高斯小学奥数六年级上册含答案第14讲 工程问题综合提高

1、第十四讲工程问题综合提高本讲知识点汇总：1.工程问题基本公式：工作量=工作效率工作时间；工作时间=工作量工作效率；工作效率=工作量工作时间2.理解“单位1”的概念并灵活应用；3.有的工程问题，工作效率往往隐藏在条件中，工作过程也较为复杂，要仔细梳理工作过程、灵活运用基本数量关系；工作量其实是一种分率，利用量率对应可以求出全部工作的具体数量典型题型1.基本效率计算：最常见的工程问题，基本思路是根据工作过程计算效率，通过对效率的分析计算时间（1）基本工程问题：关键在于效率的计算；（2）中途离开或加入型：算清楚每个人工作的时间或合作时间即可；（3）来回帮忙型：先利用每个人都在干活算出总时间，再根据总

2、时间算每个人具体的工作安排；2.具有周期性的工程问题（1）轮流工作型：先处理合作的整的单位时间工作量，再独做处理零头，即剩余的工作量；（2）间隔休息型：先考虑一个周期各自的工作量，再分段处理；3.工程问题中的比例（1）正反比的应用：关键要明确“什么是不变的”，从而知道该用何种比例；（2）效率变化：类似于行程问题中的变速问题，需要从变速点分段计算；4.水管问题和牛吃草问题（1）牛吃草问题型：设效率，比较总量；（2）水管问题型：注意有“帮倒忙”的水管例1生产一批帽子，甲、乙二人合作需15天完成现由甲先单独工作5天，再由乙单独工作3天后还剩这批帽子的34没完成若甲每天比乙少加工4个帽子，则这批帽子共

3、有多少个？分析题中已知甲、乙的工效和，那么就应想办法让甲、乙同时工作，不妨采用假设的工作方式分析题目练习1、一件工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做30天完成现在两队合作，期间甲队休息了2天，乙队休息了8天开始到完工共用了多少天时间？例2a仓库货物是b仓库的2倍，甲搬运a仓库需要32小时，乙、丙搬运b仓库分别需要24小时和12小时甲在a仓库、乙在b仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运，最后两仓库货物同时搬完丙帮助甲搬了多少小时？分析总的工作量是已知的，工作效率的和也知道，在整个工作的过程中没有人休息，那么，我们可以求出工作时间练习2、墨莫带着阿呆和阿瓜去割草单独割完一

4、个草地的草，阿呆需要9个小时，阿瓜需要12个小时，墨莫只需要18个小时就行现在阿呆和阿瓜各自负责一个大小相同的草地墨莫先帮助阿瓜，一会去帮助阿呆，最后阿呆和阿瓜一起完成了割草的任务，那么墨莫共帮助阿呆割了多少个小时？例3小鹿、小羊、小猪三名打字员承担一项打字任务，若由这3人中的某人单独完成全部打字任务，则小鹿需24小时，小羊需20小时，小猪需16小时（1）如果鹿、羊、猪三人同时打字，那么需要多少小时完成？（2）如果按鹿、羊、猪的次序轮流每人各打1小时，那么需要多少小时完成？（分析（1）直接计算即可；2）分析可得每3个小时可以作为一个周期，那么在完成工作的过程中需要多少个整周期哪？例5一批蜘蛛侠

5、模型，做了后，提速25%，提前3小时完成任务；如果做了400个模型练习3、一个水池有两根进水管，单开甲管12小时注满，单开乙管15小时注满，现在甲乙管轮流打开，甲管打开1小时，乙管打开1小时，甲管打开1小时，乙管打开1小时重复交替下去，那么注满水池共需要多少小时？例4甲工程队每工作6天必须休息1天，乙工程队每工作5天必须休息2天，一项工程，甲工程队单独做需104天（含休息），乙工程队单独做需82天（含休息），如果两队合作，从2012年8月28日开工，则该工程在哪一天可以竣工？分析分析可得两个工程队都是每7天为一个周期，那么一个周期内它们完成的工作量分别是多少呢？（练习4、姜太公“三天打鱼两天晒

6、网”打三天鱼休息两天），周文王“四天打鱼一天晒网”，姜太公打满一缸鱼要38天，周文王打满同样的一缸鱼要37天，两人从2012年9月2号开始打鱼，在几月几号可以合打满一缸鱼？14后，提速20%，可以提前2小时完成任务，那么这批模型有多少个？分析不妨画出一个类似行程问题的线段图来分段分析本题例6甲、乙两项工程分别由一、二队来完成在晴天，一队完成甲工程需要12天，二队完成乙工程需要18天；在雨天，一队的工作效率要下降40%，二队的工作效率要上升20%结果两队同时完成这两项工程，那么在施工的日子里，雨天有多少天？分析在解决某些工程问题时列方程是个不错的选择智慧的结晶梦溪笔谈宋代是中国古代数学最辉煌的时

7、期之一北宋大科学家沈括的名著梦溪笔谈中，有10多条有关数学的讨论，内容既广且深，堪称我国古代数学的瑰宝沈括最重要的数学探讨是隙积术和会圆术隙积术在我国数学史上开辟了高阶等差级数求和的研究领域所谓“隙积”，指的是有空隙的堆积体、例如酒店中堆积的酒坛、叠起来的棋子等，这类堆积体整体上就像一个倒扣的斗，与平截头的长方锥（刍童）很像但是隙积的边缘不是平的，而中间又有空隙，所以不能照搬刍童的体积公式沈括经过思考后，发现了正确的计算方法他以堆积的酒坛为例说明这一问题：设最上层为纵横各2个坛子，最下层为纵横各12个坛子，相邻两层纵横各差1坛，显然这堆酒坛共11层；每个酒坛的体积不妨设为1，用刍童体积公式计算

8、，总体积为37846，酒坛总数也应是这个数显然，酒坛数不应为非整数，问题何在呢？沈括提出，应在刍童体积基础上加上一项“(下宽-上宽)高6”即为1106，酒坛实际数应为(3784+110)6=649加上去的这一项正是一个体积上的修正项在这里，沈括以体积公式为基础，把求解不连续的个体的累积数（级数求和），化为连续整体数值来求解，可见他已具有了用连续模型解决离散问题的思想会圆术是对圆的弧矢关系给出的比较实用的近似公式，主要思想是局部以直代“”曲沈括进一步应用九章算术中弧田的面积近似公式，求出弧长，这便是会圆术公式沈括得出的虽是近似公式，但可以证明，当圆心角小于45时，相对误差小于2%，所以该公式有较

9、强的实用性这是对刘徽割圆术以弦（正多边形的边）代替圆弧思想的一个重要佐证，很有理论意义后来，郭守敬、王恂在历法计算中，就应用了会圆术在梦溪笔谈中，沈括还应用组合数学法计算得出围棋可能的局数是3361种，并提出用数量级概念来表示大数3361的方法沈括还在书中记载了一些运筹思想，如将暴涨的汴水引向古城废墟来抢救河堤的塌陷，以及用挖路成河、取土、运输，最后又将建筑垃圾填河成路的方法来修复皇宫等沈括对数的本质的认识也很深刻，指出：大凡物有定形，形有真数”显然他否定了数的神秘性，而肯定了数与物的关系他还指出：“然算术不患多学，见简即用，见繁即变，乃为通术也作业1.一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独

10、做30天完成，现在由两队合作，其间乙队休息了若干天，从开始到完工共用了14天，那么乙队休息了多少天？2.一项工作由甲先做6小时，再由乙做12小时即可完成，如果甲先做8小时，乙再做6小时也可完成如果甲先做3小时，则乙还需要做几小时？3.某工程可由若干台机器在规定的时间内完成如果增加2台机器，则需要用规定时间的72就可完成；如果减少2台机器，那么就要推迟小时完成问由一台机器完成这项83工程需要多少小时？4.草场上放有一堆草，并且还有一片草以均匀的速度生长着，如果放养8头牛，则10天可以吃完；如果放养10头牛，则6天可以吃完，那么如果放养15头牛，可以吃几天？5.搬运一个仓库的货物，甲需要10小时，

11、乙需要12小时，丙需要15小时现有两个相同的仓库a和b，甲在a仓库，乙在b仓库同时开始搬运货物，丙先帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运，最后两个仓库货物同时搬完，那么丙帮助甲几小时，帮助乙几小时？第十四讲工程问题综合提高例7答案：240详解：由已知条件可知甲乙工作效率和为1，而甲工作5天加上乙工作3天相当于甲15-3)2=，进而乙合作三天后甲又独自工作了2天，所以甲的工作效率为(1-31141540-=，所以这批帽子共有4(-)=240个可知乙的工作效率为111111540242440型的题目；3+=16小时，对于a仓库：甲搬了1616=1，丙帮甲搬了(2-1)=12小时；（2）192例9答案：

12、（1）详解：三人的工作效率之和为，-，=小时，即轮流工作6个周期后，鹿又工作了1个小时，羊又工作了小时，所以共需要：63+1+2=192小时；因为82=711+5，所以乙工作一天可完成甲乙两人例8答案：12详解：在整个过程中甲、乙、丙均没有停止，一直在工作，所以可以从整体上考虑这类111116241211224037311137+=242016240111240+)=（1）三人同时工作时所需的时间为1(+；（2）三人依次各做1小2420163711137+=时，也就是周期是3小时的周期性合作，且每个周期可完成而24201624037373111126=24040402430302032333例

13、10答案：10月12日详解：把工程总量看作单位“1”，因为104=714+6，所以甲工作一天可完成1111=614+690511+560合作周期性工作，每7天完成的工作量为1136+5=，则经过6个周期后还剩906020余的工作量为1-31111+=6=，而甲乙合作一天可完成，所以420109060361118=3，因此所需的时间为67+4=46，由于8月有31日，所以8月份工10365作了4天，而46=4+30+12，因此要到10月12日方可完工例11答案：1000详解：第一次提速前后的工作效率比是4:5，工作时间比是5:4，所以完成整个工作需(1-)=20小时，第二次提速前后的工作效率比是

14、5:6，工作时间比是6:5，要3535-44详解：由题意可知，晴天甲效率，乙效率x；y雨天时甲效率，乙效率，假设1220x=6共有x个晴天，y个雨天，则可列出方程：，解得，所以雨天有10xyy=10+=1天，相当于甲和乙一起休息2天后，乙又独自多休息了6天，此时甲独自完成了6=，3111-+=3天，所以共用：得总的工作时间为2+=8小时，因此墨莫共帮助阿呆割了912181-8=2小时6=，剩余的工作量就是1-=，-=，共需要13小时所以400个模型需要8个小时，那么这批模型有1000个例12答案：1011111218+=12015天1815练习：练习1、答案：1111简答：甲的工作效率是，乙的

15、工作效率是，期间甲队休息了2天，乙队休息了8103013105剩下的由甲和乙同时完成，所用的时间为510302+6+3=11天练习2、答案：2简答：在整个过程中三人没有停止，一直在工作，所以总的工作量除以总的工作效率可111+119181练习3、答案：13小时4113简答：两人各做1小时，周期是2小时，两人合作一小时的工作量是+=，而1215201113991112010101010121544练习4、答案：9月19号简答：两人都是5天一周期，姜太公打满一缸鱼相当于实际工作的天数是24天，周文3431+=王实际工作天数是30天，所以一周期效率和是，所以共三个周期15天，243012031991

16、13=而剩下的工作量是1-，恰好需做(+)=3天，所以总共要打1812040402430简答：首先把这项工程的工作量看作单位“1”，则甲、乙的工作效率分别为、设2030乙队休息了x天，由已知条件可得：14+(14-x)=1，解得x=5天，所以是9月19号作业1.答案：5111120302.答案：21简答：在工作总量不变的情况下，甲工作6小时、乙工作12小时或甲工作8小时、乙工作6小时都可完成，对比前后两种情况可知当甲多工作8-6=2个小时，乙少工作了12-6=6个小时，即甲1个小时的工作量由乙来做要3个小时因此当甲由原来工作6小时变为工作3小时后，乙要比原来多工作9小时，所以乙需要做21小时3.答案：56简答：增加2台机器后只需用规定时间的78就可完成任务，把规定时间分为8份，即2的工作时间为122=4小时，因此14台机器要用4个小时完成，所以一台机器原来所有机器工作1份时间的工作量由2台机器用7份时间完成了，由反比关系可知原72来有2=14台机器；减少2台机器剩余