高中数学《幂函数》导学案

1、第9课时幂函数1.通过实例,了解幂函数的概念,会求幂函数的解析式.2.结合幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=x-1,y=的图象,了解它们的变化情况.3.会解答与幂函数有关的函数问题.在初中,我们学过一些特殊图形或几何体的面积和体积公式,它们其实也是函数,如正方形的面积s关于边长a的函数是s=a2,正方形的边长a关于面积s的函数是a=,圆的面积s关于半径r的函数是s=r2,正方体的体积v关于棱长a的函数是v=a3.问题1:把上面函数的自变量和因变量换成字母x和y表示分别是y=x2,y=,y=x2,y=x3,其中符合y=x形式的函数有个,分别是,.问题2:什么是幂函数?一般地,形如(其中为常数

2、,为自变量)的函数称为幂函数.问题3:幂函数解析式有什么特点?与指数函数解析式有什么区别?幂函数解析式中底数是变量,指数是常量;指数函数解析式中底数是常量,指数是变量;它们系数都为.问题4:五个常用幂函数的图象与性质幂函数y=x定义域r值域ry=x2r0,+)y=x3rry=0,+)0,+)1y=x-x|x0y|y0在0,+)单调性增函数上是增函数,在(-,0上是减函数增函数在(0,+)增函数上是减函数,在(-,0)上是减函数(续表)奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶奇函数关于(0,0)关于y轴关于(0,0)关于(0,0)对称性点对称对称点对称点对称(0,0),(1,1(0,0),(1,1过定点

3、(0,0),(1,1)(0,0),(1,1)(0,0),(1,1)幂函数的概念已知y=(m2+2m-2)-+2n-3是幂函数,求m,n的值.幂函数单调性的应用比较下列各组数中两个数的大小.(1)()0.5与()0.5;(2)(-)-1与(-)-1;(3)1.与1.1-1.幂函数的实际应用根据统计,一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位:分钟)为f(x)=(a,c为常数).已知工人组装第4件产品用时30分钟,组装第a件产品用时15分钟,那么c和a的值分别是().a.75,25b.75,16c.60,25d.60,16若f(x)=-,则满足f(x)0,且a1)x1重点难点探究探究一:【解析】由题

4、意得-解得m=-3,n=即为所求.【小结】幂函数的定义同指数函数、对数函数一样,是一种形式定义,其表现形式非常严格.判断一个函数是否为幂函数,关键是看它是否具有幂函数的三个特征:指数为常数,且为任意实常数;底数为自变量;系数为1.探究二:【解析】(1)幂函数y=x0.5在(0,+)上是单调递增的,又,()0.5()0.5.(2)幂函数y=x-1在(-,0)上是单调递减的,又-(-)-1.(3)幂函数y=为单调增函数,1.1.1幂函数y=1.1x是单调增函数,1.1-11.1-1.【小结】本题是比较大小的常见题型,关键在于构造适当的函数.若指数相同而底数不同,则考虑幂函数;若指数不同底数相同,则

5、考虑指数函数;若底数不同,指数也不同,则需引入中间量.利用幂函数与指数函数的单调性,也可以借助幂函数与指数函数的图象.探究三:【解析】根据已知条件,当xa时,f(x)=为常函数.又第a件产品用时15分钟,即=15,所以第4件产品用时30分钟应该使用44,则=30,且=15,解得c=60,a=16.【答案】d【小结】题目给出的是分段函数,根据其与a的大小不同而选择的解析式不同,同时要弄清楚自变量x的含义是第x件产品,而4与a的大小不确定,所以需要对4与a的大小关系进行分类讨论.由于当xa时,函数值为常数,所以第a件产品用时15分钟必须使用这个解析式,所以第4分钟时只能使用这个解析式,列出方程组求解.因此对