提公因式法分解因式典型例题

1、因式分解（1 ） 一知识点讲解知识点一：因式分解概念：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。1. 因式分解特征： 因式分解的结果是几个整式的乘积。多顶式（和因式弁會整式乘法整式的积2.因式分解与整式乘法关系：因式分解与整式的乘法是相反方向的变形整 式 乘 法(a +b)2 =a2 +2ab +b2因 式 分 解a2 + 2ab + b2 =(a + b)2(a _b)2 =a2 _2ab +b2a2 _2ab + b2 = (a_b)22 2(a +b)(a_b) =a -b2 2a -b =(a + b)(ab)(x +3y)(x _3y) =x2 _

2、9y2x2 _9y2 = (x + 3y)(x _3y)知识点二：寻找公因式1、小学阶段我们学过求一组数字的最大公因（约）数方法：（短除法）例如：求20,36,80的最大公（约）数？最大公倍数？2203680220368D210IS4021013405592059201942、寻找公因式的方法:24383 23a y -3ay 6y，9 xy - 2? x y，a(x-y)3 b(x - y)2 (x - y)3， -27a2b3 36a3b2 9a2b1.确定公因式的系数当多项式中各项系数是整数时，公因式的系数是多项式中各项系数 的最大公因数；当多项式中各项系数是分数时，则公因式的系数为分数

3、，而且分母 取各项系数中分母的最小公倍数，分子取各项系数中分子的最大公 因数。2.确定相同字母公因式的字母是各项都含有的字母3.看次数相同字母的指数取最低次数4.看整体如果多项式中含有相冋的多项式，应将其看成整体不要拆开。5.看符号若多项式的首项是，则公因式的符号一般为负。知识点三：因式分解的方法（重点）（一）因式分解的第一种方法（提公因式法）（重点）：1. 提取公因式法： 如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外面, 把多项式转化成公因式与另一个多项式的积的形，这种因式分解的方法叫做提公因式法。2. 符号语言： ma mb me 二 m（a b e）3. 提公因式的步骤:

4、（1）确定公因式（2）提出公因式并确定另一个因式（依据多项式除以单项式）另一个因式原多项式公因式4. 注意事项：因式分解一定要彻底、例题讲解模块1 ：考察因式分解的概念1. （2017春峄城区期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（）A、x2 -9 6x =（x 3）（x-3） 6xb、（x 5）（x - 2） = x2 3x -102 2c、X2 -8x 16 =（x-4）2 D 6ab =2a 3b2. （ 2017秋抚宁县期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（）A、x2 2x 3 = （x 1）2 2 B、（x y）（xy） = x2y2C、x2xy y2 = （xy）2

5、D 2x2y = 2（xy）3. （ 2017秋姑苏区期末）下列从左到右的运算是因式分解的是（）2 2 2A、2a -2a 1 = 2a（a-1） 1B、（x - y）（x y）二 x - yC、9x? _6x 仁（3x 一1）（2017春东平县期中）把多项式-8a2b3c 16a2b2c2 -24abc3分解因式，应提的公因式是（）A、_8a2bcB 2a2b2c3C -4abcD、24a3b3c3 D、x2 y2 =（x- y）2 2xy4. （ 2017秋华德县校级期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（）2 2A、3x 2y 一1 =5x _1B、（3a 2b）（3a-2b）=9

6、a -4bC、x2 x=x2（12x2-8y2 =2（x 2y）（x-2y）x5. （ 2017春新城区校级期中）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（）2 2A、a（a-b）=a - abB a -2a 1 二 a（a-2） 1C、x2_x=x（x-1）D、xy2 _x2y = x（y2 _xy）6. （ 2016秋濮阳期末）下列式子中，从左到右的变形是因式分解的是（）A、（x-1）（x-2） = x2-3x 2 B、x2-3x 2 = （x-1）（x-2）2 2 2C、x 4x 4 = x（x -4） 4d、x y = （x y）（x -y）模块2:考察公因式1. （2017春抚宁县期末）

7、多项式15m（ 2017秋凉州区末）多项式 a2 -9与a2 -3a的公因式是（）A、a 3C、a-3B a 1 D a-1 （ 2017春邵阳县期中）多项式 8xmyn4 -12x3myn的公因式是（）mnmn4mnmnA、x y B x y C 4x y D 4x y （ 2016春深圳校级期中）多项式-5mx3 25mx2 - 10mx各项的公因式是（）23A、5mx B、-5mx C mxD -5mx 下列各组代数式中没有公因式的是（）A、5m（a -b）与 b -aB、（a b）2 与 a bC、mx y 与 x y D - a ab 与 a b - abn2 5m2n - 20m2

8、n3的公因式是（）2 2 2 2A、5mn B、5m n C、5m n D、5m n7.观察下列各组式子： 2a b和a b ，5m(a _ b)和一 a b :3(a b)和一 a _ b ； x2 -y2和x2 y2。其中有公因式的是()A、B、C D 模块3:利用提公因式法分解因式 因式分解的第一种类型：直接提取公因式1. 分解因式：2 2 2 2(1) x -3x (2) -2x 18xy-4xy (3) 6a(a b)-4b(a b)(4)-1 abc1 ab2a2bc(5) 1 a2b5a ( 6) xnxnxn_25546 因式分解的第二种类型：变形后提取公因式2. 分解因式：(

9、1) 3a(x-y)-6b(y-x) (2) -a(x-y)-b(y-x) c(x-y) 因式分解的第三种类型：分组后提取公因式3. 分解因式：(1) mx-my nx-ny (2) 2a 4b-3ma-6mb模块4:提公因式法的综合应用类型1:利用提公因式法进行简便计算1.利用简便方法计算：131313555555(1)3.2 汉 200.9 +4.7 汉 200.9 + 200.9 汉 2.1( 2)36.8乂竺 +竺況 20.22 江 *类型2:利用提公因式法进行化简求值2. 先分解因式，在计算求值：(2x-1)2(3x 2)-(2x-1)(3x 2)2 -x(1-2x)(3x 2)其中

10、 x=1.53. (2016秋唐河县期末)已知：a-b = -2015, ab -，求 a2b-ab2 的值20154. 已知 a b = Y， ab = 2，求多项式 4a2b - 4ab2 -4a - 4b 的值。5. 若ab2，1=0，用因式分解法求 -ab(a2b5 -ab3-b)的值.6. 若 a2 a -0，则 a2016 a2015 -a2014=。2x + v = 6237. 不解方程组丿,求7y(x 3y)2 2(3y x)3的值。x _3y =1类型3:拔高培优题型8. (2015 杭州模拟)已知(19x_31)(13x_17) _(17 _13x)(11x_23)可因式分

11、解成 (ax b)(30x c)，其中a、b、c均为整数，求a b c的值。4 2 29. 已知多项式x - 2012x - 2011x - 2012有一个因式为x ax 1，另一个因式为x bx 2012，求 a b 的值。 c ._(-.、p* 2016, /2015 /2014厶、,士寸入10. 求证：3-4 310 3 能被7整除。11. 已知 a, b, c 满足 ab a b =bc b c =ca c a = 3，求(a 1)(b1)(c 1)的值。(a,b,c都是正整数)12. (学霸题中题)若x -x -1是ax bx 1的一个因式，贝V b的值为()A、- 2B、-1C 0

12、D、213. (2017合肥月考*)要使多项式x2 - 2 x - n能分解为两个整系数一次多项式之积，则不大于100的自然数n的个数为()A 8B、9C 10D 1114. (2016秋靖远县期末)阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1 x x(x 1) x(x 1)2 = (1x)1 x x(x 1) = (1 x)2 (1 x) = (1 x)3(1 )上述分解因式的方法是 ，共应用了次。(2) 若分解1 x x(x 1) x(x 1)2 . x(x 1)2004，则需应用上述方法 次，结果是。(3) 分解因式：1 x x(x 1) x(x 1)2 x(x 1)n ( n 为正整

13、数)。一、选择题1. (2017开县一模)当a,b互为相反数时，代数式a2 ab -4的值为()A、4B、0C、- 3D - 42. (2016秋乳山期末)边长为 a, b的长方形周长为12,面积为10,则a2b ab2的值为()A、120B、60 C 80 D、403. ( 2017春蚌埠期末)计算：(-2)2016 (-2)2017所得的结果是()A、 2B、 2C 22016 D 220164. ( 2017春乐亭县期末)(-8)2014 (-8)2013能被下列数整除的是()A、3 B、5C 7 D 95. （2017春源城区校级月考）把多项式 p2（a -1）p（1_a）分解因式的结

14、果是（）A （a -1）（ p2 p） B （a -1）（ p2 - p）C p（a -1）（ p -1） D、p（a -1）（ p 1）6. （ 2017春阳谷县期末）把 xn 3 - xn 1分解因式得（）A、xn 1（x2 1） B、xn （x3 x） C x（xn 2 xn） D xn d（x2 x）7. （ 2017春北湖区校级期中）整式a2（a2-1） - a21的值（）A、不是负数B、恒为正数 C恒为负数D、结果的符号不确定8. （ 2016 赵县模拟）若 ab =-3，a-2b =5，则 a2b-2ab2 的值是（）A、-15B 15C、2D -89. （2016春高密市期末）

15、将 3x（a -b）-9y（b-a）因式分解，应提的公因式是（）A、3x-9yB、3x 9yC、a-bD 3（a-b）10. （ 2016春临清市期末）计算（-3）m2 （-3）m，得（）A、3mJLB （_3）mC、_（_3）mD、（_3）m11. （ 2016春深圳期末）若ab=3，ab =-2，则代数式a2b ab2的值为（）A、1B 1C、-6D、612. （ 2016秋美兰区校级期中）若 a -5，c=2，则- ac-bc等于（）A、10 B -1OC、3d -313. （ 2016秋简阳市期中）如果多项式mx - A可分解为m（x -y），则A为（）A、mB、 -myC、- yD、

16、my14. （ 2016春深圳期中）若 a-b=2，ab=3，则ab2-a2b的值为（）A、6 b、5 C、6 D 515. （2016春港南区期中）设 P 二a2（-a，b-c），Q - -a（a2-ab ac），则 P与Q 的关 系是（）A、P =Q B P QC P : Q D互为相反数16. （ 2016春锡山区校级月考）计算：22014 -（-2）2015的结果是（）A、2 2015 B、2 2014 C、- 2 2014 D、3 2201417. （2016春宿州校级月考）下列运算中，因式分解正确的是（）A - m2 mn-m - -m(m n- 1)B、9abc-6a2b2 =

17、3bc(3-2ab)2 2 1 2 1 2 1C、3a x - 6bx 3x = 3x(a - 2b) D - ab a b ab(a b)2 2 218. (2015春杭州期末)多项式 (x 2)(2x_1) _(x 2)可以因式分解成(x - m)(2x - n), 则m - n的值是()A、2B、 2C 4D 419. (2015春莲湖区校级月考)把多项式3m(x-y) -2(y-x)2分解因式的结果是()A、(x _ y)(3m _2x _2y) B (x _ y)(3m _2x 2y)C、(x _ y)(3m 2x _2y) D (y _x)(3m 2x _2y)二、填空题1. (2

18、016潍坊模拟)分解因式：a4b_6a3b 9a2b=。2. ( 2017 潍坊)因式分解：x2_2x(X_2)=。3. ( 2017崇安区一模)分解因式 (x y)2 - 3(x y)的结果是。4. ( 2016秋内江期末)因式分解：(x yY - 2y(x y)=。5. ( 2016 滨海县二模)分解因式：m(x-y) n(y-x)=。6. ( 2017春醴陵市期末)因式分解：6(x-3) x(3-x)=。7. (2017春碑林区校级期中)分解因式2m(m -n)2-8m2(n-m)=。8. ( 2016陕西校级三模)分解因式：(3a-b)(a b)-ab-b2=。9. (2017沂源县一模)因式分解 (a b)(a b-1)-a-b T的结果为。10. (2016 春寿光市期末)计算： -5652 0.13 4652 0.13=。11. (2015 秋孟津县期末)简便计算：121 0.13 12.1 0.9 1.21 12=。12. (2017春宜兴市期中)把多项式-16x3，40x2y提出一个公因式 -8x2后，另一个因式是。13. (2016安徽模拟)已知长和宽分别为a,b的长方形，其面积等于15,周长等于16,则2 a 2b 2ab2 =。14. (2016北京)如图中的四边形均为矩形，根据图形，写出一个正确的等式。abc16. (2015秋黄山期末)若 a