完整word版2004年数二真题及标准答案及解析

1、2004年考硕数学(二)真题.填空题(本题共 6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上.)(1)设 f(X) lim (n 21)x ,贝U f(x)nnx21的间断点为x设函数y(x)由参数方程t3t33t3t1确定，则曲线1y y(x)向上凸的x取值范围为-44 -dx1 x/xn(6)设函数z z(x, y)由方程微分方程(y x3)dx 2xdye2x3z2y确定,则3二x0满足yx1-的特解为x 152设矩阵A 1矩阵B满足ABA 2BA E ,其中A为A的伴随矩阵，E是单位矩阵，则B二.选择题(本题共 8小题，每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合

2、题目要求把所选项前的字母填在题后的括号内(7)把x0时的无穷小量x 20 cost dt，x2tanftdt,寸XOsint3dt排列起来，使排在0后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是(B)(A)(8)设 f (x)x(1 x),则(A)x0是 f(x)的极值点，但(0, 0)不是曲线yf(x)的拐点.(B)x0不是f(x)的极值点，但(0, 0)是曲线yf (x)的拐点.(C)x0是 f(x)的极值点，且(0, 0)是曲线yf(x)的拐点.(D)x0不是f(x)的极值点,(0, 0)也不是曲线y f (x)的拐点(1n)2等于n(9) lim Inf/d 丄) ?)2L n V n

3、 n2 2(A) In2 xdx.12(C) 2 Jn(1 x)dx.2(B) 2 In xdx.12 2(D)In (1 x)dx(10)设函数f(X)连续，且f (0)0,贝y存在0,使得f(X)在(0,)内单调增加.(C)对任意的x (0,)有 f(x)f(0).(D)对任意的x (,0)有 f (x)f(0).(11)微分方程y y X1 sin x的特解形式可设为2(A) y ax bx cx(Asin xB cosx).2(B) y x(ax bxc Asin xB cosx).2(C) y ax bx cAsin x.2(D) y ax bx cAcosx(12)设函数f(u)连

4、续，区域D(x,、22cy) x y 2y ,1Tx2,0)内单调减小.f(x)在(B)(B)则 f (xy)dxdy等于D1dx22 0dy口 f(xy)dy.0d0 f(xy)dx.2sin20 f (r sin cos )dr.(D)0d2sin20 f (r sin cos )rdr(13 )设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列得C,则满足AQ C的可逆矩阵Q为(A)(15)(本题满分10 分)1求极限lim TX 0x3x2 COSX3(16)(本题满分10 分)(B)10(C)10 0.0 1 1(D)100.0 01(14)设A,B为满足AB 0

5、的任意两个非零矩阵，则必有(A)A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关.(B)A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关.(C)A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关.(D)A的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关.三.解答题(本题共 9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)设函数f(x)在2上有定义，在区间0, 2 上 , f (x) x(x 4),若对任意的x都满足f(x) kf (x 2),其中k为常数.(I )写出f(x)在2, 0上的表达式；(n )问k为何值时，f (x)在x 0处可导.(17)(本题满分11分)设 f (x)sin t dt,( I

6、 )证明f (x)是以 为周期的周期函数;(n )求f (x)的值域.(18)(本题满分12分)ex e X曲线y-与直线x 0, x t(t 0)及y 0围成一曲边梯形.该曲边梯形绕x轴旋转一周得一旋转体，其体积为V(t),侧面积为S(t),在x t处的底面积为F (t).(I)求的值; V(t)(n )计算极限lim少t F(t)(19)（本题满分12分）a b e2，证明 In2 b In2 a 号(b a). e(20)（本题满分11分）某种飞机在机场降落时，为了减小滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下来.现有一质量为9000kg的飞机，着陆时的

7、水平速度为 700 km/h .经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为k6.0 106）.问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？注kg表示千克，km/h表示千米/小时.(21)（本题满分10分）f（x2 y2,exy）,其中f具有连续二阶偏导数2,求二二亠x y x y(22)（本题满分9分）设有齐次线性方程组(1a)X1X2x3x40,2x1(2a)x22x32x40,3x13x2(3a)x33x40,4X14x24x3(4a)X40,试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解.（23）（本题满分9 分)1 2设矩阵 1433的特征方程有一个二重根，求a

8、的值，并讨论A是否可相似对角化.2004年考硕数学(二)真题评注.填空题(本题共 6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上.).对不同的X,先用求极限的方法得出f(x)(1)设 f (x) lim (n 21)x ,则 f(x)的间断点为 x _0 n nx 1【分析】本题属于确定由极限定义的函数的连续性与间断点的表达式,再讨论f(x)的间断点.所以因为【详解】f(x)显然当f(x)0,1lim f (x) lim 1X 0、， x 0 x0时，f(x) 0；(n 1)x2 nxf(0)(1 -)x n_ 1x2x2xx 0为f (x)的间断点.(2 )设函数 y(x)由参数方程t

9、3t33t确定，3t则曲线y y(x)向上凸的x取值范围为,1 (或(-,1)【分析】判别由参数方程定义的曲线的凹凸性,先用由x(t)y(t)定义的y (t)x(t) x (t)y(t)(x(t)3求出二阶导数，再由d2ydx20确定x的取值范围.【详解】dydxdydtdxdt3t2 33t2t2d2ydx2ddtdydxdtdx2t2 1123(t1)4t3(t2 1)t 0.2 令山 令2 dx又 x t3 3t 1 单调增，在 t 0时，X (,1) .(Q t 0时，x 1 x（,1时，曲线凸.）【评注】本题属新题型.已考过的题型有求参数方程所确定的函数的二阶导数,如 1989、 1

10、991、 1994、2003数二考题，也考过函数的凹凸性dx【分析】利用变量代换法和形式上的牛顿莱布尼兹公式可得所求的广义积分值【详解1】1Lx sect secuanldtX 10 sect tant02dt 2【详解2】1dx10 t卞-x xKJ 1=(*)dt11 Ltt2arcsi nt【评注】本题为混合广义积分的基本计算题,主要考查广义积分（或定积分）的换元积分法.2y确定,则3x(4)设函数z z(x, y)由方程z e2x 3z【分析】此题可利用复合函数求偏导法、公式法或全微分公式求解【详解1】在ze2x 3z2y的两边分别对x , y求偏导，z为x, y的函数.e2x3z(2

11、 3 二),x2xe3z(吒)2,从而2e2x 3z1 3e2x 3z ,21 3e2x3z所以1 e2x3z21 3e2x 3z【详解2】令F（x, y,z）2x 3z ce 2y zF 2x 3z _e 2, xF 2x 3z ._ -e ( 3)z从而3 xzy1y3e2x 3z2e2x 3z1 3e2x 3z21 3严,1 3e2x 3z【详解3】利用全微分公式dze(2dx3dz)2dy-2x 3z .2e dx2dy-2x 3z3e(13e2x 3z)dz-2x :2e3z ,dx :2e2x 3z2dz,2x 3zdx亠 2x1 3e13ez2e2x 3zz,得dz1xy2dy3

12、e2x 3z37 dy21 3e2x 3z从而3二x【评注】此题属于典型的隐函数求偏导(5)微分方程(y x3)dx 2xdy 0满足yx1-的特解为x 15【分析】此题为一阶线性方程的初值问题.可以利用常数变易法或公式法求出方程的通解,再利用初值条件确定通解中的任意常数而得特解【详解1】原方程变形为dydx1 22x，先求齐次方程dydx2xy 0的通解：积分得dy1dx2xIn y1-lnx Inc2设y c(x) JX为非齐次方程的通解，代入方程得1 c(皿 c(x)c(x)7X2x1 3从而 c (x)-X2积分得2c(x)于是非齐次方程的通解为C)1,故所求通解为y1 -X.5【详解

13、2】原方程变形为dydx12Xy1 22X ,由一阶线性方程通解公式得1 -In Xe26y(1) 5从而所求的解为 y JX1 -X2xdx21 3 -X .5dx2x dx C1 一1 n X2dx1,【评注】此题为求解一阶线性方程的常规题(6)设矩阵A0 ,矩阵B满足ABA2BA E ,其中A为A的伴随矩阵，E是单位矩阵，则B【分析】利用伴随矩阵的性质及矩阵乘积的行列式性质求行列式的值【详解1】ABA 2BA EABA 2BA E ,(A 2E)BAE,2E B A1,A 2E A1(1) ( 1)3【详解2】由AAa1,得ABA 2BA EAB AA 12BA A 1AA 1A AB

14、2A B aA (A 2E)B AAA 2E|B1A2 A 2E【评注】此题是由矩阵方程及矩阵的运算法则求行列式值的一般题型,考点是伴随矩阵的性质和矩阵乘积的行列式.二.选择题(本题共 8小题，每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求把所选项前的字母填在题后的括号内(7)把x0时的无穷小量x 20 cost dt,2:tan 皿,Zx30 Sint dt排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是(B)(A)(C)【分析】对与变限积分有关的极限问题，一般可利用洛必塔法则实现对变限积分的求导并结合无穷小 代换求解.3Sint dt【详解】 Q lim

15、 lim -0xX 0x 0 x丄2 ,cost dt0o().lim lim0().i 3 1 sin x2 尸 lim x 02 cosx3x2limX 0 2/xtan Jtdt 0#3sin t dt 0从而按要求排列的顺序为tanx 2xlim3x 0 .31sinx2 =2丘li 2x2lim -x 01-x20，,故选(B).【评注】此题为比较由变限积分定义的无穷小阶的常规题(8)设 f (x)(B)(C)【分析】【详解】从而1 x又 f(0)0,x(1 x)，则0是f(x)的极值点，但(0, 0)不是曲线0不是f(x)的极值点，但(0, 0)是曲线0是f(x)的极值点，且(0,

16、 0)是曲线y0不是f(x)的极值点，求分段函数的极值点与拐点,f(x)f (x)f (x)(0, 0)也不是曲线f(x)的拐点.f (x)的拐点.f(x)的拐点.y f (x)的拐点. C按要求只需讨论x 0两方f (x)，f (x)的符号.x(1 x),x(1 x),1 2x,1 2x,2,2,0时，f(x)凹，1x 0、时，f (x)f (x)凸，于是(0, 0)为拐点.0 ,从而x 0为极小值点.所以，x 0是极值点，（0, 0）是曲线y f（X）的拐点，故选（C）.【评注】此题是判定分段函数的极值点与拐点的常规题目(1n 2一)2等于 n(9) lim lnf/d 丄) ?)2L n

17、 V n n(A)2|n2 xdx.12(B)2 ln xdx.12(C) 2 Jn(1 x)dx.2 2(D)In 2(1 x)dx【分析】将原极限变型，使其对应一函数在一区间上的积分和式.作变换后，从四个选项中选出正确的【详解】lim ln 寸(1-)2(1 -)2l (1n-)2nlimnIn(1-)(1n-)Ln(1limnln(1-)nln(1-)n2 ln(1 丄)1i 1 n n12 0ln(1 x)dx2L21lntdt22 ln xdx1故选（B）.【评注】此题是将无穷和式的极限化为定积分的题型,值得注意的是化为定积分后还必须作一变换能化为四选项之一.0,使得（10）设函数f

18、（X）连续，且f （0）0 ,则存在(A)f (x)在(0,）内单调增加.(B)f（x）在（，0）内单调减小.(C)对任意的x(0，)有 f(x)f(0).(D)对任意的x(，0)有 f(x)f(0).C【分析】可借助于导数的定义及极限的性质讨论函数f（x）在x 0附近的局部性质.【详解】由导数的定义知f(0) f 畀 0,由极限的性质0,使xf(x) f(o)0x即 x 0 时，f(x) f (0)，x 0时,f(x) f(0),故选（C）.【评注】此题是利用导数的定义和极限的性质讨论抽象函数在某一点附近的性质（11）微分方程yy x21 sin x的特解形式可设为（A）y2 axbx cx

19、(Asin xB cosx).（B）yx(ax2 bxc Asin xB cosx).（C）y2 axbx cAsin x.（D）y2 axbx cA cosx【分析】利用待定系数法确定二阶常系数线性非齐次方程特解的形式【详解】对应齐次方程y y 0的特征方程为1 0,特征根为x20 2e （x 1）而言，因0不是特征根，从而其特解形式可设为yiax2 bx csinxI m （eix），因i为特征根，从而其特解形式可设为从而y2x( Asi nx B cosx)1 sin x的特解形式可设为2y ax bx c x(Asin x B cosx)此题的考点是二阶常系数线性方程解【评注】这是一道

20、求二阶常系数线性非齐次方程特解的典型题,的结构及非齐次方程特解的形式(12)设函数f (u)连续，区域D (x, y) x2 y2 2y，贝U f (xy)dxdy 等于D(B)(D)11dx22 0dy0d0dJ1 X2 严 f(xy)dy.02sin7f (xy)dx.f (r2sin cos )dr.2sin2f (r sin cos )rdr【分析】将二重积分化为累次积分的方法是：先画出积分区域的示意图，再选择直角坐标系和极坐标系并在两种坐标系下化为累次积分【详解】积分区域见图.在直角坐标系下，f (xy) dxdyD2J1 (y 1)20dy Ef(xy)dx11x21dx 1 #-

21、2 f(xy)dy故应排除(A )、( B).x r cos在极坐标系下，y r sinf (xy)dxdyD2s in20 d 0 f(r sin cos )rdr ,故应选(D).【评注】此题是将二重积分化为累次积分的常规题,关键在于确定累次积分的积分限(13 )设A是3阶方阵,将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列得C,则满足AQ C的可逆矩阵Q为(A)1(B)10(C)1(D)【分析】根据矩阵的初等变换与初等矩阵之间的关系,对题中给出的行（列）变换通过左（右）乘一相应的初等矩阵来实现.【详解】由题意0 AQ ,0从而Q 1,故选（D）【评注】此题的考点是初等变换与初等矩

22、阵的关系,抽象矩阵的行列初等变换可通过左、右乘相应的初等矩阵来实现.（14）设A,B为满足AB 0的任意两个非零矩阵，则必有(A)A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关.(B)A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关.(C)A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关.(D)A的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关.【分析】将A写成行矩阵，可讨论A列向量组的线性相关性.将B写成列矩阵，可讨论B行向量组的线性相关性.【详解】设A （aij）i m,B (bj)m n,记A A A2LAmAB 0AA2 LLbinb21b22Lb2nLbm1bm2LbmnAmbinALbmn Am由于B 0

23、,所以至少有一bijm,1n),从而由（1）知，bijA, b2jA2bm1 Am0 ,于是Ai,A2丄,Am线性相关.B1又记BB2MBm则AB 0a11a12La1mB1a11B1312 BzLa1mBma21a22La2mB2a21B1a22 B2La2mBmLMLa1ai2LaimBmai2B2Laim Bmm),使aij由于A 0,则至少存在一0(1i l,1aiiBiai2B2aijBjL aim Bm 0 ,从而Bi, B2,L , Bm线性相关,故应选（A）.此题也可以利用齐次线性方程组的理论求解【评注】此题的考点是分块矩阵和向量组的线性相关性,三 .解答题（本题共 9小题，满

24、分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分10分）x缶料R曰12 cosx ”求极限lim飞 1 .x 0x33【分析】此极限属于型未定式.可利用罗必塔法则，并结合无穷小代换求解.0xlne 31【详解1】原式lim 31x 0 x3,2 cosx ln limlimln(2cosx)ln3x 0x 0x22x1(sin x) lim 2 cosxx 02x1.1 si nx-lim2 x 0 2 cosx x2 cosx xln e 3【详解2】原式limx 0,2 cosxln ,3lim2x 0x2ln(l COSJ)limT3X 0x2cosx 11lim2

25、-x 0 3x26【评注】此题为求未定式极限的常见题型.在求极限时，要注意将罗必塔法则和无穷小代换结合，以简化运算.(16)(本题满分10分)设函数f(x)在()上有定义,在区间0, 2上，f(x) x(x24),若对任意的x都满足f (x) kf (x 2),其中k为常数.(I )写出f(x)在2, 0上的表达式；(n )问k为何值时，f (x)在x 0处可导.【分析】分段函数在分段点的可导性只能用导数定义讨论【详解】(I )当 2x0,即 0x22时,f (x) kf (x 2) k(x 2)(x 2)24 kx(x 2)(x 4).(n)由题设知f(0) 0.f (0)limx 0f(x

26、) f(0)r0limG)4x 0 xf (0)令 f (0) f (0),得 klimx 012f(x) f(0)x 0肌 9! 8k.1即当k 时，f (x)在2【评注】此题的考点是用定义讨论分段函数的可导性x 0处可导.(17)(本题满分11分)设 f (x)Sint dt,(I )证明f(x)是以 为周期的周期函数；(n )求f (x)的值域.【分析】利用变量代换讨论变限积分定义的函数的周期性,利用求函数最值的方法讨论函数的值域【详解】故f (x)是以(I ) f(x则有f(x为周期的周期函数(n )因为sinx在(f (x)令 f(X)0,得 x1, X24f(4)32sin t d

27、t,sin (udusin udu f(x),)上连续且周期为,故只需在0,上讨论其值域.因为sin(x 2)3，且34 sintdt45434Sint dtsin xcosxsin x ,42,乞 sintdt454 sin tdt 2逅,3又 f(0)2 si ntdt 1, f( )2( si nt)dt 1,f(X)的最小值是242, 最大值是72 ,故f(X)的值域是2 近血.【评注】此题的讨论分两部分：(1)证明定积分等式,常用的方法是变量代换.(2)求变上限积分的最值, 其方法与一般函数的最值相同XX曲线ye与直线X2(18)(本题满分12分)0, X t(t 0)及y 0围成一

28、曲边梯形.该曲边梯形绕 X轴旋转一周得一旋转体，其体积为V(t),侧面积为S(t),在X t处的底面积为F (t).(I )求的值; V(t)(n )计算极限limt F(t)【分析】用定积分表示旋转体的体积和侧面积，二者及截面积都是t的函数，然后计算它们之间的关系【详解】(I )S(t)dxdX,2x ec 2x2 e月dX4V(t)ty2dXdX ,S(t)V(t)2.(n ) F(t) ylim曲 t F(t)tlimXe2te e22dXlimt22t t2 j2tte e 1ttIe e【评注】在t固定时，此题属于利用定积分表示旋转体的体积和侧面积的题型,考点是定积分几何应用的公式和

29、罗必塔求与变限积分有关的极限问题（19）（本题满分12分）2224设 e a b e ,证明 In b Ina （b a）. e【分析】文字不等式可以借助于函数不等式的证明方法来证明,常用函数不等式的证明方法主要有单调性、极值和最值法等【详证1】设（X） In（X）（X）4X X,贝 yeJnx 42 2X e21 Inx2 2 ,X所以当X（X）0,故（X）单调减小，从而当e Xe2时,（X）(e2)44c225e e即当e X（X）单调增加.因此,当ee2 时，（b）(a),即ln2b 电b In2eln2b In2 a【详证2】(X) In22X In a（X）(X)2I nxX21 I

30、nx2 2X4a a e q(b e4r(Xe4 e2a).a),则X e时,(X)0（x）,从而当e Xe2 时,(X)(e2)0,e ee2时，（X）单调增加.b e2 时，(x)(a)0 .令 x b有(b)0224ln b In a (b a). e【详证3】证对函数ln2 X在a,b上应用拉格朗日定理，得ln2b ln2a(b a), ab.设（t）叮，则t(t)1 Intt2(t)0,所以（t）单调减小，从而(e2),即Inln e22-e【评注】4-（b a）e此题是文字不等式的证明题型 .由于不能直接利用中值定理证明，所以常用的方法是将文字不ln2bIn2 a等式化为函数不等式

31、，然后借助函数不等式的证明方法加以证明（20）（本题满分11分）某种飞机在机场降落时，为了减小滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机 迅速减速并停下来.现有一质量为9000kg的飞机，着陆时的水平速度为 700 km/h .经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为k 6.0 106）.问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？注kg表示千克，km/ h表示千米/小时.,可利用牛顿第【分析】本题属物理应用.已知加速度或力求运动方程是质点运动学中一类重要的计算 二定律,建立微分方程，再求解.【详解1】由题设，飞机的质量m 9000kg ,着陆时的

32、水平速度v0700km / h.从飞机接触跑道开始记时,设t时刻飞机的滑行距离为x(t),速度为 v(t).根据牛顿第二定律，得积分得m dtkv.dvdv dxdtdx dtdxm .dv, kx(t)m vC,故得0,dvvdx，由于v(0)Vo,x(0)Cv0,从而kx(t)k(v0 v(t).当 v(t)/ mv09000 700x(t)P 01.05(km).所以,飞机滑行的最长距离为 1.05 km .所以【详解2】根据牛顿第二定律,得dvmdtdvkv.两边积分得代入初始条件dt,mJktCe m ,Vo,得 Cvo,v(t)故飞机滑行的最长距离为v(t)dtmvo【详解3】根据

33、牛顿第二定律，得d2xm-dt2k 1.05(km).d2xdt20, m dt其特征方程为解得r12 kr rmk0,AtC2e m由 x(0)0，v(0)dxdtx(t)x(t)kC2 emv0(1mv。+mv0V0，得 GC2 一0t 0kJktem).1.05(km).6.0 106所以,飞机滑行的最长距离为1.05 km.【评注】此题的考点是由物理问题建立微分方程，并进一步求解.2z(21)(本题满分10分)设z f(x2 y2,exy),其中f具有连续二阶偏导数，求二，二x【分析】利用复合函数求偏导和混合偏导的方法直接计算【详解】2xf1xyexy f2,2yf1 xexy f2,2z2x f11 ( 2y)f12 xexy exy f2 xyexy f2yexyf21 ( 2y) f22 xexy4xyf11 2(x2 y2)exy f12xye2xy f22 exy(1 xy) f?.【评注】此题属求抽象复合函数高阶偏导数的常规题型(22)(本题满分9 分)设有齐次线性方程组(1a)X1X2 X3 x4 0,2x