求作的把线段AB五等分的点.依据：实际上，过点A作I / AB,根据平行 线分线段成比例的基本事实，就可以得到

4、如下关 系式叫=叭=婆=性=空M 也 44 M 4A. AA=AA=AA=AA=AA, AB=BB=BB3=B3B4=BB,点B, B, B, B,把线段AB五等分.要点诠释：在射线上截取等长的线段时使用的作图工 具是圆规,不能使用直尺进行量取，尺规作图中 的直尺是没有刻度的，它的用途是画线或者连 线例题：1.（2016?兰州模拟）若a： b=2: 3,则下列各式中正确的式子是（）A. 2a=3bB . 3a=2bc . HD.a - b 1 b【思路点拨】根据比例的性质，对选项分析，选择正确答案.【答案】B.【解析】A 2a=3b? a: b=3: 2,故选项错误;B、3a=2b? a: b

5、=2: 3,故选项正确;Cb 2b: a=2: 3,故选项错误；Da _ b 1b =3? a: b=3: 2,故选项错误.故选B.【总结升华】考查了比例的性质.在比例里, 两个外项的乘积等于两个内项的乘积.2.设2 _ 3 _ 4，求/ - 2xy-护的值.【思路点拨】由已知条件利用解方程的思想 不能求出x，y，z的值，因此用设参数法代入化 简 |【答案与解析】2T _ J _ Z设2=3=4=k贝V x = 2k, y = 3k, z = 4k2x(2t)a -3x3A:x4* +-12P1原式=(时一空如弘-(4妒一-习I =2【总结升华】解此类题学生容易误认为设 k 后，未知数越多更不

6、易解出，实际上分子、分母 能产生公因式约去A8 方-1 3.如图所示，矩形ABCD是黄金矩形(即血=丁 0.618 )，如果在其内作正方形 CDEF得到一 个小矩形ABFE试问矩形ABFE是否也是黄金矩 形？DEACBF【思路点拨】(1)矩形的宽与长之比值为些，则这种 矩形叫做黄金矩形.辰1二即可.（2）要说明ABFE是不是黄金矩形只要证明AE【答案与解析】矩形ABFE是黄金矩形.AEAD-ED理由如下：因为ABASAD ED2二 2（祈+ 1）萨 + 1 _蔚-1=加-1 一（巧-1）（厉*1）- 2- 2所以矩形ABFE也是黄金矩形.【总结升华】判断四边形是否是黄金矩形，要根据实际条件灵活

7、选择判断方法5. （2014秋?平川区校级期中）已知：如图，在AG_AF ABC中, AB=AC 且丽诵，EG/ CD 证明：AE=AF【思路点拨】由平行可得AG AE GD=ECAG AF,且面节，可得更AE AF=F&,结合AE AFAB=AC由比例的性质可得云=忑，可得AE=AE【解析】证明： EG/ CDAG AEAG AF 且GDFL AE AF眈=阳1? AEAE+ECAFA AF；=婕+阳，即 AC=AB , AB=ACAE=AF【总结升华】本题考查了平行线分线段成比 例定理，解题的关键是找准对应线段.6. 如图，在矩形 ABCD中, AB=2 BC=3 点 E、F、 G H分别

8、在矩形 ABCD勺各边上，EF/ AC/ HG EH/ BD/ FG 则四边形EFGF的周长是（）.A.丽 B . 13 C 扳 D. 2品【思路点拨】根据矩形的对角线相等，利用 勾股定理求出对角线的长度，然后根据平行线分 线段成比例的基本事实列式表示出 EF、EH的长 度之和，再根据四边形EFGH是平行四边形，即 可得解.【答案与解析】在矩形 ABCD中, AB=2 BC=3根据勾股定理，AC=BD=e亠 EF/ AC/ HQ EF _EB EH/ BD/ FQ EH_ AEABEF EH _EB AE.址而AB =1 EF+EH=AC=， EF/ HG EH/ FQ四边形EFGH是平行四边形，四边形EFGH的周长=2 （EF+EH =后 故选D.【总结升华】本题考查了平行线分线段成比 例的基本事实，矩形的对角线相等，勾股定理， 根据平行线分线段成比例的基本事实求出 龙+瓦是解题的关键，也是本题的难点.7. 把已知线段a（如图）三等分.!_ _$3【答案与解析】作法1 把已知线段a的两端点分别标注字母 A， B,再以A为端点作一条射线，并在射