八年级数学下册《二次根式》导学案

1、第十六章二次根式导学案二次根式 (1)一、学习目标1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。2、掌握二次根式有意义的条件。3、掌握二次根式的基本性质：a0(a0) 和 (a )2a(a0)二、学习重点、难点重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质难点：综合运用性质a0(a0) 和 (a ) 2a(a0) 。三、学习过程（一）复习回顾：（ 1）已知 x 2a ，那么 a 是 x 的 _; x 是 a 的_,记为 _, a 一定是 _数。（ 2） 4 的算术平方根为2，用式子表示为4=_；正数 a 的算术平方根 为 _ ， 0的 算 术 平 方 根 为 _ ； 式 子a0(a0) 的

2、 意 义是。（二）自主学习(1)16 的平方根是；(2) 一个物体从高处自由落下，落到地面的时间是t ( 单位：秒 ) 与开始下落时的高度h( 单位：米 ) 满足关系式h 5t 2 。如果用含 h 的式子表示 t ，则t =；(3)圆的面积为 S，则圆的半径是；(4)正方形的面积为 b3 ，则边长为。思考：16 ，h ，s ,b 3 等式子的实际意义 . 说一说他们的共同特征 .5定义 : 一般地我们把形如a （ a0）叫做二次根式， a 叫做 _。1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？3 ，16，3 4，5 ， a (a0) ， x2132、当 a 为正数时a 指 a

3、的，而0 的算术平方根是，负数，只有非负数 a 才有算术平方根。所以，在二次根式a 中，字母 a必须满足,a 才有意义。3、根据算术平方根意义计算：(1) (4 ) 2(2) (3)2（3）(0.5) 2（）( 1)243根据计算结果，你能得出结论： ( a)2_，其中 a0 ,4、由公式 (a ) 2a(a 0) ，我们可以得到公式 a = ( a ) 2 ,利用此公式可以把任意一个非负数写成一个数的平方的形式。如 (5 ) 2=5；也可以把一个非负数写成一个数的平方形式，如5=(5 ) 2 .练习： (1) 把下列非负数写成一个数的平方的形式：60.35(2) 在实数范围内因式分解x274

4、2a -11（三）合作探究例：当 x 是怎样的实数时，x2在实数范围内有意义？解：由 x2 0，得x2当 x2 时， x2 在实数范围内有意义。练习： 1、 x 取何值时，下列各二次根式有意义？ 3x 4221x2 x32、（1）若a33a 有意义，则 a 的值为 _（ 2）若x 在实数范围内有意义，则x 为（ ）。A. 正数B.负数C.非负数D.非正数3、(1)在式子12x1x中， x 的取值范围是 _.(2)已知x24+2 xy ，则x y _.0(3)已知 y3xx 32 , 则y x = _。（四）达标测试( 一) 填空题：21、352、若2x 1y 1 0 ，那么 x =， y =。

5、、当x=时，代数式 4x5 有最小值，其最小值是。34、在实数范围内因式分解：（ 1）x29 x2( ) 2 =（x+）( y- )（ 2）x23 x 2( ) 2=（x+）( y-)（二）选择题：、一个数的算术平方根是 a，比这个数大3的数为（）1A 、 a 3 B 、 a3 C 、 a3 D 、 a232 、二次根式 a1中，字母a 的取值范围是（）A 、 al B、a 1 C、a1 D、a12、已知x30 则 x 的值为A、 x-3B、x0）反过来，a =a （ a 0， b0）bbbb下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目（二）、巩固练习1、计算：（1） 12（2） 31（3） 11

6、（4） 6432841682 、化简：（ 1）3（2）64b2（3）9x（ 4）5x649a264 y2169 y2注： 1、当二次根式前面有系数时，类比单项式除以单项式法则进行计算：即系数之商作为商的系数，被开方数之商为被开方数。2、化简二次根式达到的要求：（1）被开方数不含分母；（2）分母中不含有二次根式。（三）拓展延伸阅读下列运算过程：1333 ， 2252 53335555数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”。利用上述方法化简：(1)2 =_ （）31 =_( )1 =_ _ ( )621210 =_ _2 5（四）达标测试：A 组1、选择题（1）计算112112的结果

7、是（）335A 25B 2C 2D 2777（ 2）化简32 的结果是（）27A -2B -2C -6D-23332、计算：（1） 2（ 2）2x3（3） 11（ ）9x488x416464 y2B 组用两种方法计算：（ 1）64（ 2）6834课后记：最简二次根式一、学习目标1、理解最简二次根式的概念。2、把二次根式化成最简二次根式3、熟练进行二次根式的乘除混合运算。二、学习重点、难点重点：最简二次根式的运用。难点：会判断二次根式是否是最简二次根式和二次根式的乘除混合运算。三、学习过程（一）复习回顾1、化简（ 1）96x4=（2） 32=27（3） 3=(4）3 2=（5）8 =5272a2

8、、结合上题的计算结果，回顾前两节中利用积、商的算术平方根的性质化简二次根式达到的要求是什么？（二）自主学习观察上面计算题1 的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点：1 被开方数不含分母；2 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式2、化简 :(1) 35x2 y4x4 y2(3)8x2 y3(4)8(2)1220（三）合作交流1、计算：1 22 11 23352、比较下列数的大小（ 1）2.8与3与（ ）2276674注： 1、化简二次根式的方法有多种，比较常见的是运用积、商的算术平方根的性质和分母有理化。2、判断是否为最简二次根式

9、的两条标准：（ 1）被开方数不含分母；（ 2）被开方数中所有因数或因式的幂的指数都小于2（四）拓展延伸观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：11(21)212 1，2 1(21)(21)2111(32)322 ，32(32)(32 )332同理可得：1=23， 23从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算（11+1）（ 20091）的值213220092008（五）达标测试：1、选择题（ 1）如果x （ y0）是二次根式，化为最简二次根式是（）yAxy）Bxy（y）Cxy（y）D以上都不对y（00y0（ 2）化简二次根式 aa2 的结果是a 2A 、a2B 、-a

10、 2C 、 a 2D、 - a 22 、填空：（ 1）化简x4x2 y2 =_（x 0）（ 2）已知 x1，则 x1 的值等于 _.52x3 、计算：（1） 1371(2)33 1(11 4)15 1442287424、计算：2ab5 ? (3a 3b)3b （ a0, b0）b2a、若 x、 y 为实数，且x244 x21，求 xy ? x y的值。5y=x2课后记：二次根式的加减学案 (1)学习内容：同类二次根式二次根式的加减学习目标：1、理解同类二次根式，并能判定哪些是同类二次根式2、理解和掌握二次根式加减的方法3 、先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解

11、再总结经验，用它来指导根式的计算和化简学习重点、难点1、重点：二次根式化简为最简根式2、难点：会判定是否是最简二次根式学习过程一、自主学习（一）、复习引入计算（ 1） 2x3x ；（ 2） 2x23x 25x 2 ；（3） x2x3 y ；（4） 3a 22a2a 2（二）、探索新知学生活动：计算下列各式（1）2 2+3 2 =（2）28 -38+5 8=（3） 7+2 7+3 9 7 =（4）33 -23+ 2=由此可见，二次根式的被开方数相同也是可以合并的， 如 2 2 与 8 表面上看是不相同的，但它们可以合并吗？也可以 （与整数中同类项的意义相类似我们把 3 3 与 2 3 ，3 a

12、、 2 a 与 4 a 这样的几个二次根式，称为同类二次根式）32+8=32+22=5233+27=33+33=63所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式， ? 再将同类二次根式进行合并例 1计算（1）8+ 18（ 2） 16x+ 64x例 2计算（ 1）3 48-91+3 12（2）（48+ 20）+3（12- 5）归纳：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并二、巩固练习(1)12 (11 )(2)( 4820) ( 125)327(3) x14 yxy1（ 4） 2 x 9x( x2 16 x x )x2y3x4三、学生小组交流

13、解疑，教师点拨、拓展22-4x-6y+10=0，求（2x） - （x21y）的值例 3已知 4x +y2 x 9x +y-5xx3y3x四、课堂检测（一）、选择题1 以下二次根式： 12 ；22 ；2 ；27 中，与3 是同类二次3根式的是（）A和 B 和C 和D 和2下列各式： 3 3 +3=63； 17=1； 2+6= 8=22 ；724 =22 ，其中错误的有（）A3 个B 2个C 13个 D0 个3在下列各组根式中，是同类二次根式的是()(A) 3和 18(B) 3和 1(C) a2 b 和 ab2 (D)a 1 和 a 134下列各式的计算中，成立的是()(A) 2525(B) 4

14、53 51(C)x2y2xy(D)452051, b1ab的值为 ()5若 a2则 ab ()211ba(A)2(B) 2(C)2(D)2 2二、填空题1在 8、175a 、 29a 、125、23a3、3 0.2、-21 中，与3a 是33a8同类二次根式的有 _2计算二次根式 5a -3 b -7a +9 b 的最后结果是 _3 若最简二次根式 3 2x 1 与 3x 1 是同类二次根式，则 x_若最简二次根式 3a b 与 a b2b是同类二次根式，则 a，b4_5计算：1323aa11（1）a（ ）327aa3a31082 322750.5a483三、综合提高题先化简，再求值y3xy3

15、) (4x36) ，其中 x3， y=27(6xyxxy=xy2课后记：二次根式的混合运算一、学习目标熟练应用二次根式的加减乘除法法则及乘法公式进行二次根式的混合运算。二、学习重点、难点重点：熟练进行二次根式的混合运算。难点：混合运算的顺序、乘法公式的综合运用。三、学习过程（一）复习回顾：1、填空（1）整式混合运算的顺序是：。（2）二次根式的乘除法法则是：。（3）二次根式的加减法法则是：。（ 4）写出已经学过的乘法公式：2、计算：（ 1）1（ 2）11（ ）1163ab32381250341625（二）合作交流1、探究计算：（1）（83）6（2）(4 23 6)222、探究计算：（1） (23

16、)(25)（2） (2 32)2（三）展示反馈计算： （1）12) 12（ ）( 2724332(235)(23)3（3） (3 2 2 3)2（）（10-7）（-10-7）4注：整式的运算法则和乘法公式中的字母意义非常广泛，可以是单项式、多项式，也可以代表二次根式， 所以整式的运算法则和乘法公式适用于二次根式的运算。（四）拓展延伸同学们，我们以前学过完全平方公式 (a b)2 a2 2ab b2 ，你一定熟练掌握了吧 ! 现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括 0）都可以看作是一个数的平方，如3=（3 ）2， 5=（5 ） 2，下面我们观察：(21)2(2) 22 12 12222

17、1322反之， 3222221 (2 1)2322(21)2 3 22=2-1仿上例，求：（1）；42 3（2）你会算412 吗？（ 3）若a2 bmn ，则 m、 n 与 a、b 的关系是什么？并说明理由（六）达标测试：A 组1、计算：（1）(8090)5（2）243623（3）(333)()（）（）(2 6-5 2)(-2 6-5 2)a babababa0, b042、已知 a1, b1，求 a 2b 210 的值。2121B 组1、计算：（1） ( 32 1)( 32 1)（2） (3 10) 2009 (3 10) 2009课后记：二次根式复习一、学习目标1、了解二次根式的定义，掌握

18、二次根式有意义的条件和性质。2、熟练进行二次根式的乘除法运算。3、理解同类二次根式的定义，熟练进行二次根式的加减法运算。4、了解最简二次根式的定义，能运用相关性质进行化简二次根式。二、学习重点、难点重点：二次根式的计算和化简。难点：二次根式的混合运算，正确依据相关性质化简二次根式。三、复习过程（一）自主复习1若 a0，a 的平方根可表示为 _a 的算术平方根可表示 _2当 a_时，12a 有意义，当 a_时， 3a 5 没有意义。3(3)2_( 32)2_41448_;7218_51227_;12520_（二）合作交流，展示反馈1、式子x4x4 成立的条件是什么 ?x5x52、计算： (1) 2 1213 52(2)125x349 y23计算：(1)2533 75(2)( 3 223)2（三）精讲点拨在二次根式的计算、化简及求值等问题中，常运用以下几个式子：（1） ( a ) 2a(a0)与 a ( a ) 2 (a 0)aa0（2） a 2a0a0aa0（3） a ? bab (a0, b 0)与 aba ?b (a 0, b 0)（ 4） aa (a0,0)与 aa (a0,b0)bbbbb（ 5） (a b)2a22abb2与(ab)( a b)a2b2（四）达标测试：A 组1、选择题：（1）化简52的结果是