矩阵位移法教学PPT

1、1 第十二章 2 矩阵代数复习矩阵代数复习 1 1、矩阵定义、矩阵定义一组元素按行、列次序排列成的矩形阵列称为矩阵。若矩阵一组元素按行、列次序排列成的矩形阵列称为矩阵。若矩阵 的元素排列为的元素排列为m 行和行和n列，称为列，称为m n 阶矩阵。阶矩阵。 a= aaa aaa aaa n n mmmn 11121 21222 12 l l mo m l 2 2、方阵、方阵一个具有相同的行数和列数的矩阵，即一个具有相同的行数和列数的矩阵，即m=n 时，称为时，称为n 阶方阵。阶方阵。 3 3、行矩阵和列矩阵、行矩阵和列矩阵一个单独的行组成的矩阵称为行矩阵，如：一个单独的行组成的矩阵称为行矩阵，如

2、： a= aaaa n1112131 由单列组成的矩阵称为列矩阵，如：由单列组成的矩阵称为列矩阵，如： n a a a a a 1 13 12 11 m 3 4 4、纯量、纯量仅由一个单独的元素所组成的仅由一个单独的元素所组成的1 1 1 1阶矩阵称为纯量。阶矩阵称为纯量。 5 5、矩阵乘法、矩阵乘法 两个规则：两个规则： （1 1）两个矩阵仅当他们是共形时才能相乘，即）两个矩阵仅当他们是共形时才能相乘，即 abcpl m pl nm n = 当当时才能相乘时才能相乘 a b b 共形共形 a b= a 11 21 a a 1112 2122 2 2 21 b a= b b aa aa 11

3、21 1112 2122 非非共形共形 21 2 2 （2 2）不具有交换律，即）不具有交换律，即 ab ba 4 6 6、转置矩阵、转置矩阵将一个阶矩阵的行和列依次互换，所得的阶矩阵称之为将一个阶矩阵的行和列依次互换，所得的阶矩阵称之为 原矩阵的转置矩阵，如：原矩阵的转置矩阵，如： a= aa aa aa 1112 2122 3132 其转置矩阵为其转置矩阵为 a t aaa aaa 112131 122232 当连乘矩阵的乘积被转置时，等于倒转了顺序的各矩阵的转置当连乘矩阵的乘积被转置时，等于倒转了顺序的各矩阵的转置 矩阵之乘积。若矩阵之乘积。若 a=b c d 则则a t =dtctbt

4、 7 7、零矩阵、零矩阵元素全部为零的矩阵称为零矩阵，用元素全部为零的矩阵称为零矩阵，用0 0表示。表示。 若若ab=0，但不一定但不一定a=0或或b=0。 5 8、对对角角矩矩阵阵 对角矩阵是除主对角元素外，其余元素全为零的方阵，如： d= a a amm 11 22 000 000 000 000 o 9、单位矩阵单位矩阵单位矩阵是一个对角矩阵，它的非零元素全为 1 用 i 表示 ，如 i = 1000 0100 000 0001 o 任意矩阵与单位矩阵相乘仍等于原矩阵，即任意矩阵与单位矩阵相乘仍等于原矩阵，即 ai =aia =a 6 10、逆矩阵、逆矩阵 在矩阵运算中，没有矩阵的直接除

5、法，在矩阵运算中，没有矩阵的直接除法， 除法运算由矩阵求逆来完成除法运算由矩阵求逆来完成。例如，若。例如，若 ab =c则b=a -1 c 此处此处a-1称为矩阵称为矩阵 a 的逆矩阵。的逆矩阵。 一个矩阵的逆矩阵由以下关系式定义：一个矩阵的逆矩阵由以下关系式定义：a a -1 = a -1 a =i 矩阵求逆时必须满足两个条件：矩阵求逆时必须满足两个条件： （1）矩阵是一个方阵。）矩阵是一个方阵。 （2 2）矩阵的行列式不为零，即矩阵是非奇异矩阵（行列式为零的矩）矩阵的行列式不为零，即矩阵是非奇异矩阵（行列式为零的矩 阵称为奇异矩阵）。阵称为奇异矩阵）。 11、正交矩阵、正交矩阵若一方阵若一

6、方阵a 每一行（列）的各个元素平方之和等于每一行（列）的各个元素平方之和等于1，而，而 所有的两个不同行（列）的对应元素乘积之和均为零，则称该矩阵为正所有的两个不同行（列）的对应元素乘积之和均为零，则称该矩阵为正 交矩阵，则交矩阵，则 a = cossin sincos aa aa- 正交矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵，即正交矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵，即a -1 = at 7 12-1 12-1 概概 述述 矩阵位移法的理论基础是传统的位移法，只是它的表达形式采用矩阵矩阵位移法的理论基础是传统的位移法，只是它的表达形式采用矩阵 代数，而这种数学算法便于编制计算机程序，实现计算过程的程序化。代数，

7、而这种数学算法便于编制计算机程序，实现计算过程的程序化。 一、矩阵位移法的基本思路一、矩阵位移法的基本思路 矩阵位移法又可以称为杆件结构的有限元法；矩阵位移法又可以称为杆件结构的有限元法； 矩阵位移法的两个基本步骤是矩阵位移法的两个基本步骤是 （1 1）结构的离散化；（）结构的离散化；（2 2）单元分析；（）单元分析；（3 3）整体分析，）整体分析， 任务任务意义意义 单元单元 分析分析 建立杆端力与杆端位移建立杆端力与杆端位移 间的刚度方程，形成单间的刚度方程，形成单 元刚度矩阵元刚度矩阵 用矩阵形式表示杆用矩阵形式表示杆 件的转角位移方程件的转角位移方程 整体整体 分析分析 由变形条件和平

8、衡条件由变形条件和平衡条件 建立结点力与结点位移建立结点力与结点位移 间的刚度方程，形成整间的刚度方程，形成整 体刚度矩阵体刚度矩阵 用矩阵形式表示位用矩阵形式表示位 移法基本方程移法基本方程 8 矩阵位移法以传统的结构力学作为理论基础，以 矩阵作为数学表达形式，以电子计算机作为计算手段， 三位一体的方法。 手算与电算的不同： 手算：怕繁，讨厌重复性的大量运算，追求机灵的计算技巧， 运算次数较少的方法。 电算：怕乱，讨厌头绪太多，零敲碎打的算法，追求计算过 程程序化，通用性强的方法。 矩阵位移法（有限单元法）的基本思路是： 先将结构离散成有限个单元，然后再将这些单元按一定条 件集合成整体。这样

9、，就使一个复杂结构的计算问题转化为有 限个简单单元的分析与集成问题。 有限单元法的两个基本环节： 1）单元分析：建立单元刚度方程，形成单元刚度矩阵(物理关系) 2）整体分析：由单元刚度矩阵形集成整体刚度矩阵，建立结构的 位移法基本方程(几何关系、平衡条件) 9 指杆件除有弯曲变形外，还有轴向变形和剪切变形的单元，指杆件除有弯曲变形外，还有轴向变形和剪切变形的单元， 杆件两端各有三个位移分量，杆件两端各有三个位移分量， 这是平面结构杆件单元的一般情况。这是平面结构杆件单元的一般情况。 符号规则：符号规则：图图(a)(a)表示单元编号、杆端编号和局部座标，局部座标的表示单元编号、杆端编号和局部座标

10、，局部座标的x 座标与杆轴重合；座标与杆轴重合； 1 12 2 e e a i l x y (a)(a) 图图(b)(b)表示的杆端位移均为正方向。表示的杆端位移均为正方向。 单元编号单元编号 杆端编号杆端编号 局部座标局部座标 1 12 2 1 u 1 v 1 2 2 u 2 v (b)(b) 杆端位移编号杆端位移编号 1 12 2 1 x 1 y 1 m 2 m 2 x 杆端力编号杆端力编号 (c)(c) 二、杆端位移、杆端力的正负号规定二、杆端位移、杆端力的正负号规定 一般单元：一般单元： 10 12 1 u 1 v 1 2 2 u 2 v 12 1 x 1 y 1 m 2 m 2 x

11、2 y )( 2 2 2 1 1 1 )( ) 6( ) 5( ) 4( ) 3( ) 2( ) 1 ( )( e e e v u v u )( 2 2 2 1 1 1 )( ) 6( ) 5( ) 4( ) 3( ) 2( ) 1 ( )( e e e m y x m y x f f f f f f f （1 1）单元杆端位移向量）单元杆端位移向量（2 2）单元杆端力向量）单元杆端力向量 凡是符号上面带了一横杠的就表示是基于局部座标系而言的。凡是符号上面带了一横杠的就表示是基于局部座标系而言的。 11 现在讨论单元刚度方程。现在讨论单元刚度方程。单元刚度方程是指由单元杆端位移求单元杆单元刚度

12、方程是指由单元杆端位移求单元杆 端力时的一组方程，可以用端力时的一组方程，可以用“ ”“ ”表示，由位移求力称为正问题。表示，由位移求力称为正问题。f 在单元两端加上人为控制的附加约束，使基本杆单元的两端产生任意指在单元两端加上人为控制的附加约束，使基本杆单元的两端产生任意指 定的六个位移，然后根据这六个杆端位移来推导相应的六个杆端力。定的六个位移，然后根据这六个杆端位移来推导相应的六个杆端力。 e 1 2 1 u 2 u 2 v 1 v 1 2 1 x e 1 y e 1 m e 2 x e 2 m e e 我们忽略轴向受力状态和弯曲受力状态之间的相互影响，分别推导轴向我们忽略轴向受力状态和

13、弯曲受力状态之间的相互影响，分别推导轴向 变形和弯曲变形的刚度方程。变形和弯曲变形的刚度方程。 12-2 12-2 单元刚度矩阵单元刚度矩阵( (局部座标系局部座标系) ) 进行单元分析，推导单元刚度方程和单元刚度矩阵。进行单元分析，推导单元刚度方程和单元刚度矩阵。 一、一般单元一、一般单元 12 e 1 u 2 u 1 x e 1 y e 1 m e 2 x e 2 m e e 分别推导轴向变形和弯曲变形的刚度方程。分别推导轴向变形和弯曲变形的刚度方程。 首先，由两个杆端轴向位移首先，由两个杆端轴向位移 21 uu 和可推算出相应的杆端轴向力可推算出相应的杆端轴向力 21 xx 和 ee e

14、 1 u 2 u 1 x e 2 x e 12 - - 212 211 uu l ea x uu l ea x 其次，由杆端横向位移其次，由杆端横向位移, 2121 和转角vv 可以用角变位移方程推导出相应的杆端可以用角变位移方程推导出相应的杆端 横向力横向力 2121 ,mmyy和杆端力矩 eeee - - - - 21 3 21 2 2 21 3 21 2 1 21 2 212 21 2 211 126 126 642 624 vv l ei l ei y vv l ei l ei y vv l ei l ei l ei m vv l ei l ei l ei m 13 - - - - 2

15、1 3 21 2 2 21 3 21 2 1 21 2 212 21 2 211 126 126 642 624 vv l ei l ei y vv l ei l ei y vv l ei l ei l ei m vv l ei l ei l ei m - - 212 211 uu l ea x uu l ea x - - - - - - 2 2 2 1 1 1 22 2323 22 2323 2 2 2 1 1 1 46 0 26 0 612 0 612 0 0000 26 0 46 0 612 0 612 0 0000 v u v u l ei l ei l ei l ei l ei l

16、ei l ei l ei l ea l ea l ei l ei l ei l ei l ei l ei l ei l ei l ea l ea m y x m y x eee 将上面六个方程合并，写成矩阵形式：将上面六个方程合并，写成矩阵形式： 14 ea l 6ei l2 6ei l2 ea l 12ei l3 12ei l3 4ei l 2ei l 上面的式子可以用矩阵符号记为上面的式子可以用矩阵符号记为 kf eee e 这就是局部座标系中的单元刚度方程。这就是局部座标系中的单元刚度方程。 e 可求单元杆端力可求单元杆端力 f e k e = (1) (2) (3) (4) (5) (

17、6) (1)(2)(3)(4)(5)(6) 0000 00 6ei l2 0 6ei l2 0 -ea l -6ei l2 -6ei l2 ea l -12ei l3 12ei l3 2ei l 4ei l 0000 00 -6ei l2 0 6ei l2 0 1 1 u1 1 v1 1 1 2 u1 2 v1 2 只与杆件本身性质有只与杆件本身性质有 关而与外荷载无关关而与外荷载无关 通过这个式子由单元杆端位移通过这个式子由单元杆端位移 局部座标系的单元刚度矩阵局部座标系的单元刚度矩阵 15 二、单元刚度矩阵的性质二、单元刚度矩阵的性质 （1）单元刚度系数的意义）单元刚度系数的意义 ij k

18、 e代表单元杆端第 代表单元杆端第j个位移分量等于个位移分量等于1时所引起的第时所引起的第i个杆端力分量。个杆端力分量。 例如例如 3 52 12 l ei k- 代表单元杆端第代表单元杆端第2个位移分量个位移分量 时所引起的第时所引起的第5个杆个杆 端力分量端力分量 的数值。的数值。 1 1 v 2 y （2）单元刚度矩阵）单元刚度矩阵 是对称矩阵，是对称矩阵， k e 即即 jiij kk 。 （3）一般单元的刚度矩阵）一般单元的刚度矩阵 是奇异矩阵；是奇异矩阵； k e 从数学上可以证明一般单元的刚度矩阵从数学上可以证明一般单元的刚度矩阵 k e 的行列式的行列式 k e =0因此它的逆

19、矩阵不存在因此它的逆矩阵不存在 从力学上的理解是，根据单元刚度方程从力学上的理解是，根据单元刚度方程 f ee f ee kf eee 由由有一组力的解答有一组力的解答(唯一的唯一的)，即正问题。，即正问题。 由由 如果如果 f e 不是一组平衡力系则无解；若是一不是一组平衡力系则无解；若是一 组平衡力系，则解答不是唯一的，即反问题。组平衡力系，则解答不是唯一的，即反问题。 16 三、特殊单元三、特殊单元 若单元六个杆端位移中有某一个或几个已知为零，则该若单元六个杆端位移中有某一个或几个已知为零，则该 单元称为特殊单元，其刚度方程是一般单元刚度方程的特例。单元称为特殊单元，其刚度方程是一般单元

20、刚度方程的特例。 e 以连续梁以连续梁 为例：为例： 12 0 1 u 0 1 v 1 2 0 2 u 0 2 v e - - - - - - 2 2 2 1 1 1 22 2323 22 2323 2 2 2 1 1 1 46 0 26 0 612 0 612 0 0000 26 0 46 0 612 0 612 0 0000 v u v u l ei l ei l ei l ei l ei l ei l ei l ei l ea l ea l ei l ei l ei l ei l ei l ei l ei l ei l ea l ea m y x m y x eee 17 12 0 1

21、u 0 1 v 1 2 0 2 u 0 2 v e - - - - - - 2 2 2 1 1 1 22 2323 22 2323 2 2 2 1 1 1 46 0 26 0 612 0 612 0 0000 26 0 46 0 612 0 612 0 0000 v u v u l ei l ei l ei l ei l ei l ei l ei l ei l ea l ea l ei l ei l ei l ei l ei l ei l ei l ei l ea l ea m y x m y x eee 2 1 2 1 42 24 l ei l ei l ei l ei m m eee l

22、ei l ei l ei l ei k 42 24 e e 为了程序的标准化和通为了程序的标准化和通 用性，不采用特殊单元，用性，不采用特殊单元， 只用一般单元，如果结构只用一般单元，如果结构 有特殊单元，可以通过程有特殊单元，可以通过程 序由一般单元来形成。序由一般单元来形成。 18 a 12-3 12-3 单元刚度矩阵单元刚度矩阵( (整体座标系整体座标系) ) x y e 1 x 1 y 1 m 2 x x y x1 y1 1 m x2 y2 2 m2m aasincos 111 yxx eee aacossin 111 yxy- eee 11 mm ee aasincos 222 yx

23、x eee aacossin 222 yxy- eee 22 mm ee - - 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 100000 0cossin000 0sincos000 000100 0000cossin 0000sincos m y x m y x m y x m y x aa aa aa aa eee ftf ee 座标转换矩阵座标转换矩阵 单元杆端力的转换单元杆端力的转换 式、单刚的转换式式、单刚的转换式 一、单元座标转换矩阵一、单元座标转换矩阵 19 - - 100000 0cossin000 0sincos000 000100 0000cossin 0000sinc

24、os aa aa aa aa t 正交矩阵正交矩阵 t-1 =tt 或或 ttt=tt t =i 于是可以有于是可以有 同理可以有同理可以有 t ee ftf t ee ftf ee t t 20 （解决（解决 与与k 的关系）的关系） k ee 在局部座标系中杆端力与杆端位移的关系式表达为：在局部座标系中杆端力与杆端位移的关系式表达为： kf eee 在整体座标系中杆端力与杆端位移的关系式可以表达为：在整体座标系中杆端力与杆端位移的关系式可以表达为： (a) eee f =k (b) e f =ttt ee (d)k t f = e t (c) e k e k = tt k e t e (e

25、) k e的性质与 的性质与 e k一样。一样。 二、整体座标系中的单元刚度矩阵二、整体座标系中的单元刚度矩阵 （a）式可转换为：）式可转换为： 两边前乘两边前乘tt 比较式比较式(b)和和(d)可得：可得： 21 1 l = 5m l = 5m 2 x y l=5m，bh=0.5m 1m, a=0.5m2, i= m4, 1 24 44 1025,10300 l ei l ea 解解: :(1) 局部座标系中的单元刚度矩阵局部座标系中的单元刚度矩阵 - - - - - - 10030050300 3012030120 0030000300 50300100300 3012030120 003

26、0000300 104 (2) 整体座标系中的单元刚度矩阵整体座标系中的单元刚度矩阵 e k k e 单元单元 1 ：a a = 0，t =ik 1 = 1 k 单元单元 2 ：a a = 90，单元，单元 座标转换矩阵为座标转换矩阵为 - - 100000 001000 010000 000100 000001 000010 t 例例1. 试求图示刚架中各单元在整体座标系中的刚度矩阵试求图示刚架中各单元在整体座标系中的刚度矩阵k 。 设设 和和 杆的杆长和截面尺寸相同。杆的杆长和截面尺寸相同。12 k = k 22 1 l = 5m l = 5m 2 x y 单元单元 2 ：a a = 90

27、，单元座标转换矩阵为，单元座标转换矩阵为 - - 100000 001000 010000 000100 000001 000010 t k = tt kt - - - - - - 10003050030 0300003000 3001230012 50030100030 0300003000 3001230012 10 4 23 12-4 12-4 连续梁的连续梁的 整体刚度矩阵整体刚度矩阵 按传统的位移法按传统的位移法 i1i212 1 4i112i11 0 i1i212 2 2i122i22(4i1+4i2)2 i1i212 3 02i234i23 每个结点位每个结点位 移对移对f的单的

28、单 独贡献独贡献 f1 f2 f3 4i12i10 2i14i1+4i2 2i20 2i2 4i2 1 2 3 = f=k 根据每个结点位移根据每个结点位移 对附加约束上的约束对附加约束上的约束 力力f的贡献大小进的贡献大小进 行叠加而计算所得。行叠加而计算所得。 传统位移法传统位移法 24 一、一、 单元集成法的力学模型和基本概念单元集成法的力学模型和基本概念 分别考虑每个单元对分别考虑每个单元对f的单独贡献，整体刚度矩阵由单元直接集成的单独贡献，整体刚度矩阵由单元直接集成 i1i212 123 f3f 1 = f11f21 1 t f11f21f31 令令 i2 =0，则则 f31 =0

29、k = 4i1 2i14i1 2i1 1 f11 f21 = 4i1 2i14i1 2i11 2 （a） （b） f11 f21 f31 = 4i1 2i14i1 2i1 0 0 000 1 2 3 1 k f = 1 k = 1 4i1 2i14i1 2i1 0 0 000 单元单元 1 的贡献矩阵的贡献矩阵 单元单元 1 对结点力对结点力f的贡献的贡献 略去其它单元的贡献。略去其它单元的贡献。 25 i1i212 123 f12f22f32 k = 4i2 2i24i2 2i2 2 f12 f22 f32 = 4i1 2i14i1 2i1 0 0 0 001 2 3 2 k f = 2 设

30、 i1 =0，则f12=0 k = 2 4i1 2i14i1 2i1 0 0 0 00 单元单元 的贡献矩阵的贡献矩阵 f3f 2 = f12f22 2 t 单元单元对结点力对结点力f的贡献的贡献 略去单元略去单元的贡献。的贡献。 26 1 f = 1 k = 1 4i1 2i14i1 2i1 0 0 000 2 k f = 2 k = 2 4i1 2i14i1 2i1 0 0 0 00 i1i212 1212 k=（k +k ）= 12 k e e k k k ee f=f +f =（k +k ） 12 f=k 整体刚度矩阵为：整体刚度矩阵为： 单元集成法求整体单元集成法求整体 刚度矩阵步骤

31、：刚度矩阵步骤： 根据单元根据单元和单元和单元分别对结点力分别对结点力 f 的贡献，可得整体刚度方程：的贡献，可得整体刚度方程： 27 k k k ee 12 k = 4i1 2i14i1 2i1 1 k = 1 4i1 2i14i1 2i1 0 0 000 k = 4i2 2i24i2 2i2 2 k = 2 4i2 2i24i2 2i2 0 0 0 00 1 2 1 4i1 2i14i1 2i1 0 0 000 2i2 2i24i2 k= 4i1 2i14(i1+i2) 2i1 0 2i2 02i2 4i2 4i1+4i2 28 二、按照单元定位向量由二、按照单元定位向量由k 求 求 e

32、ke (1)在整体分析中按结构的结点位移统一编码，称为总码。在整体分析中按结构的结点位移统一编码，称为总码。 (2)在单元分析中按单元两端结点位移单独编码，称为局部码。在单元分析中按单元两端结点位移单独编码，称为局部码。 以连续以连续 梁为例梁为例 12 123 1 (1)(2) 2 (1)(2) 位移统一编码，位移统一编码，总码总码 单元单元 1 2 对应关系对应关系 局部码局部码总码总码 单元定位向量单元定位向量 e (1)1 (2)2 1 = 2 1 (1)2 (2)3 2 = 3 2 确定确定中的元素在中的元素在中的位置。为此建立两种编码：中的位置。为此建立两种编码：k e k e 位

33、移单独编码位移单独编码 局部码局部码 由单元的结点由单元的结点 位移总码组成位移总码组成 的向量的向量 29 （3）单刚）单刚k e ke和单元贡献和单元贡献中元素的对应关系中元素的对应关系 单元单元 单元单元 k = 4i1 2i14i1 2i1 1 (1) (2) (1)(2) 1 = 2 1 k = 1 1 2 3 0 0 000 00 00 4i12i1 2i14i1 123 k = 4i2 2i24i2 2i2 2 (1) (2) (1)(2) 2 = 3 2 k = 2 0 0 000 00 00 4i2 2i24i2 2i2 1 2 3 123 单元定位向量单元定位向量描述了单元

34、两种编码（总码、局部码）之间的对应关系。描述了单元两种编码（总码、局部码）之间的对应关系。 单元定位向量单元定位向量定义了整体坐标系下的单元刚度矩阵中的元素在整体刚度矩阵中定义了整体坐标系下的单元刚度矩阵中的元素在整体刚度矩阵中 的具体位置，故也称为的具体位置，故也称为“单元换码向量单元换码向量”。 单元贡献矩阵是单元刚度矩阵，利用单元贡献矩阵是单元刚度矩阵，利用“单元定位向量单元定位向量”进行进行“换码重排位换码重排位”。 30 三、三、 单元集成法的实施单元集成法的实施（定位（定位 累加）累加） k 1 2 3 123 0 0 000 00 00 k 1 1 0 0 000 00 00 4

35、i12i1 2i14i1 123 1 2 3 k 2 2 4i1 2i14i1 2i1 0 0 000 2i2 2i24i2 4i1+4i2 123 1 2 3 （1）将）将k置零，得置零，得k=0； （2）将）将k 的元素在 的元素在k中按中按 定位并进行累加，得 定位并进行累加，得k=k ； ； （3）将）将k 的元素在 的元素在k中按中按 定位并进行累加，得 定位并进行累加，得k=k +k； ； 按此作法对所有单元循环一遍，最后即得整体刚度矩阵按此作法对所有单元循环一遍，最后即得整体刚度矩阵k。 31 12 i1 i2i3 3 123 0 1 23 0= 0 （1 1）结点位移）结点位移

36、 分量总码分量总码 （2 2）单元定位向量）单元定位向量 1 = 2 1 2 = 3 2 3 = 0 3 （3 3）单元集成过程）单元集成过程 k = 4i1 2i14i1 2i1 1 1 2 21 k = 4i2 2i24i2 2i2 22 3 32 k = 4i3 2i34i3 2i3 3 03 3 0 k = 123 1 2 3 0 0 000 00 00 4i1 2i1 2i1 2i2 2i2 4i2 4i1 4i2+4i3 4i1+4i2 例例. .求连续梁的整求连续梁的整 体刚度矩阵。体刚度矩阵。 32 四、整体刚度矩阵四、整体刚度矩阵 k 的性质的性质 （1）整体刚度系数的意义）

37、整体刚度系数的意义: kij j=1 (其余其余 =0)时产生的结点力时产生的结点力fi （2）k是对称矩阵是对称矩阵 （3）对几何不变体系，）对几何不变体系，k是可逆矩阵，如连续梁是可逆矩阵，如连续梁 i1i2 123 f1f2f3 f=k =k-1f （4）k是稀疏矩阵和带状矩阵，如连续梁是稀疏矩阵和带状矩阵，如连续梁 123 f1f2 f3 123n n fnn+1fn+1 0 0 000 00 00 0 0 000 00 00 0 0 000 00 00 0 0 000 00 00 1 3 2 1 n f f f f m m 1 3 2 1 n m m 4i1 2i1 2i1 2i2

38、2i2 4i2+4i3 4i1+4i2 4in 2i3 2in 33 12-5 12-5 刚架的整体刚度矩阵刚架的整体刚度矩阵 思路要点思路要点：（：（1）设各单元已形成了整体座标系下的单元刚度矩阵）设各单元已形成了整体座标系下的单元刚度矩阵； e k（2）各）各 经由经由 e 进行累加集成进行累加集成k。 与连续梁相比：与连续梁相比： (1)各单元考虑轴向变形各单元考虑轴向变形；(2)每个刚结点有三个位移每个刚结点有三个位移； (3)要采用整体座标要采用整体座标；(4)要处理非刚结点的特殊情况要处理非刚结点的特殊情况。 一、结点位移分量的统一编码一、结点位移分量的统一编码总码总码 a b c

39、 x y 1 2 3 0 0 4 0 0 0 结点位移总码结点位移总码 = 1 2 3 4 t 规定：规定： 对于已知为零的结点位移分对于已知为零的结点位移分 量，其总码均编为零。量，其总码均编为零。 =ua va a c t 整体结构的结点位移向量为：整体结构的结点位移向量为： 相应地结点力向量为：相应地结点力向量为： = xa ya ma mc t f = f1 f2 f3 f4 t 34 x (1) (2) (3) (5) (6) x (2) (3) (5) (6) 单元结点位单元结点位 移分量移分量局部码局部码 二、单元定位向量二、单元定位向量 单元单元单元单元局部码局部码总码总码局部

40、码局部码总码总码 （1） 1 （2） 2 （3） 3 （4） 0 （5） 0 （6） 4 （1） 1 （2） 2 （3） 3 （4） 0 （5） 0 （6） 0 0 0 0 3 2 1 4 0 0 3 2 1 三、单元集成过程三、单元集成过程 a b c x y 1 2 3 0 0 4 0 0 结点位移总码结点位移总码 0 (4) (1) (4) 35 1a b c 2 x y 1 2 3 0 0 4 0 0 0 4 0 0 3 2 1 1 0 0 0 3 2 1 2 1 2 3 4 k= 1234 0 000 00 0 0 0 0 00 00 0 0 1 k = 0 0 000 00 00

41、0 0 000 00 00 0 0 000 00 00 0 0 000 00 00 11 12 13 14 15 16 21 22 23 24 25 26 31 32 33 34 35 36 41 42 43 44 45 46 51 52 53 54 55 56 61 62 63 64 65 66 123004 1 2 3 0 0 4 111213 212223 313233 61626366 16 26 36 111213 212223 313233 2 k 123000 1 2 3 0 0 0 11 12 13 14 15 16 21 22 23 24 25 26 31 32 33 34

42、35 36 41 42 43 44 45 46 51 52 53 54 55 56 61 62 63 64 65 66 = 36 四、铰结点的处理四、铰结点的处理 k 求单元常数 t 单元刚度矩阵单元刚度矩阵 程序设计框图（局部：集成整体刚度矩阵）程序设计框图（局部：集成整体刚度矩阵） 11 22 刚结点刚结点：变形连续，：变形连续， 截面截面1 1和截面和截面2 2具有相同具有相同 的结点位移。的结点位移。 铰结点铰结点：部分变形连续，：部分变形连续， 截面截面1 1和截面和截面2 2具有相同的结点具有相同的结点 线位移；而其角位移不相等。线位移；而其角位移不相等。 37 1 23 a bd

43、 x y 0 0 0 1 2 3 4 5 6 c1 c2 4 5 7 0 0 0 t 654321 1 t 000321 2 t 000754 3 结点位移分量总码结点位移分量总码 结点结点c c1 1 4 5 6 结点结点c c2 2 4 5 7 单元定位向量单元定位向量 1 k = 123456 2 k = 123000 1 2 3 0 0 0 1 2 3 4 5 6 38 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 t 654321 1 t 000321 2 t 000754 3 1 k = 123456 1 2 3 4

44、 5 6 2 k = 123000 1 2 3 0 0 0 3 k = 457000 4 5 7 0 0 0 k= 1234567 1 2 3 4 5 6 7 39 12-6 12-6 等效结点荷载等效结点荷载 f= k (1)结构体系刚度方程：结构体系刚度方程： 一、位移法基本方程一、位移法基本方程 k11 1+ k12 2+ + k1n n+f1p=0 k21 1+ k22 2 + + k2n n+f2p=0 kn1 1+ kn2 2+ + knn n+fnp=0 k +fp =0 .(2) f +fp =0 .(3)将将(1)式代入式代入(2)式：式： 表示结点位移表示结点位移 和结点力

45、和结点力f之间的关系，反映了结构的刚度性质，而之间的关系，反映了结构的刚度性质，而 不涉及原结构上作用的实际荷载，并不是原结构的位移法基本方程。不涉及原结构上作用的实际荷载，并不是原结构的位移法基本方程。 基本体系在荷载单独作用下基本体系在荷载单独作用下 产生的结点约束力。产生的结点约束力。 基本体系在结点位移单独作基本体系在结点位移单独作 用下产生的结点约束力。用下产生的结点约束力。 40 二、二、 等效结点荷载的概念等效结点荷载的概念 结点结束力结点结束力fp结点结束力结点结束力fp 等效结点荷载等效结点荷载p原荷载原荷载 显然显然 p=fp解决了计算解决了计算等效结点荷载的问题等效结点荷

46、载的问题 等效原则等效原则是两种荷载在基本体系中产生相同的结点约束力是两种荷载在基本体系中产生相同的结点约束力 k = f fp += 41 三、按单元集成法求整体结构的等效结点荷载三、按单元集成法求整体结构的等效结点荷载p (1)局部座标单元的等效结点荷载局部座标单元的等效结点荷载p e x e t ppppppp myxmyxf 222111 e p e p f- e (2)整体座标单元的等效结点荷载整体座标单元的等效结点荷载p e ptp t ee (3) 结构的等效结点荷载结构的等效结点荷载p x y 42 - - 10 12 0 10 12 0 p fp 11 1 2 x y 1 2

47、 3 4 8kn 4.8kn/m a b c 5m 2.5m2.5m 单元单元1:1: - - 10 12 0 1 1 1 p p p m y x - 10 12 0 2 2 2 p p p m y x 单元单元2:2: 5 4 0 1 1 1 p p p m y x - 5 4 0 2 2 2 p p p m y x 90 2 a 4 0 0 3 2 1 1 0 0 0 3 2 1 2 0 0 0 0 4 3 2 1 p 12 10 -10 +4 +0 -5 - - - 10 12 0 10 12 0 p f 1 - 5 4 0 5 4 0 p f 2 - - 5 0 4 5 0 4 p t

48、 ftp 222 -10 5 12 4 43 k 求单元常数求单元常数 t p 原始数据、局部码、总码原始数据、局部码、总码 解方程解方程k =p 求出结点位移求出结点位移 开始开始 单元刚度单元刚度 矩阵矩阵 k e 单元固单元固 端力端力 p f e 44 例例. 求图示刚架的内力。设各杆为矩形截面，横梁求图示刚架的内力。设各杆为矩形截面，横梁b2h2=0.5m 1.26m，立，立 柱柱b1 h1=0.5m 1m。 （1）原始数据、局部码、总码（设）原始数据、局部码、总码（设e=1） 3 1 1 3 1 1 1 4 1 2 1 103 .83,1094. 6,6, 24 1 ,5 . 0

49、- l ea l ei mlmima 12m 6m a b cd q=1kn/m 3 3 1 1 3 2 1 1 3 1 1 3 1 1 1031. 2 12 ,1094. 6 6 ,108 .27 4 ,109 .13 2 - l ei l ei l ei l ei a b cd 1 2 3 x y 1 3 4 52 6 00 柱柱 梁梁 3 2 2 3 2 2 2 4 2 2 2 1094. 6,105 .52,12, 12 1 ,63. 0 - l ei l ea mlmima 3 3 2 2 3 2 2 2 3 2 2 3 2 2 1058. 0 12 ,1047. 3 6 ,108

50、.27 4 ,109 .13 2 - l ei l ei l ei l ei 45 - - 100000 0cossin000 0sincos000 000100 0000cossin 0000sincos aa aa aa aa t e e - - - - - - l ei l ei l ei l ei l ei l ei l ei l ei l ea l ea l ei l ei l ei l ei l ei l ei l ei l ei l ea l ea k 46 0 26 0 612 0 612 0 0000 26 0 46 0 612 0 612 0 0000 22 2323 22

51、 2323 46 （2 2）形成局部座标系中的单元刚度矩阵）形成局部座标系中的单元刚度矩阵k e 单元单元1 1和和3 3 =10-3 - - - - - - 8 .2794. 609 .1394. 60 94. 631. 2094. 631. 20 003 .83003 .83 9 .1394. 608 .2794. 60 94. 631. 2094. 631. 20 003 .83003 .83 =10-3 - - - - - - 8 .2747. 309 .1347. 30 47. 358. 0047. 358. 00 005 .52005 .52 9 .1347. 308 .2747.

52、 30 47. 358. 0047. 358. 00 005 .52005 .52 单元单元2 2 （3 3）计算整体座标系中的单元刚度矩阵）计算整体座标系中的单元刚度矩阵 e k k = tt k e t e 2 k 1 k = 3 k 47 单元单元1和和3 的座标转换的座标转换 矩阵矩阵 （a a=900） - - 100000 001000 010000 000100 000001 000010 t 1 k = =10-3k = tt k 1 t 3 - - - - - - 8 .27094. 69 .13094. 6 0833003 .830 94. 6031. 294. 6031.

53、 2 9 .13094. 68 .27094. 6 03 .83003 .830 94. 6031. 294. 6031. 2 单元单元2 2 （a a=0=0） 2 k k 2 =10-3 - - - - - - 8 .2747. 309 .1347. 30 47. 358. 0047. 358. 00 005 .52005 .52 9 .1347. 308 .2747. 30 47. 358. 0047. 358. 00 005 .52005 .52 48 (4)用单元集成法形成整体刚度矩阵用单元集成法形成整体刚度矩阵k a b cd 1 2 3 x y 1 3 4 52 6 00 t 6

54、54321 2 t 000321 1 t 000654 3 3 10 6 .5547. 394. 69 .1347. 30 47. 388.83047. 358. 00 94. 6081.54005 .52 9 .1347. 306 .5547. 394. 6 47. 358. 0047. 388.830 005 .5294. 6081.54 - - - - - - - k 49 （5）求等效结点荷载）求等效结点荷载p 12m 6m a b cd q=1kn/m a b cd 1 2 3 x y 1 3 4 52 6 00 - 3 3 0 3 3 0 p f 1 单单 元元 固固 端端 约约

55、束束 力力 单元单元1 （a a=90） - - - - - 3 0 3 3 0 3 3 3 0 3 3 0 100000 001000 010000 000100 000001 000010 p t ftp 111 按按 单单 元元 定定 位位 向向 量量 0 0 0 3 2 1 1 - 0 0 0 3 0 3 p 50 （6 6）解基）解基 本方程本方程 - - - - - - - - 0 0 0 3 0 3 6 .5547. 394. 69 .1347. 30 47. 388.83047. 358. 00 94. 6081.54005 .52 9 .1347. 306 .5547. 39

56、4. 6 47. 358. 0047. 388.830 005 .5294. 6081.54 10 3 b b b a a a v u v u 求得结点位移求得结点位移: : - 5 .96 13. 5 824 4 .28 13. 5 847 b b b a a a v u v u （7 7）求各单元杆端力）求各单元杆端力 e f p fkf eeee p fkf 1111 11 ftf f单元单元1：先求：先求f 然后求然后求 51 p fkf 1111 - - - - - - 8 .27094. 69 .13094. 6 0833003 .830 94. 6031. 294. 6031.

57、2 9 .13094. 68 .27094. 6 03 .83003 .830 94. 6031. 294. 6031. 2 =10-3 - 0 0 0 4 .28 13.5 847 - - - - - - - - 49. 8 43. 0 76. 4 09. 2 43. 0 24. 1 3 0 3 3 0 3 11 ftf - - - 49. 8 76. 4 43. 0 09. 2 24. 1 43. 0 2 f - - 04. 3 43. 0 24. 1 09. 2 43. 0 24. 1 3 f - - - - 38. 4 24. 1 43. 0 04. 3 24. 1 43. 0 同样可得出：同样可得出： 52 （8 8）绘制内力图）绘制内力图 1 f - - - 49. 8 76. 4 43. 0 09. 2 24. 1 43. 0 2 f - - 04. 3 43. 0 24. 1 09. 2 43. 0 24. 1 3 f - - - - 38. 4 24. 1 43. 0 04. 3 24. 1 43. 0 12 1 x 1 y 1 m 2 m 2 x 2 2 2 1 1 1 m y x m