随机过程复习提纲

1、1. 填空,n)则若Xi,X2,Xn是相互独立的随机变量，且gi(t)是X的特征函数,i=1,2,X=X+%+Xn 的特征函数 g(t)= gt) g 2(t)gn(t)2. 设P(S)是X的母函数，试证：(1)若 E(X)存在，则 EX=P(1)/ / 2 若 D(X)存在，则 DX = P(1)+ P (1)- P证明:(1)因为p( s)=k 0PkSk，则p (s)=kkPkSk1,令sT h得EX=1kPkP (1) o(1)+ p (1) p (1) 2(2)同理可证DX=p3. 设X服从B(n,p),求X的特征函数g(t)及EX,EX,DX.解：X的分布列为 P(X=k)=C k

2、 p k q n 1 , q=1-p,k=0,1,2,.n.gt kn Ck0pe it q n kpe it由性质得EXig.di -dtpeitnpEXiddtPeit2 2npq n pDXEXEXnpq设XN(0,1),求特征函数g(t).解 g(t)1itx Xe 2dx由于ix2 itx x e 22e2，且g(t)12itx xixe 2 dxiitx2xtTTe24.22itx Xe 2dx2itx xe 2dxixte,故由积分号下求导公式有2 x_ de 2tg(t)于是得微分方程g (t)+tg(t)=02t C解得方程的通解为g(t)由于g(0)=1,所以c=o,2于是

3、得X的特征函数为g(t) e*5.设随机变量YN(u,c 2)，求丫的特征函数是gy(t).2Y的特征函数是解：设XN(0,1),则由例知X的特征函数g(t) e V令Y= X ,则YN(y,c 2)，由前面的命题知2 2i t ti Xi t gYt e gx t e 2，设X,X2Xi是相互独立的随机变量且 Xb(ni,p),i=1,2,n,则nXii 1iXit Pqn,i1,2, .n,由特征函数的性质知,nXi的特征函数为i 1再有唯一性定理知Peit qniitpe qXib1nni,pi 1设 X,冷人是相互独立的随机变量，且x i ,i 1,2,.n,则nb nPi 1因为Xb

4、(ni,p),所以其特征函数为nXii 1因为X i所以其特征函数为iiteXit e,i 1,2,.n有特征函数的性质知，YX j的特征函数为i 1gYti 1 gXi.nei 1nn再由唯一性定理知Y Xii 1i 128. 设X1, X2Xn是相互独立的随机变量，且Xi N i, i ,i 1,2,.n，则nn2 Y Xi Ni， i。i 1i 12 证因为Xi N i， i ,所以其特征函数为Xi t1 it ,i 1,2,nn有特征函数的性质知，Y X j的特征函数为i 1gYtni 1 gXi. ii ei 11n22tit2i1iti 1再由唯一性定理知Y XiNi 19. 设商

5、店在一天的顾客数N服从参数入=1000的泊松分布，又设每位顾客所花 的钱数X服从N(100,502)，求商店日销售Z的平均值。n解：由条件知zXii 1而 EN=1000 EX1=100，故 EZ=EN EXi=1000X 100=100000(元)10. 设随机变量X的特征函数为gx(t),Y=aX+b,其中a,b为任意实数，证明丫的 特征函数gy(t)为g 丫 t f g x at.it aX bi at X ibtibti at Xibt证 gYt E e E e e e E e egxat11. 求以下各分布的随机变量 X的特征函数g(t).(1)两点分布b(1,p)(5) 正态分布2

6、)二项分布b(n,p) 指数分布Exp(入) 泊松分布p(入)(7) 均匀分布U(a,b)几何分布Ge(p) (8) 伽马分布r ( a,入) 解：(1)令 Xb(1,p),则 P(X=0)=1-p=q,p(x)=p.则根据特征函数的定义，得：1,2. .n.g teitX kp, kk 1 Jit?0it ?1e q e pitqPe令Xb(n,p),则k k nCn p qk,q 1 p,k1,2. n.itk ke C nk 0k it有特征函数定义，可知Cn e peitnp q令Xp(入),则p(Xk)kTe ,0,k 0,1.nek 0丄k 0 k!iteee有特征函数定义可知:k

7、itkk! ek it ee 设 XGe(p),则 p(X=k)=pqk-1 ,q=1-p,k=1,2 n有特征函数定义知:itk k 1g(t) e pqk 1itE?性_iq 1 qeit设XN0,C 2),因为当卩=0, (T =1时得出特征函数为g (t) g卩,则X的特征函数为itg(t) e g txe ,x 00,x 0设XExp(入),则可知密度函数f(x)则有特征函数定义，可得：itxg(t) e f x dxitxx0 e e dxxdxx011it0 eit厂eit 设XU(a,b),贝冋知密度函数为f(x)1 ,a b a0,其它itxg(t) e f xdxb itx

8、 1dxa b a1 b itxe dxb a aD1itx bb a it e a1itb itab a it e e(8)设xr ( a ,入),则密度函数f x,1 xx e ，x 00,x0g(t)itxe f x dxitxo e1xx e dx1 ito x exdx 令 Uit xUitdUititit第二章:1、随机过程若按状态空间与参数集分类可分为离散参数链，连续参数链，随机 序列，随机过程四类.2、 若X(t) , t T是零均值的二阶矩过程，若对任意的t1t2 t30,其中丫，Z是相互独立的N (0, 1)随机变量， 求 X(t) , t0的一维和二维概率密度族.解：由于

9、X与Z是相互独立的正态随机变量，故其线性组合仍为正态随机变量， 要计算X(t) ，t0的一、二维随机概率密度，只要计算数字特征m(t)，DX(t)，0 即可.m x(t)=E(Y+Zt)=EY+tEZ=0，D(t)=D(Y+Zt)=DY+t 2DZ=1+,B(s,t)=EX(s)X(t)- m x(s) m x(t)=E(Y+Zs)(Y+Zt)=1+st(亠、t) I 1 + fitPx(s, 1诙 乔丽 + 百，故随机过程X(t) , t0的一、二维概率密度分别为-1ft(x)= Jxp-，t0，1fS，t(Xl,X2)=毗 J(1 + 吕(1.eXP厶叭0,其中.4、设X(t) , t三0

10、是实正交增量过程，X(0)=0 , V是标准正态随机变量，若对 任意的t三0, X(t)与V相互独立，令丫(t)=X(t)+V，求随机过程Y(t) , t三0的 协方差函数.解：依题意知EX(t)=0 , EV=0,DV=1所以EY(t)=EX(t)+V=EX(t)+EV=0,B 0是参数为c 2的维纳过程，对于任意的n,任取0 t1t 2-0是正态过程.6、设X(t), t a,b是正交增量过程，且X(a)=0 ,定义F(t)表示EX(t) 2=FX(t,t), t T,则有:(1) R/(s,t)=F(mi n(s,t)(2) F(t)是a,b上的非负单调不减函数.证明：(1)假设astb

11、,Rx(s,t)=EX(s)X(t)=EX(s) X(t) -X(s) X(s)=EX(s) 2=F(s)同理若 sstb,贝U FX(s,t)=F(t) 所以 R(s,t)=F(min(s,t) 对任意的 astb，求证 F(s) 0F(t)-F(s)=E X(t) 2-E X(s) 2=EX(t) X(t) -R X(s,t)=EX(t) X(t) - EX(s) X(t)=EX(t)-X(s)X(t) =EX(t)-X(s)X(t) -X(s) X(s) =EX(t)-X(s)X(t) -X(s) +EX(t)-X(s)X(s) X(a) =EX(t) -X(s) 2 0所以F(t)是a

12、,b上的非负单调不减函数,证毕.7、 设A, B是两个随机变量.试求随机过程X (t) =At+B,t (-,)的均值函数和自相关函数。如果 A, B相互独立，且AN(0,1),BU(0,2),问X (t )的 均值函数和自相关函数又是什么？8、求随机相位正弦波X (t) =acos ( t ), t (-,)的均值函数，方差函数和自相关函数，其中a和 是正常数，U(0,2) o 2、泊松过程的定义：称计数过程X(t), t 0为具有参数入0的泊松过程，若 它满足下列条件：(1)X(0)=0;X(t)是独立、平稳增量过程；(3) X(t)满足下列两式：PX(t+h)-X(t)=1=入 t+o(

13、h),PX(t+h)-X(t)2=o(h)3、设X (t) ,t 0是参数为入0的泊松过程，则均值函数和自相关函数10、设有两个随机过程X(t)= g1 (t+ )和 丫(t)= g2(t+),其中 g1 和 g2 都是周期为L的周期方波，是(0，L)上服从均匀分布的随机变量。求相互函数Rxy (t，t+)的表达式。第三章1、 泊松过程的定义：称计数过程X(t), t 00,为具有参数入0的泊松过程，若 它满足下列条件：(1) X(0)=0;(2) X(t)是独立增量过程； 在任一长度为t的区间(s,s+t中，事件A发生的次数X(t+s)-X(s)服从参数 入t的泊松分布，即对任意s, t 0

14、,有nP X(s t) X(s) n e 七一L,n 0,1,.n!t解： EX(t) mx(t) = 1/2(1 cos(ws)ds=1/ 2(t 1/ sin( t)0DX(t) mx(t) 1/ 2(t 1/ sin( t)5、设移民到某地区定居的户数是一泊松过程，平均每周有2 户定居。如果每户的人口数是随机变量，一户四人的概率为 1/6 ，一户三人的概率为 1/3 ，一户二 人的概率为 1/3 ，一户一人的概率为 1/6 ，并且每户的人户数是相互独立的，求 在五周内移民到该地区人口的数学期望和方差。解：设 N(t) 为在时间0 ，t 内的移民户数， Yi 表示每户的人口数，则在 0，t

15、N(t)内的移民人数 X(t)=Yii1是一个复合泊松过程。 Yi 是相互独立且具有相同分布的随机变量，其分布列为P(Y=1)= P(Y=4)=1/6P(Y=2)=P(Y=3)=1/3EY=15/6 , EY 2=43/6根据题意知 N(t) 在 5 周内是强度为 10的泊松过程 ，m x(5)=10 EY1=10 15/6=25x (5)=10EY12 =10 43/6=215/36、设Xi(t)和X2(t)是分别具有参数入i和入2的相互独立的泊松过程，证明:丫(t)=X 1(t)+X 2(t)是具有参数入1+入2的泊松过程。证明： Y(t) 是独立增量过程，且PY(t+ T )-Y(t)=

16、n=PX i(t+ t )+X2(t+ t ) - Xi(t) - X2(t)=n=PX i(t+ t ) - Xi(t)+X 2(t+ t ) - X2(t)=n-nPX 2(t)- X2(t) n-i, X1(t) -X1(t) ii0n= PX 2(t )-X2(t) n-i PX 1(t)-X1(t)iyH _ XnT y空目1 - ce* ii* (n - I)!7、设到达某商店顾客组成强度为 入的泊松过程，每个顾客购买商店的概率为P, 且与其它顾客是否购买商品无关， 若Yt，t 0是购买商品的顾客数，证明Yt , t 0是强度为入P的泊松过程。证明：设X(t)，t 0表示到达商店的

17、顾客数，i表示第i个顾客购物与否，即:1,第i个顾客购物，0,第i个顾客不购物.则由题意知i, i=1，2,独立同分布，且与X(t)独立P i=1=p，P i=0=1-pX(t)因此，丫(t)=i是复合泊松过程，i 1EY(t)=入 tE( i)=入 pt，Y(t)的强度 丫 =EY(t)/t=入 p.8、设在0,t内事件A已经发生n次，且0 s t，对于0 k n,求P X(s) k X(t) n .解：利用条件概率及泊松分布得:P X(S) k X(t)P X(s) k,X(t) n =P X(t) nn =P X(s) k,X(t)-X(s) n-k =P X(t) nes3ek!(t-

18、s),、n-k(t-s)(n - k)!n!cn(；)kn-k这是一个参数为n和s的二项分布t9、设X(t)，t 0是具有参数为的泊松过程，假定S是相邻事件的时间间隔,证明PS Si S2S Si =PS S2 ,即假定预先知道最近一次到达发生在 S1秒,下一次到达至少发生在将来 S2秒的概率等于在将来S2秒出现下一次事件的无条 件概率解：P S Si S2SSi =PX(Si S2)-X(Si)00_( S2)=e0!=eS2=i-P(SS2)= P(SS2)io、设在0,t内事件A已经发生n次，求第k次事件A发生的时间W的条件概 率密度函数。S ,1S+h丄J LtWWII、设Xi(t),

19、t 0和X2(t),t0是两个相互独立的泊松过程，它们在单位时间内平均出现的事件数分别为入i和入2。记w；为过程Xi(t)的第k次事件到达2i2事件，Wi为过程X(t)的第i次事件到达时间，求PWk 0是具有跳跃强度(工 0).求 EX(t)和 DX(t).1(t)21 COSt的非其次泊松过程t解：由mX(t)=sds式得0Ex(t) mx(t)111 cos t ds02丄 t -sin t2t11由 m(t)= sds式知 DX(t)= mx(t)t sin t0213、设 Wn, n 1是与泊松过程X(t), t0对应的一个等待时间序列，试证明Wn服从参数为n与 的 分布,并请写出其概

20、率密度证明：注意到第n个事件在时刻t或之前发生当且仅当到时间t已发生的事件数目至少是n,即：X(t) n Wn因此 P Wnt PX(t) nj!对上式求导,得Wn的概率密度是:f Wn (t)j! j n(j-1)!t ( t)n-1(n-1)!14、设X(t),t0是具有均匀函数 m(t)=sds的非其次泊松过程，W,n 0是等待时间序列。求Wn的概率密度。PWn t PX(t)n jn j!上式对t求导。得到W的概率密度为j 1mtm(t)enm j!由于m t t。故Wn当t 0使购买商品的顾客数，证 明Yt,t 0是强度为入p的泊松过程。解：设X (t) ,t 0表示到达商店的顾客数

21、，Ei表示第i个顾客购物与否,即1第i个顾客购物，i 0,第i个顾客不购物。则由题意知 E i,i=1,2独立同分布，且与X(t ) 独立，P ( E i=1)=p, PX(t)(E i=0)=1-p,因此，Yt是复合泊松过程,EY(t)=入 tE( E 1)=入 ptn 1m(t)eY(t)的强度 入Y=EY(t)/t=入t16、设X (t) ,t 0为具有参数(1)E(W)=n,即泊松过程第n入的泊松过程,证明次到达时间的数学期望恰好是到达概率倒数的n倍。(2)D(W)=三，即泊松过程第n次到达时间的方差恰好是达到概率倒数的n证明：(1)设Ti表示X (t) ,t 0第i-1次事件发生到第

22、i次事件发生的时间 间隔，贝U Ti , i=1,n相互独立且服从均匀值为1/入的指数分布。1eTi -,DTii=1,n(1) DWnnTii 1nETii 1DWnnTii 1nDTii 116、设 X(t), t是具有参数0的泊松过程，试求其有限维概率分布族.解：对任意的自然数n, 0t1t2. tn及任意的非负整数,5 有:k2,.,X(tn)kn显然k1 k2knPX(t1) k1,X(t2)-X(t1)k2-k1,.,X(tn)-X(tn-1) kn - k n-1PX(tJ k1 PX(t2)-X(tJ k2-k1 . PX(tn)-X(tn-1)心火(tjk1ekJ(t2-tj

23、k2k1e (t2-t1)(tn-tn-1)kn kn1e (tn-tn-1)(k2 k1)!(kn kn 1)!kntn k1k2 k1kn kn 1e 1 (t2 -1 丿(t n -n-1丿&心2 kJ! (kn kn)17、X(t), t 0是具有参数0的泊松过程，Tn, n1是对应的时间间隔序列,试证明随机变量Tn(n1,2,.)是独立同分布的均值为1的指数分布.解：首先注意到事件 人t发生当且仅当泊松过程在区间0,t内没有事件发生,因而 PT1t P X(t) 0 e t,即 Ft1 (t)PT1t1PT1t 1 e t,所以服从均值为1的指数分布.利用泊松过程的独立、平稳增量性质

24、，有:PT2t s P在s,s t内没有事件发生T1 s P在s,s t内没有事件发生PX(t s)-X(s)0P X(t) - X(0)0 e即FT (t)PT2t 1 PT2 t 1 e t ,故T2也是服从均值为丄的指数分布.对于任意n1和t, sS2,.,s n_i 0 ,有PTnS1 ,.,Tn-1Sn-1P X(t s1. sn-1) -X(s1 s2Sn-1)0P X(t)X(0)0e ,即 Ft (t)PTnt1 e tn所以对任一 Tn(n1),其分布是均值为丄的指数分布 18.设 X t ,t 0是泊松过程，求其特征函数族证明：例某镇有一小商店，每日上午8:00开始营业，从

25、8:00到11:00平均顾客到达率线性增加，在8:00顾客平均到达5人/h ； 11:00到达率达到最高峰20人/h ；从上午11:00 到下午1:00平均顾客到达率为20人/h ；从下午1 :00到下午5:00顾客到达率线性下 降，到下午5:00时为12人/h，假定在不重叠的区间内到达商店的顾客数是相互独立 的，问在上午8:30至9:30时间内无顾客到达商店的概率，并求这段时间到达商店的 顾客数的数学期望。第四章1、设Xn，n T为马尔可夫链，试证明：对任意整数n 0, 1 l n和i,j I,n步转移概率P(：)P(k)pk：-l)k I证明:利用全概率公式及马尔可夫性，有PffPXm n

26、 jXm i PXmX m n jPXm iPXm Mmi k,Xmn j PXm i, X m 1 kk I PXm i,Xml kPXm iPXm n jXm l k PXm l k Xm ik Ip()(m l)p(k)(m) 卩你肚k Ik I2、 设质点在数轴上游动，每次游动一格，向右移动的概率为p,向左移动的概率为q 1 p,这种运动称为无限制随机游动.以Xn表示时刻n质点所处的位置，则Xn,n T是一个齐次马尔可夫链，试写出它的一步和k步转移概率.解:显然Xn,n T的状态空间I 0, 1, 2,.,其一步转移概率矩阵为P .q0p0.设在第k步转移中向右移了x步，向左移了y.0

27、q0p.步,且经过k步转移状态从i进入j,则：x y k, x-y j-i,从而x兰 回，y k-(j -i).由于x,y都只能取整数，所以k (j-i)必须2 2是偶数.又在k步中哪x步向右，哪y步向左是任意的，选取的方法有 ck种.于是(k)C；pxqy, k (j-i)为偶数,P ij0, k (j -i)为奇数.3、设昨日、今日都下雨，明日有雨的概率为；昨日无雨，今日有雨， 明日有雨的概率为；昨日有雨，今日无雨，明日有雨的概率为；昨日、 今日均无雨，明日有雨的概率为.若星期一、星期二均下雨，求星期 四下雨的概率.解：设昨日、今日连续两天有雨称为状态O(RR)，昨日无雨、今日有雨称为状态

28、1(NR)，昨日有雨、今日无雨称为状态 2(RN)，昨日、今 日无雨称为状态3(NN)，于是天气预报模型可看作一个四状态的马尔 可 夫 链， 其 转 移 概 率 为： p oo P R今R明R昨R今 P连续二天有雨P R明R昨R今 0.7p01P N今R明R昨R今0(不可能事件)，p02P R今R明R昨R今P N明R昨R今10.70.3p03P N今N明R昨R今0(不可能事件),其中R代表有雨，N代表无雨.类似地可得到所在状态的步转移概率.于是它的步转移概率矩阵为:p00p01P02P030.700.30Pp10P11p12p130.500.50厂p20P21p22p2300.400.6.p3

29、0p31p32p3300.200.8其两步转移概率矩阵为:0.700.300.700.300.490.120.210.180.500.500.500.500.350.200.150.30PPP00.400.600.400.60.200.120.200.4800.200.800.200.80.100.160.100.64由于星期四下雨意味着过程所处的状态为0或1,因此星期一、星期二连续下雨，星期四下雨的概率为：p p02)p02)0.49 0.12 0.61 .4、设质点在线段1,4上做随机游动，假设它只能在时刻n T发生移动, 且只能停留在1,2,3,4点上.当质点转移到2,3点时,它以13的

30、概率 向左或向右移动一格，或停留在原处当质点移动到点1时,它以概率 1停留在原处当质点移动到点4时，它以概率1移动到点3.若以Xn表 示质点在时刻n所处的位置，则Xn,n T是一个齐次马尔可夫链，其转移概率矩阵为：10001 31 31 3001 31. 31 30010试画出各状态之间的转移关系图及标出相应的转移概率.解：由题意可得各状态之间的转移关系及相应的转移概率如下图所示：131321131331335、设马尔可夫链状态空间I1,2,3,4 ,其一步转移概率矩阵为1 21 2001R0f0f0,试将状态进行分类.01 32 31.201 20解：对于n f4；)0, f44f； 0 1状态4为非常返状态n 1对于f33) 2, f3(3)o(n 2)f33f33)2 1,状态3是非常返的3n 13对于瞄f11嶠曾1又d=122状态1是正常返,非周期的，从而为遍历的对于f2(2)Of22)T 22(n)22(n)T 22n 1n-1n 2 2所以状态2为正常返,d=1,非周期的，从而是遍历的各状态之间的转移关系及相应的转移