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1、黑体普朗克公式推导1.空腔内的光波模式数k的平面单色驻在一个由边界限制的空间V内,只能存在一系列独立的具有特定波矢波。这种驻波称为电磁波的模式或光波模式，以k为标志。设空腔为立方体，如下图沿三个坐标轴方向传播的波分别应满足的驻波条件就是x m2(1)式中m、n、q为正整数。2将kx代入式中,有xkx则在x方向上，相邻两个光波矢量的间隔为kx(m 1)x同理,相邻两光波矢在三个方向的间隔为kxkykz因此每个波矢在波矢空间所占的体积元为kx ky kzkykx图2波矢空间在波矢空间中 处于k与dk之间的波矢k对应的点都在以原点为圆心、为厚度的薄球壳内，这个球壳的体积为43432k3k dk 3

2、4 k2dk33式中 k k、dk dk。根据式的驻波条件，k的三个分量只能取正值，因此dk与dk之间的、中的光波模式在波矢空间所占的体积只就是上述球壳的第一卦限,所以4 k2dk k2dkk为半径、d k可以存在于 v由(3)式已知每个光波矢的体积元，则在该体积内的光波模式数为式中乘以2就是因为每个光波矢量 k都有两个可能的偏振方向 波矢量数的2倍。2由于k，dk2牙d ，上式可以用波长形式表示，即在体积为 V的空腔内，波长d间隔的光波模式数为2.黑体辐射公式黑体辐射就是黑体温度 T与辐射场波长 的函数。可用单色能量密度 来描述，其定义为:在单位体积内，波长附近的单位波长间隔中的电磁辐射能量

3、，量纲为J? m-4。根据量子化假设与玻色-爱因斯坦统计规律，在温度T的热平衡情况下，黑体辐射分配到腔内每个模式上的平均能量为因此单色能量密度为hc/K T(8)M 厂 8 hc 1E 5hc/K T-Vde 1(9)即如在空腔上有一单位面积的开口，则在单位时间，半球空间辐射到此单位面积的能量为C 附录14按照(9)式，从黑体腔上的开口向半球空间辐射出的单色能量为22 hc215 ehc/K T(10)这就就是温度T的黑体的光谱辐出度公式。附录1对于作用在如图1的空腔表面的驻波，设垂直于面积 A，且立体角为d的方向上，光通量(单位时间通过的波的能量)为I与-I，如图3。图3（单位体积的光能的入射光，光通量设光速为c,光运动单位距离的时间为1/c,则在立体角内的光能密度 量）P为P 2 cA在谐振腔内，光辐射强度就是各向同性的，因此对与面积 A法线夹角为仍为I,而该方向的通量为Acos I II cosA因此在整个2半球空间,一个小面积上通过的光通量如图4图4作用在一个小面积上的所有方向的光辐射则在面积A上的总光通量为将(1)代入有2M0I/2I cos sin d dI CAP2因为腔内各方向的辐射就是均匀分布的，所以任意方向立体角

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