完整版初中锐角三角函数知识点总结

1、 锐角三角函数及其应用 高启鹏榆林第六中学 一、锐角三角函数中考考点归纳 考点一、锐角三角函数 、锐角三角函数的定义1中的一锐角，则ABC为直角，则A为如图，在RtABC中，C 有的对边A?aB 的正弦：A?sinA? 斜边c对 斜边c a边 b的邻边?A A的余弦：? ?cosAb c斜边C A 邻边a的对边?A A的正切：?Atan b的邻边A? 、特殊角的三角函数值2 ）图表记忆法（1 三函6345三 函数si2 co 2ta1 3 ，分260角的正弦值的分母都是、（2）规律记忆法：30、45 、45、4530、60角余弦值恰好是60子依次为1、23； 30角的正弦值。 . . （3）口

2、诀记忆法口诀是：“一、二、三，三、二、一，三、九、二十七，弦比；，13，23二，切比三，分子根号不能删”前三句中的1，2，；角的正弦、余弦、正切值中分45，603，9，27，分别是30，正切子根号内的值弦比二、切比三是指正弦、余弦的分母为2最后一句，讲的是各函数值中分子都加上根号，不能的分母为3927，丢掉如tan60tan45=这种方法有趣、简单、1?3?33 易记 考点二、解直角三角形叫做解直1、由直角三角形中的已知元素求出其他未知元素的过程， 角三角形。、解直角三角形的类型和解法如下表：2 . . 高频考点）考点三、锐角三角函数的实际应用（ 仰角、俯角、坡度（坡比）、坡角、方向角在视线与

3、水平线所成的锐角中，视线在水平线上方 仰角、俯角的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角。 坡面的铅直高度和水平宽度的比叫坡度（坡比），用字lh 坡度（坡比）、h母表示；坡面与水平线的夹角叫坡角， ?tani?i坡角 l指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90的锐角叫做方向角 注意：东北方向指北偏东45方向，东南方向指南偏东45方向，西北方向指北偏西45方向，西南方向指南方向角 方向我们一般画图的方位为上北下南，左西右45偏西 东 二、锐角三角函数常见考法 .（一）、锐角三角函数以选择题的形式出现2两点，将这B轴交于A、x2x+3与xy=例1、（2016?陕西）已知抛物线 ） ，则tanCA

4、B的值为（、条抛物线的顶点记为C，连接ACBC 2 D B CA【考点】抛物线与x轴的交点；锐角三角函数的定义 【解析】先求出A、B、C坐标，作CDAB于D，根据tanACD= 即可计算. . 2，0）（3，x=x2x+3=0，解得3或1，不妨设Ay=0【解答】解：令，则 ），1（，0B22 +4，y=x2x+3=（x+1） ），顶点C（1，4 如图所示，作CDAB于D =2RTACD中，tan，CAD=在 D故答案为 （二）、锐角三角函数以填空题的形式出现.陕西）请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一2016?例2、（ 题计分 8 A一个多边形的一个外角为45，则这个正多边形的边数

5、是 B运用科学计算器计算：3sin7352 11.9 （结果精确到0.1） 【考点】计算器三角函数；近似数和有效数字；计算器数的开方；多边形内角与外角 【解析】（1）根据多边形内角和为360进行计算即可；（2）先分别求得 3和sin7352的近似值，再相乘求得计算结果 【解答】解：（1）正多边形的外角和为360 这个正多边形的边数为：36045=8 （2）3sin735212.3690.96111.9 . . 11.9 故答案为：8，米，铅直高5.3，其水平宽度AC为、例3（2015?陕西）如图，有一滑梯AB 27.8 A度BC为2.8米，则的度数约为（用科学计算器计算，结果精确到0.1） 【

6、考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题 【解析】直接利用坡度的定义求得坡角的度数即可 【解答】解：tanA=0.5283， A=27.8， 27.8故答案为：解题时注意坡角的正切值本题考查了坡度坡角的知识，【点评】 等于铅直高度与水平宽度的比值，难度不大10.02 陕西)用科学计算器计算： +3tan56(2014例4、? 0.01）（结果精确到 计算器三角函数；计算器数的开方【考点】 的值，再计算加减运、【分析】 先用计算器求出tan56 算 tan561.4826，解：【解答】 5.5678 +3tan565.5678+31.4826则10.02 故答案是：10.02 【点评】 本题考查了

7、计算器的使用，要注意此题是精确到. . 0.01ABD，将)如图，在正方形ABCD中，AD=1例5、(2014?陕西交于AD与CD顺时针旋转绕点B45得到ABD，此时 2 DE点E，则的长度为 【考点】 旋转的性质 【分析】 利用正方形和旋转的性质得出AD=AE，进而利用勾股定理得出BD的长，进而利用锐角三角函数关系得出DE的长即可 【解答】 解：由题意可得出：BDC=45，DAE=90， DEA=45， AD=AE， 在正方形ABCD中，AD=1， AB=AB=1， BD=， 1D=A， 在RtDAE中， DE=2 故答案为：2 【点评】 此题主要考查了正方形和旋转的性质以及勾股定理、. .

8、 的长是解题关键D锐角三角函数关系等知识，得出A （三）、锐角三角函数定义以解答题的形式出现，BCAD分）（2015?陕西）如图，在每一个四边形ABCD中，均有例6、（12 BC=12BC，ABC=60，AD=8，CD 24则BMC 的面积为； 如图，（1）点M是四边形ABCD边AD上的一点，（2）如图，点N是四边形ABCD边AD上的任意一点，请你求出BNC周长的最小值； （3）如图，在四边形ABCD的边AD上，是否存在一点P，使得cosBPC的值最小？若存在，求出此时cosBPC的值；若不存在，请说明理由 【考点】四边形综合题. 【专题】综合题 【解析】（1）如图，过A作AEBC，可得出四边

9、形AECF为矩形，得到EC=AD，BE=BCEC，在直角三角形ABE中，求出AE的长，即为三角形BMC的高，求出三角形BMC面积即可； （2）如图，作点C关于直线AD的对称点C，连接CN，CD，CB交AD于点N，连接CN，则BN+NC=BN+NCBC=BN+CN，可得出BNC周长的最小值为BNC的周长=BN+CN+BC=BC+BC，求出即可； （3）如图所示，存在点P，使得cosBPC的值最小，作BC的中垂线PQ交BC于点Q，交AD于点P，连接BP，CP，作BPC的外接圆O，圆O与直线. . PQ交于点N，则PB=PC，圆心O在PN上，根据AD与BC平行，得到圆O与AD相切，根据PQ=DC，判

10、断得到PQ大于BQ，可得出圆心O在BC上方，在AD上任取一点P，连接PB，PC，PB交圆O于点M，连接MC，可得BPC=BMCBPC，即BPC最小，cosBPC的值最小，连接OB，求出即可 【解答】解：（1）如图，过A作AEBC， 四边形AECD为矩形， EC=AD=8，BE=BCEC=128=4， 在RtABE中，ABE=60，BE=4， AB=2BE=8，AE=4， AE=24；则S=BC? BMC 故答案为：24； （2）如图，作点C关于直线AD的对称点C，连接CN，CD，CB交AD于点N，连接CN，则BN+NC=BN+NCBC=BN+CN， BNC周长的最小值为BNC的周长=BN+CN

11、+BC=BC+BC， ADBC，AEBC，ABC=60， 过点A作AEBC，则CE=AD=8， BE=4，AE=BE?tan60=4， =2CD=2AE=8，CC ，BC=12 =4=，BC； BNC周长的最小值为4+12 （3）如图所示，存在点P，使得cosBPC的值最小， 作BC的中垂线PQ交BC于点Q，交AD于点P，连接BP，CP，作BPC的外接. . 圆O，圆O与直线PQ交于点N，则PB=PC，圆心O在PN上， ADBC， 圆O与AD相切于点P， PQ=DC=46， ，PQBQ ，圆心O在弦BC的上方，BPC90 M，连接MC，C，PB交圆O于点B在AD上任取一点P，连接P，P ，CB

12、PC=BMCBP BPC的值最小，BPC最大，cos BPC，连接OB，则BON=2BPN= ，OB=OP=4OQ 222=（+6RtOQ）， BOQ中，根据勾股定理得：OQ4在 OQ=，解得： ， OB= =， BOQ=BPC=coscos 的值为BPC 则此时cos 【点评】此题属于四边形综合题，涉及的知识有：勾股定理，矩形的判定与性质，对称的性质，圆的切线的判定与性质，以及锐角三角函数定义，熟练. . 掌握定理及性质是解本题的关键 2+bx+c经过A（3，：y=x0）、例7（10分）(2014年陕西省)已知抛物线C和B（0，3）两点，将这条抛物线的顶点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N

13、 （1）求抛物线C的表达式； （2）求点M的坐标； （3）将抛物线C平移到C，抛物线C的顶点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N如果以点M、N、M、N为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物线C怎样平移？为什么？ 新 课 标 xk b1. c om 【考点】 二次函数图象与几何变换；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的性质菁优网版权所有 2+bx+c，两点代入抛物线y=x和B（0，3）直接把【分析】 （1）A（3，0）求出b，c的值即可； （2）根据（1）中抛物线的解析式可得出其顶点坐标； （3）根据平行四边形的定义，可知有四种情形符合条件，如解答图所示需要分类

14、讨论 2+bx+c经过A（3，0）和y=xB（0，3）两解：（【解答】 1）抛物线点， ，解得， 22x+3； x故此抛物线的解析式为：y= . . 22x+3x， 2）由（1）知抛物线的解析式为：y=（ =1时，=y=4，xKb 1.C om 当x= ）M（1，4 的对边只能N）由题意，以点M、M、N为顶点的平行四边形的边MN（3 是MN， NN且MN=MMNM =16，MN?NN NN=4 i）当M、N、M、N为顶点的平行四边形是?MNNM时，将抛物线C向左或向右平移4个单位可得符合条件的抛物线C； ii）当M、N、M、N为顶点的平行四边形是?MNMN时，将抛物线C先向左或向右平移4个单位

15、，再向下平移8个单位，可得符合条件的抛物线C 上述的四种平移，均可得到符合条件的抛物线C 【点评】 本题考查了抛物线的平移变换、平行四边形的性质、待定系数法及二次函数的图象与性质等知识点第（3）问需要分类讨论，避免漏解 . . 例8、（12分）(2014?陕西)问题探究 （1）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，如果BC边上存在点P，使APD为等腰三角形，那么请画出满足条件的一个等腰三角形APD，并求出此时BP的长； （2）如图，在ABC中，ABC=60，BC=12，AD是BC边上的高，E、F分别为边AB、AC的中点，当AD=6时，BC边上存在一点Q，使EQF=90，求此时BQ的长；

16、问题解决 （3）有一山庄，它的平面图为如图的五边形ABCDE，山庄保卫人员想在线段CD上选一点M安装监控装置，用来监视边AB，现只要使AMB大约为60，就可以让监控装置的效果达到最佳，已知A=E=D=90，AB=270m，AE=400m，ED=285m，CD=340m，问在线段CD上是否存在点M，使AMB=60？若存在，请求出符合条件的DM的长，若不存在，请说明理由 【考点】 圆的综合题；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理；三角形中位线定理；矩形的性质；正方形的判定与性质；直线与圆的位置关系；特殊角的三角函数值菁优网版权所有 【专题】 压轴题；存在型 . . 【分析】 （1）由

17、于PAD是等腰三角形，底边不定，需三种情况讨论，运用三角形全等、矩形的性质、勾股定理等知识即可解决问题 （2）以EF为直径作O，易证O与BC相切，从而得到符合条件的点Q唯一，然后通过添加辅助线，借助于正方形、特殊角的三角函数值等知识即可求出BQ长 （3）要满足AMB=60，可构造以AB为边的等边三角形的外接圆，该圆与线段CD的交点就是满足条件的点，然后借助于等边三角形的性质、特殊角的三角函数值等知识，就可算出符合条件的DM长 【解答】 解：（1）作AD的垂直平分线交BC于点P，如图， 则PA=PD PAD是等腰三角形 四边形ABCD是矩形， AB=DC，B=C=90 PA=PD，AB=DC，

18、RtABPRtDCP（HL） BP=CP BC=4， BP=CP=2 以点D为圆心，AD为半径画弧，交BC于点P，如图， 则DA=DP PAD是等腰三角形 四边形ABCD是矩形， AD=BC，AB=DC，C=90 . . AB=3，BC=4， DC=3，DP=4 CP= BP=4点A为圆心，AD为半径画弧，交BC于点P，如图， 则AD=AP PAD是等腰三角形 = 同理可得：BP综上所述：在等腰三角形ADP中， 若PA=PD，则BP=2； 若DP=DA，则BP=4； 若AP=AD，则BP= （2）E、F分别为边AB、AC的中点， BC，EF=EFBC ，BC=12 EF=6 ，如图FQ、BC，

19、垂足为EQ，连接Q以EF为直径作O，过点O作OQ AD=6ADBC， EF与BC之间的距离为3OQ=3 OQ=OE=3 与BC相切，切点为QO 为O的直径，EF. . EQF=90 过点E作EGBC，垂足为G，如图 EGBC，OQBC， EGOQ EOGQ，EGOQ，EGQ=90，OE=OQ， 四边形OEGQ是正方形 GQ=EO=3，EG=OQ=3 B=60，EGB=90，EG=3， BG= BQ=GQ+BG=3+ 当EQF=90时，BQ的长为3+ （3）在线段CD上存在点M，使AMB=60 理由如下： 以AB为边，在AB的右侧作等边三角形ABG， 作GPAB，垂足为P，作AKBG，垂足为K

20、设GP与AK交于点O，以点O为圆心，OA为半径作O， 过点O作OHCD，垂足为H，如图 则O是ABG的外接圆， ABG是等边三角形，GPAB， AP=PB=AB AB=270， AP=135 ED=285， . . OH=285135=150 ABG是等边三角形，AKBG， BAK=GAK=30 OP=AP?tan30 =135 =45 OA=2OP=90 OHOA O与CD相交，设交点为M，连接MA、MB，如图 OM=OA=90， AMB=AGB=60 OM=90，CD，OH=150，OH HM= = =30 OP=45AE=400， DH=40045 +30 若点M在点H的左边，则DM=D

21、H+HM=40045 +30340，400 45 DMCD 不在线段CD上，应舍去点M3045在点H的右边，则DM=DHHM=400 M若点 ，3404004530 CDDM. . 点M在线段CD上 综上所述：在线段CD上存在唯一的点M，使AMB=60， 30）米X|k | B| 1 . c |O |m45 此时DM的长为（400 【点评】本题考查了垂直平分线的性质、矩形的性质、等边三角形的性质、正方形的判定与性质、直线与圆的位置关系、圆周角定理、三角形的中位线定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理、特殊角的三角函数值等知识，考查了操作、探究等能力，综合性非常强而构造等边三角形及其外接圆是解决

22、本题的关键 三、三角函数易错点解析 . . 三角函数是初中数学的重要内容，三角函数是学生在初中阶段第一次接触角函数，这部分知识的学习对于学生来说有一定的难度，下面就三角函数 教学中容易出现的几种“错误”进行分析： 对应关系混淆1，先进村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水】如图19【 ）AB为 （平距离为 米，那么这两树在坡面上的距离a a 米 B. 米A. aacos ?cos Ba 米 D. C. 米 asina ?sin A作平行水平面的直线和垂直于水平，A解析：分别过点B , C=90面的直线相交于点C。则ABC是直角三角形，且 图9, CBA=aBCa B。，故选?cosa

23、?AB ?cosABAB余弦错因分析：部分学生在解答本题时没有分清锐角的正弦、B 是哪个边与斜边AB的比，造成错选，也有学生在变式时错误。C 2专用名词不清A D 米坡的坡度（坡比）为101:，AC，斜坡【2】如图10AC 图103米试求14相连，A点有一条彩带ABAB顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与 BC的高度旗杆于ADC作CE解析：坡度是表示斜坡的铅直距离与水平距离的比，所以过点31，AE=1:：E，CE为铅直距离，AE为水平距离，即CE。3?CAE?tan? 33Rt,在（AEC可得CE=5m）m, AE=（），解直角三角形CAE=3035 ）（m中，）,BC=BE-CE=6m（ABE2211?AB?A