高斯小学奥数五年级上册含答案_余数的性质与计算

1、第二十一讲余数的性质与计算-这一讲我们来学习余数问题在整数的除法中，只有能整除和不能整除两种情况当不能整除时，就会产生余数一般地，如果a是整数，b是整数（b0）,若有ab=qr（也就是a=bq+r）,0rb；当r=0时，我们称a能被b整除；当r0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的商余数问题和整除问题是有密切关系的，因为只要我们去掉余数，就能和整除问题联系在一起了余数有如下一些重要性质基本性质：被除数=除数商（当余数大于0时也可称为不完全商）+余数除数=（被除数-余数）商；商=（被除数-余数）除数余数小于除数理解这条性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所

2、得到的差就能够被除数整除了在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了-例题1用一个自然数去除另一个整数，商40，余数是16，被除数、除数的和是877，求被除数和除数各是多少？分析如果设除数为a，被除数可以表示为什么？练习1甲、乙两数的和是2014，甲数除以乙数商99余14，求甲、乙两数-我们之前学过一些特殊数（如2、3、4、5、7、8、9、11、13、25、99、125）的整除特性这些数的整除特性稍加改造，即可成为求解余数的一类简便算法：（1）一个数除以2或5的余数，等于这个数的个位数字除以2或5的余数；一个数除以4或25的余数，

3、等于这个数的末两位数除以4或25的余数；一个数除以8或125的余数，等于这个数的末三位数除以8或125的余数；（2）一个数除以3或9的余数，等于这个数的各位数字和除以3或9的余数；一个数除以99（包括11、33）的余数，等于将它两位截断再求和之后的余数；此外，求3和9的余数还可应用乱切的方法（3）一个数除以11的余数，等于它的奇位数字和减去偶位数字和除以11的余数，如果奇位数字和比偶位数字和小，则先加上若干个11再减即可（4）一个数除以7、11和13的余数，等于将它三位截断之后，奇数段之和减去偶数段之和除以7、11和13的余数，如果奇数段之和比偶数段之和小，则加上若干个7、11或13再减即可这

4、种利用整除特性来计算余数的方法叫做特性求余法-例题2（1）20132013除以4和8的余数分别是多少？（2）20142014除以3和9的余数分别是多少？分析根据4、8、3、9的特性，可以很快计算出结果练习2（1）20121221除以5和25的余数分别是多少？（2）20130209除以3和9的余数分别是多少？例题3（1）123456789除以7和11的余数分别是多少？87654321呢？（2）360360360除以99的余数是多少？分析根据7、1、99的特性，可以计算出结果在截断的时候要特别小心练习3201420132012除以13和99的余数分别是多少？-为了更好地了解余数的其它一些重要性质，

5、我们再来做几个练习：（1）211除以9的余数是_；（2）137除以9的余数是_；（3）211+137的和除以9的余数是_；（4）211-137的差除以9的余数是_；（5）211137的积除以9的余数是_；（6）1372除以9的余数是_比较上面的结果，我们发现余数还有一些很好的性质：和的余数等于余数的和；差的余数等于余数的差；积的余数等于余数的积这三条性质分别称为余数的可加性、可减性和可乘性在计算一个算式的结果除以某个数的余数时，可以利用上述性33+3715-80质进行简算例如计算33+3715-80的结果除以7的余数就每个数都用它除以7的可以像右侧这样计算这一简算方法又称替换求余法5+21-3

6、需要提醒大家的是，虽然上述三条计算余数的口诀朗朗（上口，但并不严格，在使用时还需要注意：1）如果替换之后余数的计算结果大于除数，还需要再次计算结果的余数例如：在计算423+317除以6的余数时，利用“和的余数等于余数的和”，结果就变成了3+5=8，86，所以还需要再次计算8除以6的余数是2，才是423+317除以6最后的余数再比如：在计算423317除以6的余数时，也会遇到（35=156的情况，同样的还需要计算15除以6的余数是3，才是最终的结果2）在计算减法时，会出现余数不够减的情况，这时只要再加上除数或除数的倍数即可例如：在计算423-317除以6的余数时，会发现结果变成了3-5不够减此时

7、，只要再加上6，用6+3-5=4来计算即可-例题4一年有365天，轮船制造厂每天都可以生产零件1234个年终将这些零件按6个一包的规格打包，最后一包不够6个请问：最后一包有多少个零件？分析最后一包的零件数实际上就是零件总数除以19的余数练习4（1）123+456+789除以111的余数是多少？（2）224468-6678的结果除以22余数是多少？-如果我们将“特性求余法”和“替换求余法”相结合，便可大大简化余数的计算-例题5（1）87784+4923581368除以4、9的余数分别是多少？（2）365366+367368369370除以7、11、13的余数分别是多少？分析要把结果算出来，再求余

8、数，计算量很大看看如何利用“替换求余”以及“特性求余”的方法来进行求解例题6（1）2100的个位数字是多少？32014除以10的余数是多少？（2）32014除以7的余数是多少？分析一个数的个位数字就是它除以10的余数，大家来找一下个位数字的变化规律小熊分粽子今天是端午节，猴爸爸一大早就领着猴儿们去观看龙舟比赛。在回家的路上，猴爸爸买了一筐粽子准备分给孩子们。回到家，猴爸爸将粽子数了数，一共70多个。猴爸爸把9个孩“子叫到身边说：孩子们，今天过节，爸爸要将这些粽子分给你们吃。”说完，就开始分粽子，可猴爸爸怎么分也不能将粽子均分给孩子们。正在犯愁时，门铃响了，原来是小熊来串门。“小熊是出了名的小精

9、灵，脑瓜特灵活。猴爸爸一见他就高兴地说：小熊老弟，你来得正好，我正有问题要找你帮忙呢。于是，猴爸爸将自己分粽子的事情告诉了小熊。小熊眼珠一转，计上心头，笑着说：“猴大哥，这件事好办，只要你答应将分剩下的粽子给我，我保证把这些粽子均匀地分给你的孩子们。”猴爸爸一听小熊有办法，连想都没想就答应了小熊的要求。小熊将筐中的粽子一个个地分给猴儿们，猴儿们帮分到了同样多的粽子，谁也没有意见，都高高兴兴地吃起了粽子。这时，猴爸爸却不高兴了，因为他发现，小熊分得的粽子个数最多。他生气地对小熊说：“熊老弟，这就是你不对了，你明知道你得的粽子会最多，为什么“还要骗我上你的当呢？你也太不够朋友了。”小熊笑着说：猴大

10、哥，我们可是有言在先，你”可是答应了我的条件，我才帮你分粽子的，你难道想反悔吗？那才真是不够朋友呢！猴爸“爸自知理亏，不好再争辩什么，只是埋怨自己不该轻信小熊的话，叹了叹气说：谁叫我当初不多读点书呢!”猴爸爸只顾着生气，猴儿们聚在一起吃得正香，谁也没有再理会小熊，小熊见自己不再受欢迎，只好拿着分到的粽子离开了猴子山。小朋友，请你想一想，猴爸爸一共买了多少个粽子?猴儿们和小熊各分得了多少个粽子?作业1.1234567除以3、5、9的余数分别是多少？作业2.151515151515除以8、11、7的余数分别是多少？作业3.算式20092009+20102010+20112011除以31的余数是多少

11、？作业4.自然数42011除以9的余数是多少？作业5.算式188+288+388+l1988+2088的结果除以9、13的余数分别是多少？第二十一讲余数的性质与计算例题1.答案：856；21详解：除数为(877-16)(40+1)=21，被除数为877-21=856例题2.答案：（1）1；5（2）2；5详解：一个数除以4和8的余数，只要分别看这个数末两位和末三位除以4和8的余数即可一个数除以3和9的余数，只要分别看这个数数字和除以3和9的余数即可例题3.答案：（1）1；56；7（2）63（详解：1）123+789-456=456，456除以7和11的余数分别为1和5，因此123456789除以

12、7和11的余数分别为1和5用321+87-654=408-654，发现不够减，要求除以7的余数，加上7的倍数即可比如：408-654+350=104，104除以7余6，因此87654321除以7余6求除以11的余数，可用1+3+5+7-(2+4+6+8)=16-20，发现不够减，加上11的倍数即可，16-20+11=7，因此87654321除以11余7（2）一个数除以99的余数，等于将它两位截断再求和之后的余数容易发现360360可被99乘除，因此只要看360除以99的余数即可，因此余数为63例题4.答案：2详解：就是要求算式3651234的结果除以6的余数利用替换求余法易知结果是2例题5.答

13、案：（1）0；2（2）2；2；2详解：特性求余法和替换求余法结合使用例题6.答案：（1）6；9（2）4详解：（1）2n的个位数字依次是2、4、8、6、每四个数一个周期100除以4的余971数是0，那么2100的个位数字是周期中的第四个数63n的个位数字依次是3、每四个数一个周期2014除以4的余数是2，那么32014的个位数字是周期中的第二个数9（2）3n除以7的余数依次是3、2、6、4、5、1、每六个数一个周期2014除以6的余数是4，所以32014除以7的余数是周期中的第四个数4练习1.答案：1994；20简答：设乙数为a，则甲数为99a+14，那么有a+99a+14=2014，a=20可求出甲数为1994，乙数为20练习2.答案：（1）1；21（2）2；8简答：（1）利用末位判别法；（2）利用数字和练习3.答案：8；0简答：三位截断后，奇段和为420+12=432，偶段和为201+132=333，432-333=99，除以13的余数是8两位截断后，所有段的和