高中数学解题方法辅导-高考数学探索性问题的解题方法

1、高考数学探索性问题的解题方法高考能力要求1.如果把一个数学问题看作是由条件、解题依据、解题方法和结论这四个要素组成的一个系统，那么我们把这四个要素中有两个是未知的数学问题称为探索性问题。条件不完备和结论不确定是探索性问题的基本特征。2、探索型问题的基本类型(1)、条件追溯型这类问题的外在形式是针对一个结论，条件未知需探究，或条件增删需确定，或条件正误需判断。解决这类问题的基本策略是执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或论证找到结论成立的充分条件，在执果索因的推理过程中，不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作充分条件，是一种常见错误，必须引起注意，确定条件是否多余时要着眼于每个条件

2、对所求（或所证）对象的确定性，判断条件正误时多从构造反例人手。(2)、结论探索型这类问题的基本特征是有条件而无结论或结论的正确与否需要确定。先探索结论后论证结论是解决这类问题的一般形式。(3)、存在判断型这类问题的基本形式是判断在某些确定条件下的某一数学对象（数值、图形、函数等）是否存在或某一结论是否成立，解决这类问题基本策略是通常假设题中的数学对象存在（或结论成立）或暂且认可其中一部分的结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论的证明。(4)、方法探究型这类问题的基本形式是需要非常规的解题方法或被指定要用两种以上的方法解决同一个问题，如难度较高的构造法

3、即属此型。在探究方法的过程中，常常需要研究问题的特殊情形，运用类比、猜测、联想来探路，解题过程中创新成分比较高。3、思想方法解决探索性问题，没有现成的套路和常规程序，需要较多的分析成分和对数学思想方法的综合运用。对观察、联想、类比、猜测、抽象、概括诸方面的能力有较高要求。高考中求解这类问题的常见方法是：(1)、直接法解:可构造出四面体如下图中的一个，故填11（或，或）(2)、观察猜测证明(3)、赋值法(4)、数形结论(5)、联想类比(6)、从特殊到一般(7)、从特殊到一般再到特殊(8)、等价转化例题精讲【例1】若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积的值是_。（只需写出一个可

4、能的值）分析:要构造出满足条件的四面体，关键是根据三角形知识确定每个面上的三条棱，排除1,1,2，可得1,1,1；1,2,2；2,2,2，用这三类面（三角形）在空间中构造满足条件的一个四面体。1411121262说明：这是一个条伯和结论不确定的开放性探索题，如果本题要求写出所有可能的值，那将会更加提高开放度，考虑在高考这一特定的环境下，所以本题的要求是适度的。aa【例2】已知等差数列的第二项为8，前10项之和为185，从中依次取出第2项，nnbb第4项，第8项，第2n项，按原来的先后顺序排成一个新的数列。（1）求的nn前n项之和s；（2）t=n(9+a)，试比较s和t的大小。nnnnna解：（

5、1）设的公差为d，则a=a+d=8，前10项之和为：n21s=10(10-1)d+10a=185101即a+d=8110a1+45d+185a=51d=3a=3n+2nba的各顶分别是的第2，第8，第2n项，nnb=an2n=32n+21-22(1-2n)s=3+2n=62n+2n-6n（2）当n=1时，s=8，t=14，st1111当n=2时，s=22，t=34，st2222当n=3时，s=48，t=60，st4444当n=5时，s=196，t=130，st5555由此我们可以看出s随n增长而增长，且成倍增长，增长的速度比t随n增长的速度快，nn所以我们猜想：当1n3时，stnnnn下面我们

6、用数学归纳法证明：当n4时，stnn（i）当n=4时，由上述可知命题成立。（ii）假设n=k(k4)时，st，即kk62k+2k-63k2+11k即62k3k2+9k+6则当n=k+1时62k+1+2(k+1)-66k2+20k+8=3(k+1)2+11(k+1)+(3k2+3k-6)3(k+1)2+11(k+1)n=k+1时，sk+1tk+1也成立根据数学归纳法原理，当n4时，stnn综上所述：stn4nnsn1)的1个顶点c(0,1)为直角顶点作此椭圆的内接等腰直角三角形abc，试问：这样的等腰直角三角形是否存在？若存在，最多有几个？若不存在，请说明理由。分析：由题意，直线ac，bc的斜率

7、都存在，设直线ac的斜率为k，利用c点坐标，写出直线ac方法，与椭圆方程联立，因直线ac与椭圆的一个交点c已经给出，则点a的坐标容易直接解出，因此ac易于求出，同理可求出bc，建立等式解k，有几解，所求等腰直角三角形就有几个。解：如图，设a(x,y)，则x=-，1+a2k2由条件知bcac，同理设b(x,y)，以-代替k可得x=kk2+a2设a、b分别在y轴的左、右侧，设ca的斜率为k，则k0，直线ca的方程为：y=kx+1,代入椭圆方程x2+a2y2=a2得，x2+a2(kx+1)2=a2，整理得(1+a2k2)x2+2a2kx=02a2k11112a2k2221+，ac=bc，而ac=x1

8、1+k2，bc=x212k1+k2=1+，2a2k2a2k121+a2k2k2+a2kx+b整理得k3-a2k2+a2k-1=0，即(k-1)k2-(a2-1)k+1=0k=1或k2-(a2-1)k+1=0(*)由此可见，这样的等腰直角三角形一定存在（k=1时）又当方程（*）的d=(a2-1)2-40时，还存在其他两个等腰直角三角形。a23(a1)，即a3时，共有三个不同的等腰直角三角形当d=0，当方程（*）的两个k均为1，只有k=1的一个等腰直角三角形总之，这样的等腰直角三角形一定存在，当13时，最多有3个。【例4】记函数f(x)的定义域为d，若存在xd，使f(x)=x成立，则称以（x,x）

9、为00000坐标的点为函数f(x)图像上的不动点。（1）若函数f(x)=3x+a图像上有两个关于原点对称的不动点，求a,b应满足的条件；x+b（2）在（1）条件下，若a=8，记函数f(x)图像上的两个不动点分别为a，a，p为函数f(x)图像上的另一点，且其纵坐标y3，求点p到直线aa的距离的最小值及取得最小p值时p的坐标；（3）下述命题“若定义在r上奇函数f(x)图像上存在有限个不动点，则不动点有奇数个”是否正确？若正确，请给予证明；若不正确，请举一反例，对于偶函数又要有怎样的结论？解：（1）若点(x,x)是不动点，则有00f(x)=3x0+a=x，整理得：000x2+(b-3)x-a=000

10、根据题意知方程有两个根，且这两个根绝对值相等，符号相反。由韦达定理得：-a0f(x)=3+a-9，a9x+3综上，函数f(x)=3x+a图像上有两个关于原点对称的不动点的条件是：b=3,a0,且x+ba9（2）在（1）的条件下，若a=8时，f(x)=3x+8x+3由f(x)=x=x，解之得：a(22,22)，a(-22,-22)3x+8x+3设点p(x,y)为f(x)图像上的另一点，则y3，即3x+83x-3x+3直线aa的方程为y=x，又设点p(x,y)到直线aa的距离为d，则d=x-y2=12x-3x+8x+3=1x2+82x+31x2-8=-2x+3=12(-x-3)+11+6(2+6)

11、=42-x-32所以，当且仅当-x-3=1-x-3，即x=-4时，上式取等号，此时，x=-4,y=4，故p(-4,4)（3）命题正确qf(x)是奇函数，f(-x)=-f(x)又qxr，x=0时，f(x)=0，0是奇函数的不动点。设c0是奇函数f(x)的一个不动点，则f(c)=c，由f(-c)=-f(c)=-c，-c也是奇函数f(x)的一个不动点，且-cc，这说明奇函数f(x)的非零不动点如果存在，则必成对出现，故奇函数的不动点数目是奇数个。对于偶函数没有相应的结论，即：“定义在r上的偶函数f(x)的不动的个数为偶数个”。此命题不成立，例如f(x)=cosx。由图像可知cosx=x只有一个解。即

12、f(x)=cosx只有一个不动点。【例5】规定cm=xx(x-1)l(x-m+1)m!，其中xr，m是正整数，且c0=1，这是组合数cmxn（n,m是正整数，且mn）的一种推广。（1）求c6的值；-15（2）组合数的两个性质：cm=cn-m；cm+cm-1=cmnnnnn+1是否都能推广到cm(xr,m是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证n明；若不能，则说明理由；已知组合数cm是正整数，证明：当xz，m是正整数时，cmznx5!cm+cm-1=x(x-1)l(x-m+1)m!(m-1)!m!m!解：（1）c6=(-15)(-16)l(-19)=-c15=-11628-1519（

13、2）性质不能推广，例如当x=2时，c1有定义，但c2它的推广形式是cm+cm-1=cm，xr，m是正整数，事实上xxx+1当m=1时，有c1+c0=x+1=c1，xxx+1当m2时，x(x-1)l(x-m+2)+xx=x(x-1)l(x-m+2)(x-m+1+1)(m-1)!m=x(x-1)l(x-m+2)(x+1)=cmx+1（3）证明：当xm时，组合数cmzx当0xm时，cm=0zx当x0，cm=x(x-1)l(x-m+1)x2-12无意义；性质能推广，=(-1)m(-x+m-1)l(-x+1)(-x)m!=(-1)mcm-x+m-1z能力演练1、在dabc中，sinasinb是ab成立的

14、（）a、充分非必要条件b、必要非充分条件c、充要条件d、既不充分也不必要条件2、幂函数f(x)与g(x)的图像分别过点（3，9）与（8，32），则不等式f(x)g(x)的解集是（）a、(-,01,+)b、(-,1c、(-1,1d、(-1,01,+)，n=log3、已知aa2b0，m=logbbaaab，p=logb，g=loga，则m、n、p、aba、xx0或x-ab、x-xac、x0xad、x-ax-a或0xag的大小关系是（）a、gnmpb、nmpgc、ngmpd、ngpm4、不等式a2-x20)的解集是（）4a52455、已知定点a(-2,3)，f是椭圆+x2y21612=1的右焦点，点

15、m在椭圆上移动，则当7、若(x2-)n的展开式中含x的项为第6项，设(1-x+2x2)n=a+ax+ax2+l+ax2n，xam+2mf取最小值时，点m的坐标是_6、如图12-7，abc-abc是直三棱柱，bca=90，d、f分别是ab、ac的中111111111点，若bc=ca=cc，则bd与af所成角的余弦值是_11110122n则a+a+a+l+a=_1232n8、四面体abcd中，ad=2，其余的各棱长均为1，那么互相垂直的面有哪几对？并证明你的结论。9、如图12-8，已知动直线l经过点p(4,0)，交抛物线y2=4x于a、b两点，o为原点。（1）求证：aobo；（2）是否存在垂直于x

16、轴的直线l被以ap为直径的圆截得的弦长恒为定恒？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由。10、设0a1，数列a是首项为a，公比为-a的等比数列，设b=alga，是否存nnnn在自然数m，使得对任意的自然数n，都有bb？证明你的结论。nm参考答案：1、c2、a3、c4、c5、（23,3）6、307、255108、平面abd平面acd，取ad中点m，可证bmc=909、（1）当l不垂直于x轴时，设l的方程为y=k(x-4)，y=k(x-4)由y2=4x，得ky2-4y-16k=0，kxx=16xx+yy=0，1616设a(x,y)，b(x,y)，yy=-16k=-16，112212(yy)216212121212y1x1yx2=-1即k2aokbo=-1，aobo当lx轴时，qx=x，y=-y，k1212aokbo=y1x1yx22=-y24x41=-1=-=-1aobox2x2x111，其中表示不超过10、存在，只要取m=21111-a21-a21-a