项目五：表决器的设计与制作

1、项目五：表决器的设计与制作授课班级电信s08-1、2电信s08-3、4上课时间18课时上课地点多媒体教室电子技术实训室教学目的记住逻辑代数的基本定律和常用公式会用公式法和卡诺图法化简逻辑函数会识别、选购常用电路元、器件，掌握常用电路元器件的检测方法。掌握逻辑门电路的逻辑功能与主要参数的测试和使用方法能合理利用门电路设计表决器教学目标分析技能目标认知目标其它目标记住逻辑代数的基本定律和常用公式会用公式法和卡诺图法化简逻辑函数能正确检测门电路的好坏，测量门电路的逻辑功能。掌握常用集成电路芯片的名称、代号、类型、用途掌握常用芯片的检测方法掌握逻辑函数的化简方法学会利用与非门组成其他门电路并测试其基本

2、功能。培养自学能力。规范安全操作能力。培养学生团队精神与协作能力，使学生具有一定的岗位意识及岗位适应能力。培养文献检索、资料查找与阅读能力。重点、难点及解决方法重点：记住8种基本的逻辑符号和逻辑代数的基本定律、常用公式。会用公式和卡诺图化简逻辑函数。掌握ttl集成逻辑门的逻辑功能与主要参数的测试和使用方法难点：公式化简法和卡诺图化简法； ttl集成逻辑门的逻辑功能与主要参数的测试和使用方法采用教师讲解、学生练习、讨论、实践操作等方式加强学生能力培养。参考资料数字电子技术基础华成英主编 高等教育出版社2001年数字电子技术基础周良权主编 高等教育出版社1993年电子技术基础 康华光主编 高等教育

3、出版社1999年教学过程设计步骤教学内容教学方法教学手段学生活动告知（教学内容、目的）告诉学生本堂课的主要要解决的问题和要达到的目标。讲授设问课件板书引入（任务项目）提问引入任务。演示提问课件板书问题回答学习情境1逻辑代数的基础知识讲述示范板书演示问题回答讨论演示训练11.测试与非门74ls00、74ls20的逻辑功能2.用与非门实现其他门电路的逻辑功能3.公式化简法和卡诺图化简法个别指导集中讲授典型问题剖析（成功案例与不足案例）典型问题剖析（成功案例与不足案例）操练讨论归纳（知识和能力）1.记住8种基本的逻辑符号。2.记住逻辑代数的常用公式和基本定理及三条规则。3.明确化简的意义，掌握化简的

4、两种重要方法。讲授或在教师引导下先由学生总结，教师再归纳课件板书小组讨论代表发言学习情境2逻辑门电路讲述示范板书演示问题回答讨论演示训练21.测试八进制加法计数器和减法计数器的逻辑功能2.测试六、十进制加法计数器逻辑功能并译码显示。提问学生回答，集中讲授典型问题剖析典型问题剖析问题回答讨论归纳（知识和能力）1.熟悉门电路的逻辑功能；2.学会利用与非门组成其他门电路并测试其基本功能；讲授或在教师引导下先由学生总结，教师再归纳课件板书小组讨论代表发言学习情境3表决器的设计与制作讲述示范板书演示问题回答讨论演示训练3表决器的设计与制作与调试个别指导集中讲授典型问题剖析（成功案例与不足案例）典型问题剖

5、析（成功案例与不足案例）操练讨论归纳（知识和能力）1.分析逻辑门电路的逻辑功能2.用逻辑门电路的实现表决器的设计。讲授或在教师引导下先由学生总结，教师再归纳课件板书小组讨论代表发言作业要求学生完成数字电子技术（邱丽芳主编）p34/2.1p36/2.10反馈教学效果良好。教学参考资料1. 数字电路基础本章介绍有关数字电路的基本概念。首先扼要介绍数字电路的分类、特点、应用，然后讲述十进制、二进制、八进制、十六进制数的运算规则及它们相互间的转换方法，最后介绍了bcd码、格雷(gray)码、校验码。1.1 概 述1.1.1数字信号和数字电路电子电路中的信号可分为两类：一类是指时间上和数值上都连续变化的

6、信号，称为模拟信号，例如正弦交流信号，直流信号，电视的图像、伴音信号以及模拟温度、压力等物理量变化的信号等，如图1.1（a）所示。用来生产、传输、处理模拟信号的电路称为模拟电路。另一类是指时间上和数值上都不连续变化的离散信号，称为数字信号，例如汽车司机在运行速度表上的读数，工厂产品数量的统计等信号，如图1.1（b）所示。用来生产、传输、处理数字信号的电路称为数字电路。（a）模拟信号 （b）数字信号图1.1 模拟信号和数字信号数字电路的工作信号是不连续变化的数字信号，所以在数字电路中工作的半导体管多数工作在开关状态，即工作时在饱和区和截止区之间转换，而放大区只是其过渡状态。数字电路重点研究电路的

7、输入信号和输出信号之间的逻辑关系，所以在这种电路中就不能采用模拟电路的分析方法，而是采用逻辑代数来作为分析工具。数字电路的研究往往可分为两类：一类是对已有电路逻辑功能的分析，叫逻辑分析；另一种是按一定逻辑功能要求设计出符合功能条件的电路，叫逻辑设计。在数字电路中，常用来表示电路功能的方法有逻辑符号图、真值表、逻辑表达式、波形图等。1.1.2 数字电路的分类数字电路按其组成结构不同分为分立元件和集成电路两类。其中，集成电路按集成度大小分为小规模集成电路(ssi集成度为l10门片，如：逻辑门电路、集成触发器等)、中规模集成电路(msi集成度为10100门片，如：计数器、译码器等逻辑部件)、大规模集

8、成电路(lsi集成度为1001000门片，如：中央控制器、存储器等数字逻辑系统)和超大规模集成电路(vlsi集成度为大于1000门片，如：各种型号的单片机等高集成度数字逻辑系统等)。按半导体的导电类型不同分为双极型和单极型电路。其中双极型电路有dtl、ttl、ecl等；单极型电路有nmos、pmos、cmos等。按电路逻辑功能的特点分为组合逻辑电路和时序逻辑电路两大类。1.1.3 数字电路的优点及应用与模拟电路相比，数字电路主要有如下优点：（1）便于高度集成化。由于数字电路采用二进制，凡具有两个状态的电路都可用来表示0和1两个数，因此，基本单元电路的结构简单，允许电路参数有较大的离散性，有利于

9、将众多的基本单元电路集成在同一块硅片上和进行批量生产。（2）工作可靠性高、抗干扰能力强。数字信号是用1和0来表示信号的有和无，数字电路辨别信号的有和无是很容易做到的，从而大大提高了电路的工作可靠性。同时，数字信号不易受到噪声干扰。因此，它的抗干扰能力很强。（3）数字信息便于长期保存。借助某种介质(如磁盘、光盘等)可将数字信息长期保存下来。（4）数字集成电路产品系列多、通用性强、成本低。（5）保密性好。数字信息容易进行加密处理，不易被窃取。数字电路的应用很广泛，早期主要应用在下列几方面：（1）数控：各种生产过程的自动数字控制。如温度、压力的自动控制，数控机床的控制等。（2）数字化测量：早期一直使

10、用的依赖模拟电子技术的指针式测量仪表，现在已由数字式仪表所代替，如数字频率计、数字万用表、数字秤、数字钟等。（3）电子数字计算机：20世纪30年代前后，人们开始将电子技术应用于计算工具，开发电子计算机，但最早用真空管，即用饱和一截止两状态的数字电路形式，从20世纪50年代开始，数字电子技术逐渐进入计算机以致完全占领了电子计算机领域。当今人们所熟悉的电子计算机，几乎全都是利用数字电路的计算机了。（4）数字通信：进入21世纪以后，“数字化”、“信息”、“数字信息”这些名词已家喻户晓，它标志着数字电子技术还将在更深层次上进入生产、生活的各个领域。1.2 数制与码制1.2.1 常用数制在日常生活中，人

11、们用数字量表示事物的多少时，仅用一位数码往往不够用，所以经常需要用进位计数的方法组成多位数码使用。我们把多位数码中每一位的构成方法以及从低位向高位的进位规则称为计数进位制，简称数制。在数字电路中常用的计数进位制除了十进制以外，还有二进制、八进制、十六进制。1十进制数十进制是以10为基数的计数体制，它是人们在日常生活和工作中常用的进位计数制。组成十进制数的符号有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共十个符号，我们称这些符号为数码。在十进制中，每一位可以是09十个数码中的一个，最高数码为9，超过9就必须用多位数来表示，计数的基数为10，又称权为10。其中低位和相邻高位之间的进位关系是“逢十进一”

12、。十进制数中，数码的位置不同，所表示的值就不相同。如： 234.56=2102+3101+4100+510-1+6l0-2一般地说，任意十进制数可表示为： （1.1）式（1.1）称为十进制数（n）10的权的展开式。ki是第i位的系数，它可以是09这十个数码中的任何一个。i表示该数码所处的位置，位置不同，它所表示的值不同；n和m为正整数，n表示该十进制数整数部分位数，m表示小数部分的位数。2二进制数二进制是数字电路中应用最广的计数制。它是以2为计数基数，每位只有0和1两个数码，低位和相邻高位间的进位关系是“逢二进一”。任何一个二进制数的权展开式为： （1.2）式（1.2）中ki取0或1两个数码，

13、2i为第i位的权值，i包含从n-1到0的所有正整数和从-1到-m的所有负整数。如：(1101.11)2= l23+l22+021+120+l2-1+l2-2=(13.75)103八进制数和十六进制数八进制数的进位基数为8，它有07八个数码，各位数的权值是8的幂。低位数和相邻高位数之间的进位关系是“逢八进一”。任何一个八进制数均可展开为： （1.3）式（1.3）中ki取07中的某一数码，8i为第i位的权值。如：(123.4)8= l82+281+380+48-1=64+16+3+0.5=(83.5)10同理，十六进制是以16为基数的计数体制。它有09、a、b、c、d、e、f十六个数码(十进位数的

14、1015分别用af六个英文字母表示)。低位数与相邻高位数之间的进位关系是“逢十六进一”。任何一个十六进制数可表示为： (1.4）式（1.4）中ki取取0f中的某一数码，16i为第i位的权值。0.625如： (4b.af)16=4161+11160+1016-1+1516-2=(75.68359375)10表1.1列出了二进制、八进制、十进制和十六进制不同数制的对照关系。表1.1十进制、二进制、八进制、十六进制对照表十进制二进制八进制十六进制十进制二进制八进制十六进制000000081000108100011191001119200102210101012a300113311101113b401

15、004412110014c501015513110115d601106614111016e701117715111117f1.2.2 不同数制间的转换1. 2n进制数转换成十进制数二进制、八进制、十六进制转换成十进制时，只要将它们按权展开，求出各加权系数的和，便得到相应进制数对应的十进制数。【例1.1】(11010.101)2 =124+123+121+12-1+12-3 =16+8+2+0.5+0.125 =(26.625)10 (125.46)8 =182+281+580+48-1+68-2 =64+16+5+0.5+0.09375 =(85.59375)10 (4cf)16=4162+1

16、2161+15160 =(1231)10 2十进制数转换成2n进制数十进制数分整数部分和小数部分，因此，需将整数和小数分别进行转换，再将转换结果按顺序排列起来，就得到该十进制数转换的完整结果。（1）整数部分的转换：采用除基取余法。所谓除基取余法即用目的数制的基数去除十进制整数，第一次所得的余数为目的数的最低位，把得到的商再除以该基数，所得的余数为目的数的次低位，依次类推，直至商为0时，所得的余数为目的数的最高位。（2）小数部分的转换：采用乘基取整法，即用该小数去乘目的数制的基数，第一次乘得结果的整数部分为目的数的最高位(小数部分的最高位)，将乘得结果的小数部分再乘基数，所得结果的整数部分作为目

17、的数的第二位，依次类推，直至小数部分为0或达到要求精度为止。 【例1.2】把(37)10转换成二进制数、八进制数、十六进制数。余数2371最低位2180291240220211最高位0 余数83758440 余数1637516220(37)10=(100101)2 (37)10=(45)8 (37)10=(25)16【例1.3】把(0.675)10转换成二进制数、八进制数、十六进制数均精确到小数后四位。二进制数取整八进制数取整十六进制数取整0.6752=1.3501最高位0.6758=5.40050.67516=10.800100.3502=0.70000.4008=3.20030.80016

18、=12.800120.7002=1.40010.2008=1.60010.80016=12.800120.4002=0.80000.6008=4.80040.80016=12.800120.8002=1.60010.8008=6.40060.80016=12.80012(0.675)10=(0.1010)2 (0.675)10=(0.5315)8 (0.675)10=(0.accd)16注意：在将十进制小数转换成二进制小数时，一般保留4位小数，第5位小数则采取“零舍一入”的原则。由此可知，十进制小数有时不能用二进制小数精确地表示出来，这时只能根据精度要求，求到一定的位数，近似地表示。在将十进制

19、小数转换成八进制小数时，若保留4位小数则第5位小数采取“三舍四入”，在将十进制小数转换成十六进制小数时，若保留4位小数则第5位小数采取“七舍八入”。十进制数转换成二进制数也可以采用下面拆分法，把一个十进制数拆成2n数的和值，再写出相应的二进制数。【例1.4】把(107.794)10转换成二进制数，精确到小数后四位。(107.794)10=26+25+23+21+20+2-1+2-2+0.044=(1101011.1100)2说明：由于0.044小于2-4=0.0625故省略去。3. 2n进制数之间的转换（1）二进制数与八进制数之间转换：由于八进制数的基数8=23，所以每位八进制数用三位二进制数

20、构成。若二进制数转换为八进制数，整数部分从低位开始，每三位二进制数为一组，最后不足三位的，则在高位加0补足三位为止；小数点后的二进制数则从高位开始，每三位二进制数为一组，最后不足三位的，则在低位加0补足三位，然后用对应的八进制数来代替，再按顺序排列写出对应的八进制数。【例1.5】试将二进制数(1010111100.10111011)2转换成八进制数。001010111100.1011101101274.566所以 (1010111100.10111011)2=(1274.566)8将一个八进制数转换成二进制数时，只要把每位八进制数用三位二进制数来代替，再按原来的顺序排列起来，便得到了相应的二进

21、制数。【例1.6】试将八进制数(7425.631)8转换成二进制数。7425.631111100010101.110011001所以 (7425.631)8=(111100010101.110011001)2（2）二进制数与十六进制数之间的转换：由于十六进制数的基数16=24，故每位十六进制数用4位二进制数构成。若二进制数转换为十六进制数，整数部分从低位开始，每4位二进制数为一组，最后不足4位的，则在高位加0补足4位为止；小数部分从高位开始，每4位二进制数为一组，最后不足4位的，在低位加0补足4位，然后用对应的十六进制数来代替，再按顺序写出对应的十六进制数。【例1.7】试将二进制数(11001

22、01011100.011011011)2转换成十六进制数。0001100101011100.011011011000195c.6d8所以 (1100101011100.011011001)2=(195c.6d8)16将一个十六进制数转换成二进制数时，只要把每位十六进制数用四位二进制数来代替，再按原来的顺序排列起来便得到了相应的二进制数。【例1.8】试将十六进制数(3ab4.6fd)16转换成二进制数。3ab4.6fd0011101010110100.011011111101所以 (3ab4.6fd)16=(11101010110100.011011111101)21.2.3 码制数码不仅可以表

23、示数量的大小，也可以表示不同的事物。当表示事物时它们没有表示数量的含义，只表示不同事物的代号而已，这时这些数码称为代码。在数字系统中，由0和1组成的二进制数码不仅可以表示数值的大小，还可以表示特定的信息。1二十进制代码用4位二进制数组成一组代码来表示09十个数字，这种代码称为二十进制代码(binary coded decimal)，简称bcd码。由于十进制数有十个不同的数码，因此，需用4位二进制数来表示。而4位二进制代码有16种不同的组合，从中取出10种组合来表示09十个数可有多种方案，所以二一十进制代码也有多种方案。表1.2给出了几种常用的bcd码。表1.2常用的bcd码十进制整数有权码无权

24、码8421码5421码2421码余3码00000000000000011100010001000101002001000100010010130011001100110110401000100010001115010110001011100060110100111001001701111010110110108100010111110101191001110011111100（1） 8421码8421码是bcd代码中最常用的一种代码。该码共有4位，其位权值从高位到低位分别为8、4、2、1，故称842l码。8421码与十进制数之间的关系是4位二进制代码表示l位十进制数，它属于有权码，每个代码的各

25、位数值之和就是它表示的十进制数。如8421 bcd码0110按权展开式为08+14+12+01=6所以，8421bcd码0110表示十进制数6。（2）5421码与2421码5421码与2421码它们也是有权码，该码从高位到低位的权值分别为5、4、2、1和2、4、2、1，也是4位二进制代码表示1位十进制数，每组代码各位加权系数的和为其表示的十进制数。如5421码1011按权展开式为15+04+12+11=8所以，5421bcd码1011表示十进制数8。2421码中0和9、1和8、2和7、3和6、4和5互为反码，即两码对应位取值相反。和2421(b)码的编码状态不完全相同。如2421码1101按权

26、展开式为12+14+02+11=7所以，2421bcd码1101表示十进制数7。（3）余3码这种代码没有固定的权值，称为无权码。余3码的编码规则与8421码不同，如果把每一个余3码看作二进制数，则它的数值要比它所表示的十进制数码多3，故而将这种代码称为余3码。在余3码中，0和9、l和8、2和7、3和6、4和5也互为反码。2格雷码格雷码(gray)是一种无权码，其特点是任意两组相邻代码之间只有一位不同，其余各位都相同，而0和最大数（2n-1）之间也仅有一位不同通常又叫格雷循环码或反射码。用格雷码计数时，每次状态更新仅有一位代码发生变化，格雷码的这个特性使它在形成和传输过程中引起的误差较小，或在出

27、现误差时容易发现并进行校正。表1.3为4位格雷码的编码表。格雷码可以由自然二进制码转换而来。转换的方法是：从最低位开始相邻两位二进数码相加，但不进位，结果作为格雷码的最低位，依次类推，直到最高位加完，格雷码的最高位与二进制码的最高位相同例如(11)10=(1011)2=(1110)g，(25)10=(11001)2=(10101)g。表1.3 4位格雷码的编码表十进制数二进制码格雷码十进制数二进制码格雷码000000000810001100100010001910011101200100011101010111130011001011101111104010001101211001010501

28、0101111311011011601100101141110100170111010015111110003校验码在数字系统中采用大量的二进制数码组表示各种不同的特定的信息。当数码位数较多时较难反映出该数码组是否出错，因此希望有出错概率较少，或较易发现出错的代码，奇偶校验码是用来检验二进制信息在传送过程中出现错误的代码。表1.4带奇偶校验位的8421码十进制数8421奇校验码8421偶校验码000001000001000100001120010000101300111001104010000100150101101010601101011007011100111181000010001910

29、01110010奇偶校验码由两部分组成：一部分是需要传送的信息本身，为位数不限的二进制代码；另一部分为奇偶校验位，它的作用是使信息码和校验位中1的总数为奇数或偶数。1的总数为奇数的称为奇校验；1的总数为偶数的称为偶校验。如表1.4所示为带奇偶校验位的8421码。表中前4位为09十进制数的8421码，第5位为校验位。它可以是“1”也可以是“0”，究竟是取“1”还是取“0”就看加上这位以后，使总的5位二进制代码中“1”的个数是奇数，还是偶数，如果是奇数，则最后一位是奇校验位，否则是偶校验位。所以最后一位校验位究竟加“1”还是加“0”视需要而定。校验机制：如奇校验码在传送过程中多一个1或少一个1时，

30、就出现了1的个数为偶数，用奇校验电路就可发现信息在传送过程中出现的错误。同理，偶校验码在传送过程中出现的错误也会很容易被发现。小 结1.本章主要介绍了数字信号与数字电路的有关基本知识以及优点与应用，它们是数字电路分析的基础。2.在计数制中，主要讲了二、八、十、十六进制的计数规则及相互转换的方法。其中二十进制的相互转换分整数和小数两部分进行，采用除基取余法和乘基取整法。2n进制的相互转换是根据相应进制的基数来确定转换的位数进行互换的。3.bcd码是数字系统中最常用的代码，常用的bcd码有8421码、5421码、2421码、余3码。另外还介绍了格雷码、奇偶校验码。各种代码都有自己的编码规律和特点。

31、8421码、2421码属于有权码，余3码、格雷码属于无权码。2. 逻辑代数基础逻辑代数是分析和研究数字系统逻辑设计的基本工具。本章在介绍逻辑代数的基本概念、逻辑代数基本定律及重要规则的基础上，再介绍逻辑函数的常用表示方式（真值表、逻辑表达式、逻辑电路图、卡诺图等），最后重点介绍了逻辑函数的代数化简法和卡诺图化简法。2.1 概 述在数字电路中，二进制码的0和1，不仅表示数量的大小，而且可以表示两种不同的逻辑状态。逻辑代数又叫布尔代数，它是19世纪英国数学家乔治布尔（boole）提出，早期用来描述客观事物逻辑关系的数学方法，后来将其应用于继电器开关电路的分析和设计上，研究各种开关网络，所以也称开关

32、代数。后来人们发现它完全可以用来研究逻辑电路，因此叫逻辑代数。它作为一个数学工具，是分析和设计逻辑电路的理论基础。逻辑代数和普通代数一样，也是用字母表示变量，用代数式描述客观事物间的关系。但是逻辑代数是描述客观事物间的逻辑关系，变量的取值只能是0或l，没有第三种可能，而且这时的0和1已不再表示具体的数量大小，而只是表示两种不同的逻辑状态：“是”和“非”、“开”和“关”、“高”和“低”、“有”和“无”、“真”和“假”等。由于逻辑代数中逻辑变量取值简单，其运算法则也就简单。然而，它不同于算术运算。因此，逻辑代数有其自身独立的规律和运算法则，而不同于普通代数。我们在学习和运用逻辑代数的过程中，应注意

33、加以区别。数字电路在早期又称为开关电路，因为它主要是由一系列开关元件组成，具有相反的二状态特征，所以特别适于用逻辑代数来进行分析和研究，这就是逻辑代数广泛应用于数字电路的原因。2.2 逻辑函数及其表示法2.2.1 基本逻辑函数及运算数字系统中逻辑电路品种繁多，功能各异，但它们的逻辑关系均可用三种基本逻辑运算综合而成。这三种基本逻辑运算是：与运算、或运算、非运算。1. 与运算（and）与运算表示这样一种逻辑关系：只有当决定某一事件发生的所有条件都具备时，这一事件才会发生，这种因果关系称为“与逻辑”。在图2.1所示的电路中，只有当两个开关a和b均闭合时，灯f才会亮，因此灯f和开关a、b之间的关系是

34、与逻辑关系。逻辑代数中，与逻辑关系用与运算描述，其运算符号为“”，上述逻辑关系可表示为：f=ab （2.1）这里a、b是逻辑变量，f表示运算结果。式中的“”表示逻辑乘，在不需特别强调的地方常将“”号省掉，写成f=ab。若a、b均为1，则f为1；否则，f为0。这里灯f与开关a、b的关系如表2.1所示，该表格称为真值表。表2.1与逻辑真值表abf000010100111 图2.1 串联开关电路 图2.2 与门符号与运算的运算法则为：00=0 10=0 01=0 11=1数字系统中，实现与运算的电路称为与门，其逻辑符号如图2.2所示。对于多变量的逻辑乘可写成:f=abc （2.2）2.或运算（or）

35、或运算表示这样一种逻辑关系：决定某一事件发生的所有条件中，只要有一个或一个以上的条件具备时，这一事件就会发生，这种因果关系称为“或逻辑”。在图2.3所示电路中，开关a和b并联控制灯f。当开关a、b中有一个闭合或者两个均闭合时，灯f即亮，因此，灯f和开关a、b之间的关系是或逻辑关系。逻辑代数中，或逻辑关系用或运算描述，其运算符号为“+”。上述逻辑关系可以表示为：f=a+b （2.3）f是a、b的逻辑加（假定开关断开用0表示，开关闭合用l表示；灯灭用0表示，灯亮用1表示。），a、b中只要有一个为1，则f为1；仅当a、b均为0时，f才为0。灯f与开关a、b的关系也可用表2.3表示。表2.2或逻辑真值

36、表abf000011101111 图2.3 并联开关电路 图2.4 或门符号或运算的运算法则为：0+0=0 1+0=1 0+1=1 1+1=1在数字系统中，实现或运算的电路称为或门，其逻辑符号如图2.4所示。对于多变量的逻辑乘可写成:f=a+b+c+ （2.4）3.非运算（not）非逻辑的输出总是输入的取反，即决定某一事件发生的条件具备了，结果却不发生；而此条件不具备时，结果一定发生。在图2.5所示的电路中，开关a闭合，灯却不亮；a断开时，灯才亮。因此，灯f与开关a之间的关系是非逻辑关系。逻辑代数中，非逻辑关系用非运算描述，其运算符号为“，上述逻辑关系可表示为：若a为0，则f为1；反之，若a为

37、1，则f为0。此时灯f与开关a的关系见表2.3。上述逻辑关系可以表示为： （2.5）表2.3非逻辑真值表af0110 图2.5 开关与灯并联电路 图2.6 非门符号非运算的运算法则为： 数字系统中，实现非运算的电路称为非门。由于非门的输出信号和输入的反相，故“非门”又称为“反相器”。其逻辑符号如图2.6所示。非门是只有一个输入端的逻辑门。2.2.2 几种常用的逻辑运算前面介绍的与、或、非三种逻辑运算是逻辑代数中最基本的逻辑运算，由这些基本运算可以组成各种复杂的逻辑运算。1.与非运算、或非运算、与或非运算与非运算为先与运算后非运算；或非运算为先或运算后非运算；与或非运算为先与运算后或运算再进行非

38、运算。实现这些逻辑运算的电路分别为与非门、或非门和与或非门。如输入逻辑变量为a、b、c、d，输出逻辑函数为f时，则相应的逻辑表达式为：与非运算或非运算与或非运算 （2.6）2.异或运算和同或运算异或运算和同或运算都是二变量逻辑运算。设输入逻辑变量为a、b，输出逻辑函数为f。异或运算的逻辑关系为：当输入a、b相异时，输出f为l；当输入a、b相同时，输出f为0。异或运算逻辑表达式为: （2.7）同或运算的逻辑关系为：当输入a、b相同时，输出f为1；输入a、b相异时，输出f为0。同或运算逻辑表达式为： （2.8）它们其真值表如表2.4所示。表2.4 异或逻辑、同或逻辑真值表异或逻辑同或逻辑abfab

39、f000001011010101100110111几种常用逻辑运算的逻辑关系与逻辑符号如表2.5所示。表2.5 常用逻辑运算的逻辑关系与逻辑符号逻辑运算逻辑表达式国标符号曾用符号美国符号与非或非与或非异或同或2.2.3逻辑函数的建立及其表示方法逻辑代数是按一定逻辑规律进行运算的代数。逻辑代数中的0和1不是表示数量的0和1，而是表示事物的两个方面。逻辑代数的某些运算规律与普通代数的某些运算规律在形式上虽有相似之处，但含义却是完全不同的。逻辑代数的三种基本运算（与、或、非）可以由相应的逻辑电路实现。各种复杂逻辑电路的连接关系也可以用逻辑函数表示出来。逻辑代数广泛应用于数字电路的分析与设计中。1.逻

40、辑函数的建立三种基本运算，在实际的逻辑电路中很少单独出现，而经常遇到的是这几种运算的组合。在图2.7所示的控制楼梯照明开关电路中，两个单刀双掷开关a和b，a表示楼下开关，b表示楼上开关。两个开关a、b的上点a、b（以“1”表示）及下点c、d（以“0”表示）分别用导线连接起来。当a、b两个开关都扳上或者都扳下时，灯f才会亮（即f为1）；当一个扳上而另一个扳下时，灯就会灭（即f为0），即a、b均为1或均为0时，f为1；其他情况下，f为0。灯f与开关a、b的关系如表2.6所示，可以表示灯亮的逻辑函数式为：表2.6 图2.7电路真值表abf001010100111图2.7 楼道照明开关电路上式中，当逻

41、辑变量a、b的取值确定后，逻辑变量f的值就完全确定了，f是a、b的函数。a、b叫做输入逻辑变量，f叫做输出逻辑变量。一般地说，若输入逻辑变量a，b，c，的取值确定以后，输出逻辑变量f的值也惟一地确定了，我们就称f是a，b，c，的逻辑函数，写成：f=f（a，b，c，）在逻辑代数中，不管是变量还是函数，它们都只有两个取值，用0和1表示。因为决定事件是否发生的条件相当于变量，尽管可能很多，但是对于任何一个条件来说，都只有具备和不具备两种可能；而事件相当于函数也只有发生和不发生两种情况，0和1就是表示这两种可能的符号，没有数量的含义。函数和变量之间的关系是由或、与、非三种基本运算决定的。2.逻辑函数的

42、表示方法任何一个逻辑函数均可以用逻辑函数表达式、真值表和逻辑图表示。它们各有特点，又相互联系，还可以相互转换。（1）逻辑表达式逻辑函数式是用与、或、非等基本逻辑运算来表示输入变量和输出函数间因果关系的逻辑函数式。逻辑表达式描述了逻辑变量与逻辑函数之间的逻辑关系，它是实际逻辑问题的抽象表达。写标准与或逻辑式的方法是：1）把任意一组变量取值中的1代以原变量，0代以反变量，由此得到一组变量的与组合，如a，b，c，三个变量的取值为110时，则代换后得到的变量与组合为abc。2）把逻辑函数值为1所对应的各变量的与组合进行逻辑加，便得到标准的与或逻辑式。逻辑表达式的书写要注意：1）进行非运算可不加括号。与

43、运算符一般可省略。2）在一个表达式中，如果既有与运算，又有或运算，则按先与后或的规则省去括号。如：（ab）+（cd）可写成ab+cd，但（a+b）（c+d）不能省括号而写成a+bc+d。3）由于与运算和或运算均满足结合律，因此（a+b）+c或者a+（b+c）可用a+b+c代替，（ab）c或a（bc）可用abc代替。（2）真值表真值表是根据给定的逻辑问题，把输入逻辑变量各种可能取值的组合和对应的输出函数值排列成的表格。它表示了逻辑函数与逻辑变量各种取值之间的一一对应关系。逻辑函数的真值表具有惟一性。若两个逻辑函数具有相同的真值表，则两个逻辑函数必然相等。由于一个逻辑变量只有0和1两种可能的取值，

44、故n个逻辑变量一共有2n种可能的取值组合。真值表由两部分组成，左边一栏列出变量的所有取值组合，为避免遗漏，通常各变量取值组合按二进制数据顺序给出；右边一栏为逻辑函数值。用真值表表示逻辑函数的优点是直观、明了，可直接看出逻辑函数值与变量取值之间的关系，所以在许多数字集成电路手册中，常常都以真值表的形式给出该器件的逻辑功能，还有把一个实际逻辑问题抽象成为数学问题时，使用真值表是最方便的，有利于数字电路的逻辑设计。真值表的不足在于：当变量比较多时显得过于繁琐，而且也无法利用逻辑代数中的公式和定理进行运算。逻辑函数表达式和真值表是逻辑函数的两种不同表示方法，可以互相转换。如果已知逻辑表达式，只要将变量

45、的各种可能取值代入表达式进行运算，求出相应的函数值，再把变量值和函数值一一对应列成表格，就可以得到真值表。反之，由真值表也很容易得到逻辑表达式。只要把真值表中函数值等于1的变量组合写出来，变量值是1的写成原变量，是0的写成反变量，这样对应于函数值为1的每一个变量组合就可以写成一个乘积项，只要把这些乘积项相加，就得到相应的逻辑表达式了。【例2.1】有一个3位二进制数码，当输入有偶数个1时，输出为1，不然输出为0。试分别写出输出函数的真值表和逻辑表达式。解：3位二进制数码的3个输入变量，分别用a、b、c表示，它有8（23）种可能的取值组合，变量的取值按二进制数由小到大的顺序排列。根据题意可列出真值

46、表（见表27）。表2.7 【例2.1】真值表abcf00010010010001111000101111011110由真值表可知，有四种情况函数值为1。如在a=0，b=0，c=0时，有，因而f=1。另三种情况按同理列出，分别为、。把它们相加即得到函数表达式：（3）逻辑图1）由逻辑函数作逻辑图。逻辑图是用基本逻辑门和复合逻辑门的逻辑符号组成的对应于某一逻辑功能的电路图。根据逻辑函数式画逻辑图时，只要把逻辑函数式中各逻辑运算用相应门电路的逻辑符号代替，就可画出和逻辑函数相对应的逻辑图。【例2.2】已知其逻辑函数式，请画出的逻辑图。解：逻辑函数式可转化为，变量为a、b；是与非，用一个与非门；然后又与

47、a和b分别相与，再用两个与门；最后用一个或非门，于是得到电路如图2.8（b）所示。也可用一个与非门和一个与或非门组成，如图2.8（a）所示。由逻辑函数表达式得到的逻辑图，可以有多种形式，它们完全等效。（a）用两个门组成； （b）用四个门组成图2.8 【例2.2】逻辑电路图2）由逻辑电路写出逻辑函数表达式。因为逻辑电路图用逻辑符号表示每一个逻辑单元，并由逻辑单元组成的部件而得到的图。方法之一是由输入至输出逐渐写出逻辑函数表达式，为方便起见，可以设定几个中间变量；方法之二是由输出端开始。由逻辑图找出逻辑函数表达式方法比较简单。不过用这种直观的方法得到的表达式往往比较复杂，不能一目了然地看出输入输出

48、的关系。一般的说，较为复杂一些的表达式，可以采用逻辑代数的方法进行简化，有时候表达式已经简化，也不易看出输入输出的关系，则可以由最简式列出真值表来反映其逻辑关系。【例2.3】写出如图2.9所示电路的逻辑函数表达式。图2.9 【例2.3】电路图解：分析电路图可知，方法一： 方法二：当然也可以由逻辑电路图的表达式可以得到真值表。2.3逻辑代数基本定律及重要规则2.3.1逻辑代数基本定律逻辑代数的基本定律是分析、设计逻辑电路，化简和变换逻辑函数式的重要工具。由于逻辑变量取值只有0和l。根据三种基本运算的定义，不难推出下列基本定律，它们列于表2.8中。表2.8 逻辑代数基本定律基本定律名称逻辑关系定律

49、说明01律a0=0；a1=a变量a与逻辑常量0和1的关系。a+0=a；a+1=1交换律a+b=b+aab=ba结合律a+b+c=（a+b）+c=a+（b+c）abc=（ab）c=a（bc）分配律a（b+c）=ab+ac右式=（a+b）（a+c）=aa+ac+ab+bc=a+ac+ab+bc=a（1+c+b）+bc=a+bc=左式a+bc=（a+b）（a+c）互补律重叠律该定律又称重叠定理，它指出：一个变量多次自加或者多次自乘的结果仍为自身。反演律该定律又称摩根定理（de morgan定理）。在逻辑代数中，摩根定理是一条十分重要的 定理，它解决了函数求反问题和逻辑变换问题非非律该定律又称对合定理

50、，它指出：连续两次“非”运算相当于没有进行任何运算，它表征了“否定之否定等于肯定”这一规律。2.3.2逻辑代数的常用公式由逻辑代数的基本定理可导出一些常用的公式，利用这些公式可简化逻辑函数。常用的公式列于表2.9中。表2.9 逻辑代数常用公式公式公式证明公式说明如果逻辑表达式中有两个乘积项的基本两项除去相同部分外，剩余部分互补，则这两项可合并成一项，其互补因子被消去。 在一个或与表达式中，两个或表达式，除去相同部分外，剩余部分互补，则这两项可合并成一项，其互补因子被消去。如果逻辑表达式中的某一项包含了式中的另一项，则该项是多余的，因而又叫吸收定理。 如果逻辑表达式中某项的“非”被另一项所包含，则可从另一项中去掉该项的“非”。表2.9 逻辑代数常用公式（续）该公式又叫多余项乘积定理，它指出：当逻辑表达式中的某变量分别以原变量和反变量的形式出现在两项中时，这两乘积项的其余部分组成的第三项必为多余项，又称冗余项，可以从式中去掉。若第三项中除了前二项的剩余部