高中数学一轮复习微专题第⑨季平面向量：第7节平面向量的数量积运算

1、第7节平面向量的数量积【基础知识】一、两个向量的夹角1定义已知两个非零向量a和b，作oaa，obb，则aob叫做向量a与b的夹角2范围aa向量夹角的范围是0180与b同向时，夹角0；与b反向时，夹角180.3向量垂直如果向量a与b的夹角是90，则a与b垂直，记作ab.二、平面向量数量积bbb1已知两个非零向量a与b，则数量|a|cos叫做a与b的数量积，记作a，即ab|a|cos，其中是a与b的夹角a规定00.b当ab时，90，这时a0.b2a的几何意义：b数量积a等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积三、向量数量积的性质ea1如果e是单位向量，则ae.b2aba0.a3a

2、|a|2，|a|=aa.4cosab.(为a与b的夹角)|a|b|bb5|a|a|.四、数量积的运算律ba1交换律：ab.ccc2分配律：(ab)ab.babb3对r，(a)()a()五、数量积的坐标运算b设a(a1，a2)，b(b1，b2)，则：1aa1b1a2b2.2aba1b1a2b20.3|a|a21a2.4cosababab|a|b|1122.(为a与b的夹角)a2a2b2b21212【规律技巧】1.平面向量数量积的计算方法b已知向量a，b的模及夹角，利用公式a|a|b|cos求解；已知向量a，b的坐标，利用数量积的坐标形式求解(2)对于向量数量积与线性运算的综合运算问题，可先利用数

3、量积的运算律化简，再进行运算om【典例讲解】且【例1】(1)(2014重庆卷已知向量a与b的夹角为60，a(2，6)，|b|10，b则a_(2)已知正方形abcd的边长为1，点e是ab边上的动点，则decb的值为_；dedc的最大值为_法二以射线ab，ad为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则a(0，0)，b(1，0)，c(1，1)，d(0，1)，设e(t，0)，t0，1，则de(t，1)，cb(0，1)，所以decb(t，1)(0，)1.0因为dc(1，0)，所以dedc(t，1)(1，)t1，故dedc的最大值为1.【变式探究】(1)已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1e12

4、e2，b23e14e2，则b12_【解析】(1)b12(e12e2)(314e2)3e212e128e22【答案】(1)10(2)11规律方法(1)求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义(2)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，可先利用向量的加减运算或数量积的运算律化简再运算但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补3b(2)已知点a，b，c满足|ab|3，|bc|4，|ca|5，则abbcbccacaab的值是_bee3211cos86.334(2)法一如图，根据题意可得abc为直角三角形，且b，cosa，cosc，255abbcbc

5、cacaabbccacaab45cos(c)53cos(a)20cosc15cosa4320155525.法二易知abbcca0，将其两边平方可得ab2bc2ca22(abbcabcabcca)0，故abbc1abcabcca(ab2bc2ca2)25.2【答案】(1)6(2)25【针对训练】1、已知|a|5,|b|3,且ab12,则向量a在向量b上的投影等于（）a4b4c【答案】a1212d55【解析】ab=|a|cos，而a在b上的投影为|a|cos=ab-12=-4.|b|3a632、已知向量ab2,8，ab8,16，则a与b夹角的余弦值为（）63635bcd656565133、设向量a

6、(1,2)，b(m,1)，如果向量a2b与2ab平行，那么a与b的数量积等于()7a23c.21b25d.24、已知向量a(x1,2)，b(2,1)，且ab，则x（）a12b1c5d0【练习巩固】1如图，在矩形abcd中，ab2，bc2，点e为bc的中点，点f在cd上，若abafaebf2，则的值是()a.2b2c0d1af【解析】依题意得aebf(abbe)(ab)abafab2beafbeab221202，故选a.【答案】a2在abc中，abac2，bc23，则abac()a23b2c23d2【答案】d4、已知单位向量e1与e2的夹角为，且cos，向量a3e12e2与b3e1【答案】2（3

7、e12e2）3e1e2）|3e12e2|3e1e2|bab3、设向量a(3，3)，b(1，1)若(a)()，则实数_babba【答案】3【解析】因为a(3，3)，(3，3)，又(a)(bbab)，所以(a)()(3)(3)(3)(3)0，解得3.13e2的夹角为，则cos_23ba（【解析】cos|a|b|9e219e1e22e2e212e9e2112e14e29e26e1e219923191243196138322232.5、若向量a，b满足：1，(ab)a，(b)b，则|()a2b.2c1d.2221121【答案】b【解析】因为(ab)a，所以(ab)0，即2因为(b)b，所以(b)0，即b20，与20联立，可得20，所以22.acac【解析】因为abac|ab|cosatana，且a，所以|ab|，所以abc63ac的面积s|ab|sinasin.22366bc，dfdc.若aeaf1，cecf，则()a.16、已知菱形abcd的边长为2，ba